基本不等式技巧

1、基本不等式习专题之基本不等式做题技巧【基本知识】2 .21. ( 1)若 a,b R，则 a2 b2 _2ab (2)若 a,b R，则 ab(当且仅当 a = b2时取“二”)2. (1)若 a,b R*，则冬空 _ . ab (2) 若 a,b R*，则 a b _ 2 ab (当且仅当 a 二 b2时取“=”)若 a,b R*，则 ab b c R )，当且仅当 a = b = c 时, 号成立;a +b +c K3即abc 二 abc 0 且 aQ+b+G+bcu423,求 2a+b + c 的最小值.技巧一答案：1解：因4x -5 ： 0，所以首先要“调整”符号，又 (4x_2)LI

2、 1 不是常数，所以对 4x-24x5要进行拆、凑项，；x ：:5,. 5-4x 0，. y=4x2-54x-3 -一2 3 = 144x5J54x 丿1当且仅当5 4x =，即x = 1时，上式等号成立，故当x = 1时，ymax = 1。54x评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。2解析：由知，一 . 一，利用基本不等式求最值， 必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x (8 -2x) =8为定值，故只需将y二x(8 -2x)凑上一个系数即可。y 曲七)扣和(8 - 2z)J i扌竺字分-8当，即x= 2时取等号 当x = 2时，y=

3、x(8-2x)的最大值为8。评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。23、解： 0 ： x - :. 3 2x 0 y =4x(3 2x) =2 2x(3 2x)乞 2 2x 3 一 2x 9 2I 2 丿 2当且仅当2x=3-2x,即0,3时等号成立。4 I 2丿4解析:ii宀冇1)2XTT1(x小x_1 x_11T *冇1(xx -1 x -1135x -11_332,1_ V，当且仅当2(x 1)即 x = 2 时，=:22 2(x1)22222(x1)号成立，故此函数最小值是5。2评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于

4、构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项(常常是拆底次的式子)等方式进行构造。5、分析lg x Ig y二lg(xy), xy是二项“积”的形式，但不知其“和”的形式 x y是否3x 2y定值，而已知是3x与2y的和为定值12，故应先配系数，即将 xy变形为 6 ，再用 均值不等式.解：x 0, y 03x 2ylg x lg y =lg(xy) =lg 3x 22112 )2 =|g - I 丿j6(2丿1f 兰|g上= ig6当且仅当3x=2y，即x=2,y=3时，等号成立.所以|gx*|gy的最大值是|g6.6分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式 11 - 2+匸-+2

5、X2y+X2.同时还应化简1 + y 2中y2前面的系数为 2 ，7分析 初看，这是一个三元式的最值问题，无法利用a b - 2 ab +b来解决.换个思路，可考虑将2a b c重新组合，变成(a b) (a c)，而(a b)(a c)等于定值23，于是就可以利用均值不等式了 .解：由 a, b, c 0,知2a b c = (a b) (a c) 亠2、. (a b)(a c) = 2 a2 ab ac bc =2 .4 -2.3 =2；3 -2,当且仅当 b 二 c, 即b二c = .3- a时，等号成立.故2a bc的最小值为2、3-2.技巧二:分离或裂项2x 7x10,1.求y(x

6、-1)的值域。x +12求函数y=上)的值域.(1+2x)x + 1)的项，再将其1解析一：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有( 分离。乜巴上十呼壬十3丄出A+1X十1A+1十1当1 ,即；I厂时，y _2(x 1)2、解：可将上式转化为4: 5=9 (当且仅当x 1(x+1)x = 1时取“=”号)。y =(x 1)-11+2(x+1-1)(x+1)2 (x+1 )2-3(x 1)+1 一 1当 x-1 时，x+101 _+2 (1+x)2 2,此时 y(x+1)当x0- +2 (1+x) =- (+2 (-1-X)兰-2血此时y3 i(x+1)(-x-12.2+3 1 1

