高等数学上43分部积分法课件

1、上页下页结束返回首页问题问题 ?dxxex利用两个函数乘积的求导法则利用两个函数乘积的求导法则.设设函函数数)(xuu 和和)(xvv 具具有有连连续续导导数数, ,vuvuuv , vuuvvu ,dxvuuvdxvu .duvuvudv 分部积分公式分部积分公式3. 3. 分部积分法分部积分法运用分部积分公式应注意运用分部积分公式应注意 u ,dv的的选取选取,其原则是：其原则是：.2;.1容容易易求求积积要要比比原原积积分分中中容容易易求求出出从从 udvvduvdvdxv上页下页结束返回首页例例1 1 求积分求积分.sinxdxx解解（一）（一）令令,sinxu 22xdxdxdvxd

2、xxsinxdxxxxcos2sin222显然，显然， 选择不当选择不当，积分更难进行，积分更难进行.vu ,解（二）解（二）令令,xu xdxdxdvcossinxdxxsin)cos(xxdxdxxxcoscos.sincosCxxx.duvuvudv 2sin2xxd上页下页结束返回首页例例2 2 求积分求积分.2dxexx解解,2xu ,xxdedxedvdxexx222dxeexxx.)(22Cexeexxxx（再次使用分部积分法）（再次使用分部积分法）, xu 总结总结,xxdedxedvxdex2dxxeexxx22xxdexex22)(22dxexeexxxx.cos,sin,

3、. 1 axdxxaxdxxdxexmmaxm型型如如mxu 令令P210-3上页下页结束返回首页例例3 3 求积分求积分.) 1ln(dxxx解解令令,)1ln(xu)2(2xdxdxdvdxxx) 1ln()1(ln(2)1ln(222xdxxxdxxxxx)1(2)1ln(2222) 1ln(2xdxdxxx11) 1(212) 1ln(22xx上页下页结束返回首页dxxdxxxxx11211121) 1ln(222) 1ln(21) 1(21) 1ln(22xdxxxxcxxxxx) 1ln(212141) 1ln(222dxxx11) 1(212) 1ln(22xx上页下页结束返回首

4、页例例4 4 求积分求积分xdxx2tan解解 原式原式xdxxdxxdxxx22sec) 1(sec, xu 令令cxxxxdxxxxxdxdxx|cos|lntantantantansec2xdxdxvdxtansec2则原式则原式cxxxx2|cos|lntan2上页下页结束返回首页例例5 5 求积分求积分.ln3 xdxx解解,ln xu ,443xddxxdv xdxx ln3 dxxxx3441ln41.161ln4144Cxxx 总结总结 4ln4xdx xdxxxln4ln4144.ln,arctan. 2 xdxxxdxxmm型型如如.ln,arctanxuxu 令令上页下页

5、结束返回首页dxxxxx)1 (41arctan4244例例6 求积分求积分 xdxx arctan3解解 令令 ,arctanxu )4(43xddxxdv)4(arctanarctan43xxdxdxxdxxxxxx2222411)1 (2) 1(41arctan4dxxdxdxxxx224114121)1 (41arctan4cxxxxxarctan411214arctan434上页下页结束返回首页例例7 7 求积分求积分.sin xdxex解解 xdxexsin xxdesin )(sinsinxdexexx xdxexexxcossin xxxdexecossin )coscos(s

6、inxdexexexxx xdxexxexxsin)cos(sin xdxexsin.)cos(sin2Cxxex 注意循环形式注意循环形式 有些积分，经分部积分后，会重新出现所求有些积分，经分部积分后，会重新出现所求的积分，其求解方法见以下两例：的积分，其求解方法见以下两例：P211-7注：型如注：型如 bxdxebxdxeaxaxcos,sin出现出现循环循环形式。形式。 上页下页结束返回首页例例8 8 求积分求积分.)sin(ln dxx解解 dxx)sin(ln )sin(ln)sin(lnxxdxx dxxxxxx1)cos(ln)sin(ln )cos(ln)cos(ln)sin(

7、lnxxdxxxx dxxxxx)sin(ln)cos(ln)sin(ln dxx)sin(ln.)cos(ln)sin(ln2Cxxx 有些积分，经分部积分后，会重新出现所求有些积分，经分部积分后，会重新出现所求的积分，其求解方法见以下两例：的积分，其求解方法见以下两例：上页下页结束返回首页例例9 9 求积分求积分 .1arctan2dxxxx解解 ,1122xxx dxxxx21arctan 21arctanxxd)(arctan1arctan122xdxxx dxxxxx222111arctan1 上页下页结束返回首页dxxxx 2211arctan1令令txtan dxx 211 td

