基本不等式教学设计课题

1、基本不等式（教学设计）一、教材分析基本不等式是人教版高中数学必修五第三章第四节的内容。 它是在学完不等式性质，不等式的解法及线性规划等知识的基础上， 对不等式的进一步研究，同时也为选修 1-2中直接证明和间接证明 中的有关不等式证明的问题作好准备，为选修 4 5:不等式选讲中 的几种重要不等式及不等式的证明做好了铺垫。在整个知识体系中 起到了承上启下的作用，具有很重要的作用。在课本封面就能体现 出来。基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型， 为今后解决最值问题提供了新的方法，在公式推导中所蕴涵的数学 思想方法如数形结合、演绎推理、分析法证明等在各种不等式的研 究中均有着广泛的

2、应用；另外，在解决函数最值问题中，基本不等 式也起着重要的作用。二、学情分析在认知上，学生已经掌握了不等式的基本性质，并能够根据不等 式的性质进行数、式的大小比较，也具备了一定的平面几何的基 本知识。但是，倘若教师不加以引导，学生并不能自觉地通过已 有的知识、记忆去发展和构建几何图形中的相等或不等关系，这 就需要教师逐步地引导，去激活学生的思维，增强数形结合的思 想意识。三. 教学目标(1) 知识与技能：了解基本(重要)不等式证明过程，能在证 明过程中分析不等式成立的条件.知道基本不等式成立的条件，并 会求y二ax b a 0,b 0类型的函数在x 0时的最小值，初步认识x“二”成立的作用.会

3、运用基本不等式解决实际问题的最优化配置问 题.(2) 过程与方法：按照创设情景，提出问题- 基本不等式的探究 t基本不等式的分析t基本不等式的 应用的过程呈现。启动观察、 分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力， 体会数学概念的学习方法，通过运用多媒体的教学手段，引领学生 主动探索基本不等式性质，体会学习数学规律的方法，体验成功的 乐趣。(3) 情感态度与价值观：在认识赵爽弦图的过程中，了解中国数学 文化，增强民族自豪感.通过基本不等式在求最值上的应用，体会数 学来源于生活，反馈于生活，提高学生学习数学的兴趣，提倡学生 树立科学的节能减排的环保理念.教学重点：应用数形结合的思

4、想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式乞口 的证明过程；2难点：用基本不等式求最大值和最小值四、教学方法本节课采用数形结合的思想，引导学生观察一一探究一一感知 抽象归纳；用启发诱导、探究合作、讲练结合的教学方法， 以学生为主体，以基本不等式为主线，从实际问题出发，放手让学生探究思索。以现代信息技术多媒体课件.几何画板以及希沃授课助 手作为教学辅助手段，加深学生对基本不等式的理解。五、学法指导在教学过程中，以教师为主导，以学生为主体，在教学中引导 学生去提出、分析和解决问题。课堂上从实际生活出发，通过创设 问题情境，让学生经历由实际问题出发，探求基本不等式，发现基 本不等式的实质，利用基本

5、不等式解决实际问题。使学生从代数证 明和几何证明两方面理解基本不等式。六、教学工具：多媒体课件，几何画板，希沃授课助手七、教学基本流程创设问题情境探究基本不等式归纳总结基本不等式运用基本不等式解决实际问题课堂小结练习提高与作业八、教学过程教师活动学生活动设计意图同桌合作动 手摆出图形, 并将小组作 品投影展示了解中国数学 文化，增强学 生的民族自豪 感和爱国主义 精神，增强学 生对国家发展 的信心通过 对”会标”的 了解,感受中国 人的智慧和华 夏民族热情好 客的优良传统.一、问题引入：问题1:请同学们拿出四个全等的直 角三角形，同桌合作拼成以斜边为边 长、外轮廓为正方形的图形教师巡视适时给予

6、点拨提示：利用PPT逐个出示图片小组合作结 合所拼会标 图形，小组 代表回答本 组答案，得 出不等式以 及等号成立 的条件利用图中相关 面积间存在的 数量关系，抽 象出不等式a2 b2 - 2ab学生体会如何 从实验中发现 问题，培养学 生数形结合的 思想方法，二、公式探究：借助几何画板动态演示问题2:将图形抽象成右图所示图形，设AF长为a， BF长为b(1)你能用a,b表示大正方形ABCD的边长和面积s吗？(2)四个直角三角形的面积之和S是大正方形的面积S与S的大小关 系是 它们有相等的情况吗？由于正方形的面积大于4个直角 三角形的面积和，得到一个不等式： a2 b2 2ab。当直角三角形变

7、为等腰直角三角 形，即a=b时，正方形EFGH缩为一 个点，有 a2 b2 =2ab。问题3:由图形得出的结论只是一个 猜想，你能证明你的猜想吗？总结上 面结论并证明证明：(作差法)因为 a2 b2 2ab = (a b)2 _ 0所以 a2 b2 _ 2ab.当且仅当a二b时，等号成立教师板书：总结结论1:重要不等式a2 b_ 2ab(a R,b R)当且仅当a二b时等号成立问题4:如果a0,b0,我们用.a、 b分别代替不等式a2 b2 一 2ab.中的a,b能得到什么结论？替换后得到：a十b A 2/ab，通常把上式写作：兰 a 2 b (a0,b0)总结结论2:基本不等式 a 川bab