7、所以值域为：(-：,-一-,+：)22-32丁2+31_ 2.2-3技巧三：换元2x2 +7x +101、求y(x T)的值域。x +1Jx + 2y =2、求函数2x 5的最大值.+2(1+x)-3 (x+1)3、已知正数x、y满足_+1=1，求x+2y的最小值。x y24、已知x, y为正实数，且x 2 +豊 =1,求x 1 + y 2的最大值.参考答案：1、解析：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x + 1,化简原式在分离求最值。八(j)2 一1“102 5t 4 十45当I ,即 t=.r i 时，y _2(当t=2即x = 1时取“=”号)。评注：分式函数求最值，通常直接将

8、分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利A_用不等式求最值。即化为 y=mg(x)B( A 0, B 0)，g(x)恒正或恒负的形式,g(x)然后运用基本不等式来求最值。2分析可先令x t，进行换元，再使分子常数化，然后运用均值不等式来 解决解：令2 二t,t _0,x =t2 -2，则y 一 2t2 1t (t -0)当t =0时，y=0；当t 0时，y当且仅当2t=】，即t 2时，取等号t2所以x二-3时，取最大值为违.243、解法三：(三角换元法)8sin令x1cos.y则有8 2sin x12cos xx 2y 厂 2 sin x cos x2 2 2 2 2 2 = 8csc

9、 x 2sec x =8(1 cot x) 2(1 tan x) =10 8cot x 2tan x-10 2. (8cot2x) (2tan2 x) -18，易求得x=12,此时y =3时“=”号成立，故最小值 是18o技巧四：消元（转化为函数最值，此时要注意确定变量的范围） .丄1、已知正数x、y满足x y求x 2y的最小值。2、已知a, b为正实数，2b+ ab+ a= 30,求函数y = 的最小值.ab2_y_3、设x，y,z为正实数，x-2y3z = 0，则文的最小值是.1解法：(消元法)由 8 1 = 1 得讨二x ,由 y 0 x0又 x 0 = x .8贝U x 2yx yx

10、- 8x -8仝 x .2(x-8)代* 2(x-8)竺 10-2(x-8)1610=18。当且x-8x -8x-8x 8x816仅当x-8二6即x =12,此时y =3时“=” x-8、丄30 2b法一：a= b+T，号成立，故此函数最小值是18。30 2b ab b+ 122 b + 30 b b=b+ 1由 a0 得，0v bv 15人2t 2+令 t = b+1, 1 vt v 16, ab =34t 31 t=-216 16(t + ) + 34 / t +7 t ；6= 8/. abw 18y 当且仅当t = 4,即 b= 3,a= 6时，等号成立。3分析 本题也是三元式的最值问题

11、x 3z22，则可对XZ进行消元,用x,z表示，即变为二元式，然后可利用均值不等式解决问题 解：由 x, z 0,y = x 23z,可得y2 x2 9z2 6xz 6xz 6xz= xz 4xz4xz 当且仅当x =3z,即x = y, z=时，取“二”32故/的最小值为3.xz技巧五：整体代换（条件不等式）191 ：已知x . 0, y . 0 ,且1，求x y的最小值。x y2、已知正数x、y满足-丄=1，求x 2y的最小值。x y1 错解：丁 x 0, y 0，且 1 +- =1，二 x+y = P+9 ）（x + y 從2 但2历=12 故 x yJx y 丿 ，Y xyX y mi

12、n = 12。错因：解法中两次连用基本不等式,在x y _ 2. xy等号成立条件是x = y，在1 . 9 _2上等号成立条件是x y , xy在利用基本不等式处理问题时, 有误的一种方法。即y =9x ,取等号的条件的不一致，产生错误。因此, y正解：x 0, y 0,丄=1，x y=丄岂 10_6 10=16 x y当且仅当1时，上式等号成立，又一 yx-9 =1，可得 x=4,y =12时，x y min =16。列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否变式：（1）若x, y R 且 2xy=1，求丄.丄的最小值x y已知a,b,x, y R 且旦丄胡，求x，y的最小值x

13、y2、解法：（利用均值不等式）8 1x 16yx 2y =()(x 2y) =1010 2x yy x怛+丄才x 16y =18,当且仅当x y_ y xx 16yy =v即x =12,3时“=”号成立，故此函数最小值是18。技巧六：转化为不等式11. 已知a， b为正实数，2b+ ab+ a= 30，求函数y=不 的最小值.2、已知正数x y满足x x y 3，试求xy、x y的范围。1 解：由已知得：30- ab= a+ 2b： a+ 2b2 2 ab/ 30 ab 2 2 ab令 u= ,ab 则 u2 + 2 ,2 u 30W 0， 5,2 u 3 2点评：本题考查不等式a b _ .

