固定收益证券(4债券数学)

1、1主讲人：主讲人：23v现金流C0的时间价值1期：C1= C0 (1+ r )vr为利率，通常以年为单位。 N期：Cn = C0(1+ r )nv更一般的，现金P以 r年利率投资，每年支付次n利息 ，投资T年，回报为(1)nTrPnlim(1)nTrTnrPPenr变成了连续复利4v债券现值的计算步骤：找出债券的现金流现金流折现111(1)1TTttCCPrrr1(1)TtttCPr111(1)111TTTTttcFFcFFPrrrrr当现金流都一样时（被称为年金）， 付息债券的价值（ F 是债券面值） 注意，当r =c时， P=F5v当期数趋向于无穷时 (如永续年金)1111TTTcFFcF

2、Prrrr 000, 2$05.100P 例： 每年支付$ 100的永续年金值多少钱？ 假设折现率为5% 答案：6到期收益率 (YTM)v该收益率使得债券的现值等于债券价格。v若交割日恰好是付息日，则1(1)TtttCPYTM YTM 是基于内部收益率(IRR)计算的。 YTM可通过试错法（ trial-and-error）计算 YTM是半年为单位的利率(息票通常是半年支付一次) 现金流用同样的收益率折现 隐含了收益率曲线是平坦的假设7到期收益率 (YTM)v假定假定持有至偿还期持有至偿还期无违约风险无违约风险再投资收益率等于到期收益率本身再投资收益率等于到期收益率本身无回购条款无回购条款8债

3、券等价收益率v债券等价收益率(BEY)：将YTM转换为年利率（华尔街规则）y = 2 YTM，则11/2(1/2)(1/2)(1/2)TntttnttCFcFPyyyv若交割日恰好是付息日，vP = 全价 = 净价 = 报价9债券报价v到期日为2021 年11 月15 日，息票利率为8.00 % 的美国国债，1992 年1 月9 日交割的报价如下：v价格标出的是面值的百分数。整数 + n/32ths (国库券) or + n/8ths (公司债券)例：106.30 = 106 30/32 = 112.9375%报价日出价要价收益率1992-01-09106.30107.007.4110非付息日

4、的全价与净价非付息日的全价与净价v如果交割日不是付息日，全价应如何计算？如果交割日不是付息日，全价应如何计算？110/ 2(1/ 2)(1/ 2)Tt WTWtFcFPyy 按照按照“华尔街规则华尔街规则”的计算方法是的计算方法是上一个息票支付日(LCD)下一个息票支付日(NCD)交割日(SD)zWx其中：11应计利息v债券的报价(市场价格)通常是净价v净价 = 全价 - 应计利息（ait）/ 2txzaiFcx12全价与净价全价与净价v例例US treasury note, 票面利率8.625%，到期日8/15/2003，交割日 9/8/2002，计算在到期收益率为3.21%时的全价与净价.

5、116016010184184(100 0.08625 )/2100(1 3.21%/2)(1 3.21%/2)105.56ttP13全价与净价全价与净价v净价=全价 - 应计利息v =105.506-0.563=104.943/ 2100 0.08625/ 2 24/1840.563txzaiFcx14v例例： 到期日为1991 年11 月15 日，息票利率为7.75 % 的美国中期国债， 1991 年7 月18 日交割的报价如下：vc=7.75 , x=184 , z=120 , x-z= (SD-LCD)=64, v则应计利息为 ait =7.75/2*64/184 = 1.3478v使

6、用出价，发票价格为v Pt =100+19/32+1.3478 =101.94155v使用要价，发票价格为v Pt =100+21/32+1.3478 =102.00405报价日出价要价收益率1994-07-18100.19100.215.8115国库券国库券（T-Bills）v交割日(SD) 和到期日(MD) 的时间轴。v贴现收益率(discount yield)vF 是面值，P是T-Bill的现值，B是一年的基本天数 (360或365)。v在美国，B取360；英国、日本取365等等。FPBdFn(1)n dPFB16v例： 下面列出了1991 年5 月23 日到期的美国短期国库券，在199

7、0年12 月14 日交割的报价。v使用买入贴现收益率，发票价格为v Pt =100*(1-160*0.0678/360) =96.98667v使用卖出贴现收益率，发票价格为v Pt =100*(1-160*0.0676/360) =96.99556v注意：贴现收益率与收益率是不同的贴现收益率与收益率是不同的。 why报价日买入贴现收益率卖出贴现收益率收益率1990-12-146.786.767.0617v在美国，T-bill同bond的收益率不能直接比较：年的天数不一样，360 vs 365天 收益率计算不一样，面值 vs 现值v为了方便比较，如何求等效收益率？为了方便比较，如何求等效收益率？

