牛吃草变形学案

1、“牛吃草问题”的变形【例 1】一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内 . 如果 10人淘水， 3小时淘完；如 5人淘水， 8 小时淘 完. 如果要求 2 小时淘完，要安排多少人淘水？答案： 设 1 人 1 小时淘出的水量是“ 1”，淘水速度是 （5 8 10 3） （8 3） 2 ，原有水量 （10 2） 3 24 ，要求 2小时淘完，要安排 24 2 2 14人淘水【巩固】一只船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速进入船内，如果 3 人淘水 40 分钟可以淘完； 6 人淘水 16 分钟可以把水淘完，那么， 5 人淘水几分钟可以把水淘完？答案： 设 1 人 1 分钟淘出的水量是“

2、1”， 40 16 24 分钟的进水量为 3 40 6 16 24， 所以每分钟的进水量为 24 24 1，那么原有水量为： 3 1 40 80 5 人淘水需要 80 5 1 20 （ 分钟 ） 把水淘完【例 2】画展 8:30 开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如果开3 个入场口， 9点就不再有人排队；如果开 5个入场口， 8点 45分就没有人排队。求第一个观众到达的时间。答案： 设每分钟 1 个入口进入的人数为 1 个单位。 8:30 到 9:00 共 30 分钟 3 个入口共进入 3 30 90 。8:30 到 8:45 共 15 分钟， 5 个入口

3、共进入 5 15 75，15 分钟到来的人数 90 75 15 ，每分钟到来 15 15 1。8：30 以前原有人 3 30 1 30 60 。 所以应排了 60 1 60 （分钟），即第一个来人在 7： 30【巩固】画展 9 点开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如果开 3 个入场 口，9点 9分就不再有人排队；如果开 5个入场口， 9点 5分就没有人排队求第一个观众到达的时间答案： 如果把入场口看作为“牛”，开门前原有的观众为“原有草量”，每分钟来的观众为“草的增长速度”，那么 本题就是一个“牛吃草”问题设每一个入场口每分钟通过“ 1”份人，那么 4分钟

4、来的人为 3 9 5 5 2，即 1 分钟来的人为 2 4 0.5，原有的人 为： 3 0.5 9 22.5 这些人来到画展，所用时间为 22.5 0.5 45（分） 所以第一个观众到达的时间为8点 15分【例 3】在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级台阶，那么他走 过 20 级台阶后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过30 级台阶到达地面从站台到地面有 级台阶答案： 本题非常类似于“牛吃草问题”，如将题目改为：“在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级台阶，那么他走过 20 秒后到达地面；如果每秒向上迈

5、两级台阶，那么走过 15 秒到达地面问：从站台到地面有多少级台阶？” 采用牛吃草问题的方法，电梯 20 15 5 秒内所走的阶数等于小强多走的阶数： 2 15 1 20 10阶，电梯的速度为 10 5 2阶/ 秒，扶梯长度为 20 （1 2） 60 （阶）。【巩固】两个顽皮的孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，男孩每秒可走3 级梯级，女孩每秒可走 2 级梯级，结果从扶梯的一端到达另一端男孩走了 100 秒，女孩走了 300 秒。问：该扶梯共有多少级梯级？答案： 本题与牛吃草问题类似，其中扶梯的梯级总数相当于原有草量；而自动扶梯运行的速度则相当于草的增长速度。 并且上楼的速度要分成两部分一部分是孩子

6、自己的速度，另一部分是自动扶梯的速度。自动扶梯的速度 （女孩每秒走的梯级女孩走的时间男孩每秒走的梯级男孩走的时间）（女孩走的时间男 孩走的时间） （2 300 3 100） （300 100） 1.5 ，自动扶梯的梯级总数女孩每秒走的梯级女孩走的时间自动 扶梯的速度女孩走的时间 2 300 1.5 300 600 450 150 （级）所以自动扶梯共有 150 级的梯级。【例 4】小明从甲地步行去乙地，出发一段时间后，小亮有事去追赶他，若骑自行车，每小时行15千米， 3小时可以追上；若骑摩托车，每小时行 35 千米， 1 小时可以追上；若开汽车，每小时行 45 千米， 多长时间能追上。答案：

7、本题是“牛吃草”和行程问题中的追及问题的结合小明在 3 1 2 小时内走了 15 3 35 1 10 千米，那么小 明的速度为 10 2 5（千米 / 时） ，追及距离为 15 5 3 30 （ 千米 ） 汽车去追的话需要： 30 45 5 3 （小4时） 45（分钟 ）【例 5】快、中、慢三车同时从 A地出发沿同一公路开往 B地，途中有骑车人也在同方向行进，这三辆车分别用7 分钟、 8分钟、 14分钟追上骑车人已知快车每分钟行800米，慢车每分钟行 600米，中速车的速度是多少？答案： 可以将骑车人与三辆车开始相差的距离看成原有草量，骑车人的速度看成草生长的速度，所以骑车人速度是：（600