8、(a _ 0, b - 0)2学生用作差 法口述证明通过证明过程重要不等式发现不等式成立的条件，加深学生对知识的理解.培养学生从特殊到观察重要不一般的数学思等式的结构想方法特点由换元替代此处采用了换的方法，直接得出基本元法，也为后不等式面利用基本不等式求最值奠.定基础.当且仅当a=b时，等号成立。问题5:你能从代数证明的角度证明 此不等式吗？类比前面的 证明方法， 学生用作差 法口述证明 基本不等式通过证明过程 发现基本不等 式成立的条 件，加深学生 对知识的理解问题6:在数学中，我们称 工竺为2a、b的算术平均数，称v ab为a、b 的几何平均数.基本不等式可叙述 为：两个非负数的算术平均数

9、不小于 它们的几何平均数.刚才从代数角度 证明了基本不等式的成立，从几何图 形上能否证明它成立呢？借助几何画板动态演示如图AB是圆0的直径，C为AB上一 点，过C做直径的垂线交圆于D E 两点，设 AC=a,BC=b1.如何用a,b表示OD,CD?2你能从图形中得出0D和CD勺大小关系吗?3你能给出基本不等式的几何解释吗？易证 Rt AC MRt DC B,或 利用相交弦定理，那么C D2 = C A- CB即 C D= , ab .这个圆的半径为a b，显然，它大2于或等于CD即心逅，其中当2且仅当点C与圆心重合，即 a = b 时，等号成立.因此：基本不等式a b几何2意义是“半径不小于半

10、弦”问题7 :基本不等式有何作用呢?a+bi 2丿对于x 0,y0，(1)若xy = p (定值)，则当且仅当a =b时，x y有最小值2 p ；(2)若x s(定值)，则当且仅当2”b时，xy有最大值;小组合作讨论，学生回培养学生团结答，根据按合作精神以及钮拖动直观数形结合的意地观察CD识，养成数形与0D的大结合地分析问小关系.题的习惯.学生总结变培养学生观察形式，分析概括能力，结基本不等式论的得出发挥 学生自主能动在求函数最性值中的作用学生观察指基本不等式成三、基本不等式应用出错误，体立的条件学生问题&应用1会不等式成往往易忽视，应用：立的条件的在应用方面仍”-21某同学学完基本不等式后用

11、a 4b 2jab abV(a+b ,重要性.总存在不仔细的,l2丿推出如下结论，请你帮他找一找有没有错误结出一正二现象，所以这1f 1(1)若x/0贝Ux+ 启2jx - =2定三相等的里用易出错的x x(2)若a b#0,则a +b 启2ja b =2特点题目进行强调.b a b a 若x aQ y 0,且x +y =6,贝 UxyR =9I 2丿丿另外此处继续巩固用换元的方法思考问题；变式练习：学生独立变式：完成，并将变式练习将两21 若x A0,8 x最小值为()x*优秀作业投个正数变为不2.当 xy0时，+冬最小值为()xyr影互为倒数的情况,使学生能举一反三解决问题.问题9 :应用

12、2应用举例2用篱笆围一个面积为0（平方米的矩形堀，问 这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短， 最短篱笆是多少？思考、运用 基本不等式 解决问题变式：一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园， 问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最 大，最大面积是多少？1. 使学生利用 基本不等式 解决简单的 实际问题；2. 尝试运用数 学知识解决 实际问题， 树立科学的 节能减排意 识和环保意 识.体会在 市场经济 下，运用所 学数学知识 优化生活中 的一些问题 的重要性.四、知识梳理，体会研究价值问题10:本节课主要学习了什么内容？什么数学思想方法？由学生总结 学习的内 容，指出本 节课所经历 的知识探

13、究 过程和数形 结合的思 想。通过总结，培 养学生数学交 流和表达的能 力，养成及时 总结的良好习 惯，并将所学 知识及方法纳 入已有的认知 结构，提升情 感、态度、价 值观目标.五、目标检测设计作业：1. p00练习1,2,3A组1题2. 求下列函数的最小值，并求出自变量满足什么条件时取得最小值。丄1丄1_(兀(1)y=4x + (xaO);(2)y=sinx+ . (x=O )2xsinxi 2课后思考：11. 求函数 y = x +( x 1)的最小值X 12. 若Ocx 2,求函数y = x(2x)的最大值设计意图：(1)采用几道简单的求最值的问题，；不等式内容的掌握和使用情况(2)课

14、后思考为学有余力的学生准备，同时也为下检测学生对基本二一节的学习做好铺垫，也达到分层教学的目的九、教学反思1.逐层铺垫，降低难度由具体到一般，建立实际生活中的图形与不等式的联系，然后 归纳出重要不等式和基本不等式及其取等号的条件.2恰当使用信息技术恰当地使用多媒体课件.几何画板.希沃教学助手，让学生直观 形象地理解问题，了解知识的形成过程.3. 采用“启发一探究一讨论”教学模式精心设置一个个问题链，给每个学生提供思考、创造、表现和 成功的机会.4. 适时渗透德育内容抓住教材中赵爽弦图，弘扬中国的数学文化，赞扬华夏民族热 情好客的优良传统.并与学生共享，一定能提升学生科学的态度和良 好的学习品质，定能将民族精神渗透到日常的教学中 .通过对教材例 1的题后反思，使学生树立科学的节能减排的环保意识，从教学效 果上看，德育内容的充