8、v债券等价收益率(bond equivalent yield，BEY)为vBm是年的基本天数 (一般为365)。mBFPBEYPn1mFPnBEYBmB dBEYBdn与贴现收益率与贴现收益率d的关系：的关系：18v当国库券的期限超过6个月时，国库券是不支付利息的，而中期国债和长期国债都是每半年支付利息每半年支付利息的。v业内的惯例是假设利息y在6 个月后支付，而且这个利息能进行再投资，即365/ 2(1)(1)1002365ynPy解出y ，得出期限大于182 天的短期国库券的BEY为19v例：下面是1992 年4 月9 日到期的美国国库券，在1991 年4 月18日交割的报价。vn=357

9、 天，使用卖出贴现收益率计算价格v Pt =100*(1-357*0.0592/360) =94.1293v计算BEY得：BEY=6.2802%报价日买入贴现收益率卖出贴现收益率收益率1991-04-185.945.926.2920v债券的价格风险是指由于市场中利率利率的变化所引起的价格变化。(即利率风险)定义：价格风险为 其中，负号代表随着收益率的递增，价格递减。21价格风险一般地，价格风险用百分数来度量，以反映收益率一般地，价格风险用百分数来度量，以反映收益率的变化引起的的变化引起的价格的百分比变化价格的百分比变化。因此，。因此，22在较低的收益率水平下价格风险较高，随着收益率的增加，价格

10、风险逐渐下降。当N 趋于时，有23基点价值基点价值（Price Value of a Basis Point）v定义：定义：基点价值是收益率变动一个基点时，债基点价值是收益率变动一个基点时，债券价格的变化值。券价格的变化值。(通常的面值为100)v PVBP=P/ (y X 10,000)vPVBP 也称为0.01 的美元价值，DV01(dollar value of an 01) 。v若PVBP*以每百万美元为面值，则vPVBP* = PVBP X(10 000 00/100) v = P/ (y X 10 000) X(10 000)v = P/ y = (-P/ y )/100 X 10

11、0v =P X 10024v例：年息票为C = 10美元，半年支付的债券，剩余80 个息票支付区间(N=80) 。对于这个40 年期债券，收益率为9%(y=0.09) 时的价格风险为:P = 11. 86 ,vPVBP (每百万美元面值) = 11. 86 X 100= 1 186美元(每百万美元)25久期v久期被广泛的用于度量风险。v麦考利久期(Macaulay duration) 表示了由收益率的百分比变化导致的价格的百分比变化，即利率的价格弹性。以时间为权重的贴现现金流1111(1)(1)11(1)nnttttttntttCt CdPPydyyCdPyDtPydyP nnttt1t1pw

12、1P 26Pt(期限期限)pnp3p2p1P0D1nntt1ntt11DptPPDpt 27 名称(1)至支付的时间/年(2)支付/美元(3)半年5%折现支付/美元(4)权重(5)(1)(4)债券A8债券 0.5 40 38.095 0.0395 0.0198 1.0 40 36.281 0.0376 0.0376 1.5 40 34.553 0.0358 0.0537 2.0 1040 855.611 0.8871 1.7742总计 964.540 1.0000 1.8853债券B零息票债券 0.51.5 0 0 0 0 2.0 1000 822.70 1.0 2总计 822.70 1.0

13、2久期计算28修正久期(modified duration)11dPydPdyDDdyPPy 11DdPdPMDMDdyydy PP 29息票对久期的影响30mii 1PP miii 1DD 组合的久期组合的久期31 itiytitt 0PCe miii 1DD itiyttiit01DCetP ty ttt 0PC e itmmiytiti 1i 1 t 0PCe ittmiy tyttti 1C eCe itmiyttt 0 i 1Ce 32miii 1DD ty ttt01DC etP ittmiy tyttti 1C eCe itmiytitii1 t01PCetPP itmiytit

14、ii1t01CetP miii 1DD itmiyttt0 i11CetP 33债券价格收益率面值市值久期10% 5年100.0010%4百万4,000,0003.8618% 15年184.627510%5百万4,231,3758.04714% 30年137.858610%1百万1,378,5869.1681231234,000,000 / 9,609,9610.4164,231,375 / 9,609,9610.4401,378,586 / 9,609,9610.1443.861,8.047,9.1680.416*3.8610.440*8.0470.144*9.1686.47wwwDDDD3

15、4基于久期的风险对冲v原理：使得债券组合的价值对利率变化不敏感利率变化不敏感记组合的价值为P记对冲工具的价值为Hv对冲工具：Bond Swap Future Optionv假定收益率曲线是平坦的。35v组合的价值变化久期对冲0)( )( dyyPyqHqdHdP( )( )PHP MDP yqH yHMD dyyPdP)( dyyHdH)( 对冲工具价值变化 策略：持有 q 单位的对冲工具，使得 解36v例例: T时刻, 投资组合 P 的价值为$328635, 收益率5.143%和久期 7.108 年对冲工具, 某债券的价值为 $118.786, 收益率 4.779% 和久期 5.748 年v