8、tt22sectan11 tdtsecCtt )tanln(secCxx )1ln(2 dxxxx21arctanxx arctan12 .)1ln(2Cxx 上页下页结束返回首页.sectan102xdxx求例例（凑微分中讲过此种情况要用分部积分法解）（凑微分中讲过此种情况要用分部积分法解） xxdxdxxsectansectan2解解,sectantanseclnsectan2 xdxxxxxx xdxxxdxxxsectansecsectan2 xdxxxx2secsecsectan dxxxxx2tan1secsectan xxdxxtansecsectan上页下页结束返回首页移项解得

9、移项解得 .tanseclnsectan21sectan2Cxxxxxdxx .sectan102xdxx求例例（凑微分中讲过此种情况要用分部积分法解）（凑微分中讲过此种情况要用分部积分法解） xxdxdxxsectansectan2解解,sectantanseclnsectan2 xdxxxxxx上页下页结束返回首页例例12 求积分求积分dxxxexcos1)sin1 (解解 原式原式dxxxxex)2(cos2)2cos2sin21 (2dxxedxxexx)2tan()2(cos212dxxexdexx)2tan()2tan()2tan(xexdxxedxxexx)2tan()2tan(

10、cxex)2tan(上页下页结束返回首页在积分的过程中在积分的过程中, ,常要兼用换元法与分部积分法：常要兼用换元法与分部积分法： . 0,sin13adxx求例例 tdttdxxtxtx2sinsin2，于是，于是，则，则设设解解(往下再用分部积分法求解往下再用分部积分法求解.). 1,214xdxexexx求例例解解 首先设法去掉被积函数中的根式，为此首先设法去掉被积函数中的根式，为此 ，则则令令2ln2222 txtetexx上页下页结束返回首页例例 1 15 5 已已知知)(xf的的一一个个原原函函数数是是2xe , 求求 dxxfx)(. 解解 dxxfx)( )(xxdf,)()(

11、 dxxfxxf,)(2 Cedxxfx ),(2xfex 且有且有,2)(2xxexf dxxfx)( dxxfxxf)()(222xex .2Cex 上页下页结束返回首页例例16 求积分求积分 dxx2)(arcsin解解（一）（一） 原式原式 dxxxxxx2211arcsin2)(arcsindxxxxxx221arcsin2)(arcsin)1(arcsin2)(arcsin22xdxxx)(arcsin12arcsin12)(arcsin222xdxxxxxdxxxxxxx22221112arcsin12)(arcsincxxxxx2arcsin12)(arcsin22上页下页结束

12、返回首页ttdtttdttttcos2sinsin2sin22tdtttttcos2cos2sin2ctttttsin2cos2sin2,arcsintx .1cos2xtcxxxxx 2arcsin12)(arcsin22原原式式注：注：同一个题可能有多种积分法，具体使用哪种积分同一个题可能有多种积分法，具体使用哪种积分法，视情况选取合适的积分法。法，视情况选取合适的积分法。解（二）解（二）,arcsintx 令令原式原式tddxtxsin,sin2sinsinsin22tdttttdt例例16 求积分求积分 dxx2)(arcsint1x21x 上页下页结束返回首页内容小结内容小结 分部积

13、分公式xvuvuxvudd1. 使用原则 :xvuvd易求出,易积分2. 使用经验 : “反对幂指三反对幂指三” , 前 u 后v3. 题目类型 :分部化简 ;循环解出;递推公式.cos,sin,)1( axdxxaxdxxdxexmmaxm型型如如.ln,arctan)2( xdxxxdxxmm型型如如.cos,sin)3( bxdxebxdxeaxax型型如如上页下页结束返回首页思考与练习思考与练习1. 下述运算错在哪里? 应如何改正?xxxdsincosxxxxxdsin)sin1(sinsinxxxxdsinsincos12xxxdsincos1, 1dsincosdsincosxxxxxx得 0 = 1答答: 不定积分是原函数族 , 相减不应为 0 . 求此积分的正确作法是用第一换元法 .xxsinsindCx sinln上页下页结束返回首页uexexuudd,例例14. 求.d)(ln43xxx解解: 令则原式原式,lnxu ue34uueudueuud444uue434u212uu24240ue441ue4412ue4413ue4414ue4415原式原式 =ue4414u3u243uu8