14、 ab (a,b R )的应用、不等式的解法及运算能力；2w3 2 , ab 18如何由已知不等式a 2b 30 (a,b R )出发求得ab的范围，关键是寻找到aba b与ab之间的关系，由此想到不等式, ab ( a,b R)，这样将已知条件转换2为含ab的不等式，进而解得 ab的范围1解法：由 x . 0, y 0 ,则 xy=x y 3二 xy-3 = x y _2. xy，即(.xy)2 -2 xy 3 _0 解得.刃_ -1(舍)或；xy _3，当且仅当y且xx y 3即x = y=3时取“=”号， 故xy的取值范围是9,：)。又 x y 3 二丫)2二(x y)2 -4(x y)

15、-12_0= x y _ -2(舍)或x y _ 6，2当且仅当x =y且xy =x - y 3即x =y =3时取“=”号，故x y的取值范围是6, ：)技巧六：取平方解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系,学w屮，本题很简单1、已知x，y为正实数，3x+ 2y= 10，求函数 W 3x + 2y的最值 2:求函数 y = 2x-2x(- ：x：5)的最大值。3x + 2y w 2( 3x ) 2+( 2y ) 2 =寸2 3x+ 2y = 2 5解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。W 0，W= 3x + 2y

16、+ 2. 3x,2y=10+ 2.3x ,2yw 10+ (3x) 2 ( ,2y )2 = 10+ (3x+2y)=20 WW 20 = 2 5 解析：注意到2x - 1与5 - 2x的和为定值。y2 2x -1、5_2x)2 =4 2, (2x1)(5 2x)空 4 (2x1)(5 2x) = 8又 y 0，所以 0：y2、23当且仅当2x - 1=5 - 2x，即x时取等号。故ymax = 2、2。2评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件。 总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些 变形技巧，积极创造条件利用基本不

17、等式。注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f (x) = x 空的单x 调性。x +51求函数y的值域。(汐2、若 x、y. R ，求 f (xx - (0：x叮)的最小值。 x1 解：令、xL4 =t(t _2)，则 y = x 5 = . x4 一1 二 t 1 (t _ 2) Jx2+4Jx2+4 t11 因t 0,t1，但t 解得t=1不在区间2,:，故等号不成立，考虑单调性。tt15因为y=t 在区间1,二 单调递增，所以在其子区间1.2：为单调递增函数，故y_。所以，所求函数的值域为, :。2丿2解法一：(单调性法)由函数f(x) = ax+b(a、b =

18、 0)图象及性质知，当x壬(0,1时，x函数f (x) = x 是减函数。x证明：44任取 x1,x (0,1且 0 ：旨：x2 乞 1，贝U f (xj - f (x2)=(为 一 x2)()x2 为为乂24= (X1 -X2)41 =(X1 -X2)丄丄x1x2x1x2.c一XtX2 4-0 ；： X；： X2 1， X 一 x：- 0,叮 0 ，X1X2一4则 f (xj - f (x2) 0= f (x1)f (x2)，即 f (x)二 x在(0,1上是减函数。X故当x =1时，f (xH X -在(0,1上有最小值5。X解法二：(配方法)因OCX兰1,则有f(x)=x+4 =(纟-仮)2 + 4，易知当00且单调递减，贝U f(x)=(-Vx)2+4在(0,1上也是减函数，即 VxVx44f(x)二x 在(0,1上是减函数，当x=1时，f(x)二x 在(0,1上有最小值5。XX解法三：(导数法)由f(xx -得f(x)=1-弓，当(0,1时，XX44f (x)= 1 0则函数f(x) = x+在(0,1上是减函数。故当x = 1时，XX4f (x)二x在(0,1上有最小