16、对冲的数量：vq = -(328635x7.108)/(118.786x5.748) = - 3421v结论：v如果持有组合 P, 必须卖空 3421 单位的债券（对冲工具）37例：v考虑1 个组合，其中，有1 亿美元面值的到期日为2002 年8 月15 日的剥离证券。用两种证券组合(1997 年8 月15日和2012 年8 月1 5 日到期的)来替换这个证券，使得并没有现金支出而且PVBP 保持一致，这可能吗?38v代入数据求解得，nl=44.20， n3 =78.7939收益率变化40案例：价差交易30年期长期国债，息票利率为8.75% ， 到期日2020 年5 月15 日出价要价收益率(

17、%)交割日应计利息PVBP108.8405108.84057.961991-12-020.4086541200.643109.8076109.87017.881991-12-040.4567311218.2462 年期中期国债，息票利率为5.50% ，到期日1993 年11 月30 日出价要价收益率( %) 交割日应计利息PVBP100.3735100.43605.301991-12-020.03022187.3642100.5967100.65925.181991-12-040.06044187.4086v交易数据显示， 30 年期长期国债和2 年期中期国债的收益率差为266 个基点。v交易

18、商预计预计这个价差在几天之内会明显增大。即，收益率曲线会变得更为陡峭。v交易商如何建立交易策略?41交易策略v1、必须对冲利率风险v n2X PVBP2 = n30 X PVBP30v如果n30 =100(百万美元面值)，v n2=100*1200.6435/187.3642=641v即交易商做多641百万美元面值的2 年期中期国债，同时，做空100百万美元面值的30 年期长期国债。v2、交易商将2 年期国债抵押以5% 的回购利率借入现金(忽略差额)。同时，交易商将借入并卖出30 年期国债，并以4.9% 的回购利率抵押现金(忽略差额) 。4243价差交易的交易行为总结日期交易现金流12/ 2/

19、 87借入现金并支付2 年期中期国债支付2 年期中期国债作为抵押(100.436 0+0.030 22) X 10 000 X 641 =-643 988 470借入30 年期长期国债，然后卖掉。支付现金作为抵押(108.840 5+0. 408 654) X 10 000 X 100 =+109 249 15444价差交易的交易行为总结日期交易现金流12/ 4/ 87（1）（2）（3）（4）卖出2 年期中期国债，每641 百万美元面值变为(100.5967+0.0604) X10 000X641 =645 212 011返还所借数目和回购利息每641 百万美元面值变为643988470 X

20、(1 + 0.05 X 2 /360)=-644 167 356得到现金和利息109249 154 X ( 1 +0. 049 X 2 /360) =+109 278 894买入30 年期长期国债，以填平卖空头寸(109.870 1 +0.456 7) X 10 000 X 100 =-110 326 800利润(损失): (1)+ (2)+ (3)+ (4)-3 251为什么会亏？为什么会亏？45价差交易影响因素v买卖价差买卖价差。交易商在卖出价买入，在买入价卖出。买卖价差越大，交易就越不具有有利可图性。v回购利率回购利率。如果回购利率很低，交易商将支付很少的成本借入，但是，他在现金抵押上获

21、得的也比较少。v特定回购利率特定回购利率。如果证券的多头方比较特殊(，那么，交易商将获得更多的现金，因为利用抵押品可以更便宜地借入现金。v差额差额。交易商将支付一些差额，这样也会减少有利可图性。46v久期对冲非常简单应用假设条件比较严格v假设 1: 收益率变化小投资组合的价值仅仅是Taylor 展开的一阶近似，因此，对冲头寸必须经常调整v假设 2: 收益曲线是平坦的 假设所有的债券都有同样的收益率换句话说，利率风险仅被简单的看成是一种平均利率水平上的风险v假设 3: 收益率曲线仅做平移运动久期对冲的局限性4748 nttt 1CPy1y 221PPyyPyyoy2 定义凸性为定义凸性为49v考

22、虑一个10年期平价债券，6%的息票，修改久期为 7.36v考虑下面两种情况：情况 1: yield increases from 6% to 6.01% (small increase)情况 2: yield increases from 6% to 8% (large increase)v情况 1: 新收益率6.01%下的未来现金流折现价值为$99.267 绝对变化 : - 0.733 = (99.267-100)用修正久期，价值变化为: -100 x7.36x0.001= - $0.736误差很小。v情况 2: 新收益率8%下的未来现金流折现价值为$86.58 绝对变化 : - 13.42 = (86.58 -100)用修正久期，价值变化为: -100 x7.36x0.02= - $14.72误差很大收益率变化大时，久期对冲的误差50v10年期债券的凸性为6974 v情况 2: 收益率从 6% 变化为 8%二阶近似的价值为 -14.72 + (6974(0.02)/2) = -$13.33 精确解为-$13.42 一阶近似为-$14.72久期+凸性对冲 51v凸性0v给定到期日和收益率，息票越小，凸性越大v给定息票和收益率，到期日越长，凸性越大v给定到期日和息票，收益率越小，