周长最小值专题

1、A.线段和最小值两种基本模型如图，要在街道旁修建一个奶站 P,向居民区A B提供牛奶，奶站P 应建在什么地方，才能使从 A, B到它的距离之和最短？为什么？求线段和最小值的一般步骤： 选点P所在直线I为对称轴；画出点A的对称点A 连结对称点A与B之间的线段，交直线I于点P,点P即为所求的点，线段A B的长就是AP+BP勺最小值。基本解法：利用对称性，将“折”转“直”基础训练如图11,梯形ABCDK ADC.2.如图4,菱形ABCDK AB=2 / BAD=60 , E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB勺最小值是。图42.如图，已知点A是半圆上一个三等分点，点 B是弧AN的中

2、点， 点P是半径ON上的动点，若的半径长为1,则AP+BP勺最小值为B.三角形周长最小值1. (福建彰州)如图 4,/ AOB=45 , P是/ AOB内一点，P0=1Q Q R分别是 OA OB上的动点，求 PQF周长的最小值.2.如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(1 , Q) , B(-3 , Q)两点，(1) 求该抛物线的解析式。(2) 设(1)中的抛物线交y轴于点C,在该抛物线的对称轴上是否存在点 Q, 使得QAC的周长最小？如果存在，求出点 Q的坐标；若不存在，请说明理由。(3)在第二象限的抛物线上是否存在一点P,是厶PBC的面积最大？若存在，求出点P坐标及厶PBC面积的

3、最大值;若不存在，请说明理由3. 如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c过A (3，)、B ( 4，2)、C (0，2)三点，点 P是x轴 上的动点.(1) 求抛物线的解析式；(2) 如图甲所示，连接 AC CP PB BA是否存在点P，使四边形ABPC为等腰梯形？若存 在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；(3) 点H是题中抛物线对称轴I上的动点，如图乙所示，求四边形AHPB周长的最小值.（1 ）利用待定系数法，将点 A, B, C的坐标代入解析式即可求得;（2） 根据等腰梯形的判定方法分别从PC/ AB与BP/ AC去分析，注意不要漏解;（3）首先确定点P与点H的位置，再求解各线段的长即

4、可.B.四边形周长最小值基本模型（一）定长不动：做双对称思路与方法1）总有两个已知点，即一条边是定值。2）分别做两个已知点关于xy轴的对称点，则与两坐标轴的焦点就是所求两点3）此时，两个对称点与坐标轴上的两个点在一条直线上，即四点共线，所以最 小。1.在直角坐标系中,设A （4, -5） B （8，-3） C （m 0） D （0，n）,当四边形的 周长最短时,m/n的值为.2.在直角坐 标系中有 四个点A（ -6，3），B（ -2，5），C（ 0，m，D （n，0），当四 边形ABCD周长最短 时，贝U m+n=:做单对称基本模型（二）定长移动思路与方法1）做一个定点的对称点2）过另一定点做

5、移动边的平行线3）做出平行四边形，找到定长的两个端点1. 如图，A B是直线a同侧的两定点，定长线段PQ在a上平行移动，问 PQ移动到什么位置时，AP+PQ+Q的长最短？作法：（假设PQ就是在直线a上移动的定长线段）1）过点B作直线a的平行线,并在这条平行线上截取线段 BB,使它等于定长PQ；2）作出点A关于直线a的对称点A，连接AB，交直线a于P；3）在直线a上截取线段PQ=PQ.则此时 AP+PQ+B最小.略证：由作法可知 PQ=PQ=BB，四边形PQBB与PQBB均为平行四边形.下面只要说明AP+BQAP+BQ即可.点A与A关于直线 a对称，则 AP=AP,AP=AP.故:AP+BQ=A

6、P+BP=AB：AP+BQ=AP+BP. 显然，ABAP+BP；（三角形三边关系）即 AP+BQAP+BQ.2. 如图,在直线l上有动线段CD,在直线l的同侧有两定点 A,B在CD运动过程中请画出 使四边形ABCD周长最短的CD的位置专题训练1.在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为A（ 3，2），B（ 1 ,5）（1）若点P的坐标为（0，m），当m=时， PAB的周长是(2)若点C、D的坐标分别为(0, a)、( 0 , a+4),则当a=时，ABDC的周长最短.2. (浙江省湖州市)如图，已知平面直角坐标系，A B两点的坐标分别为 A (2,- 3)、B(4, - 1)。( 1 )若P

7、 ( p, 0)是x轴上的一个动点，则当 p=时， PAB的周长最短；(2)若C (a，0)，D( a+3，0)是x轴上的两个动点，则当 a=时，四边形ABDC勺周长最短；(3)设M N分别为x轴和y轴上的动点，请问：是否存在这样的点(m。)、( 0,n),使四边形ABMN勺周长最短？若存在， 请求出m=n=(不必写解答过程)；若不存在，请说明理由。3在平面直角坐标系中，矩形OACB勺顶点O在坐标原点，顶点A B分别在x轴、 y 轴的正半轴上，OA=3， OB=4， D为边 OB的中点.(1) 若E为边OA上的一个动点，当 CDE的周长最小时，求点 E的坐标。(2) 若E、F为线段边OA上的两个动点，且EF=2当四边形CDEF勺周长最小 时，求点E、F的坐标.4. 已 知顶 点 为 A(1,5) 的 抛 物线 经 过点 B(5,1).(1)求抛物线的解析式；如图(1),设C,D分别是轴、轴上的两个动点，求四边形ABCD周长的最小值； 在 中，当四边形 ABCD的周长最小时，作直线 CD设点P()()是直线