8、14 800 7） （14 7） 400 （米/ 分） ，开始相差的路程为： （600 400） 14 2800 （米），所以中速车速度为：2800 8 400 750（ 米分 ）【巩固】有固定速度行驶的甲车和乙车， 如果甲车以现在速度的 2 倍追赶乙车， 5 小时后甲车追上乙车；如果甲车以现 在速度的 3 倍追赶乙车， 3 小时后甲车追上乙车，那么如果甲车以现在的速度去追赶乙车，问：几个小时后甲车追上乙 车？答案： 分析知道甲车相当于“牛”，甲追赶乙的追及路程相当于“原有草量”，乙车相当于“新生长的草”设甲车的速度为“ 1”，那么乙车 5 3 2 小时走的路程为 2 5 3 3 1，所以乙的

9、速度为 1 2 0.5，追及路程为：2 0.5 5 7.5 如果甲以现在的速度追赶乙，追上的时间为： 7.5 1 0.5 15（ 小时）【例 6】甲、乙、丙三车同时从 A地出发到 B地去甲、乙两车的速度分别是每小时60 千米和每小时 48千米有辆卡车同时从 B地迎面开来，分别在它们出发后6小时、 7小时、 8小时先后与甲、乙、丙车相遇，求丙车的速度答案： 相遇问题可以看成是草匀速减少的过程，全程看成是原有草量，卡车速度看成是草匀速减少的速度。所以卡车速度为： （60 6 48 7） （7 6） 24 （千米 / 时），全程： 米/ 时）【巩固】小新、正南、妮妮三人同时从学校出发到公园去 他们出

10、发的同时，风间从公园迎面走来，分别在他们出发后 妮妮的速度答案：当小新和风间相遇时， 正南落后小新 6 20 16（60 24） 6 504（千米），丙车速度为： 504 8 24 39（千小新、 正南两人的速度分别是每分钟 20 米和每分钟 16 米在6 分钟、 7 分钟、 8 分钟先后与小新、正南、妮妮相遇，求24 （米） ，依题意知正南和风间走这 24 米需要 7 6 1（ 分钟），正南和风间的速度和为： 24 1 24 （ 米分 ） ，风间的速度为： 24 16 8 （ 米分 ） ，学校到公园的距离为：24 7 168（米） 所以妮妮的速度为： 168 8 8 13（米分 ）【例 7】

11、一个装满了水的水池有一个进水阀及三个口径相同的排水阀，如果同时打开进水阀及一个排水阀，则30分钟能把水池的水排完，如果同时打开进水阀及两个排水阀，则 10 分钟把水池的水排完问：关闭进水阀并且同时打开三 个排水阀，需要多少分钟才能排完水池的水？答案：设一个排水阀 1分钟排水量为“ 1”，那么进水阀 1分钟进水量为 1 30 2 10 30 10 0.5 ，水池原有水量 为 1 0.5 30 15 关闭进水阀并且同时打开三个排水阀，需要15 3 5（ 分钟 ） 才能排完水池的水【巩固】一个蓄水池有 1个进水口和 15 个出水口， 水从进水口匀速流入 当池中有一半的水时， 如果打开 9个出水口，9

12、 小时可以把水排空如果打开 7 个出水口， 18 小时可以把水排空如果是一满池水，打开全部出水口放水，那么经 过 时 分水池刚好被排空答案： 本题是牛吃草问题的变形设每个出水口每小时的出水量为1 ，则进水口每小时的进水量为：（7 18 9 9） （18 9） 5 ，半池水的量为：（9 5） 9 36 ，所以一池水的量为 72如果打开全部 15个出水口，排空水池所需要的时间为72 （15 5） 7.2小时，即 7 小时 12分钟【例 8】北京密云水库建有 10 个泄洪洞，现在水库的水位已经超过安全线，并且水量还在以一个不变的速度增加，为 了防洪，需要调节泄洪的速度，假设每个闸门泄洪的速度相同，经

13、测算，若打开一个泄洪闸，30 个小时以后水位降至安全线；若同时打开两个泄洪闸， 10 个小时后水位降至安全线根据抗洪形势，需要用2 个小时使水位降至安全线以下，则至少需要同时打开泄洪闸的数目为多少个？答案： 此题是 牛吃草问题的变形，假设每个泄洪 洞每小时泄洪的量为 1， 则水库 每小时增加的水量为 （1 30 2 10） （30 10） 0.5，原有的水量超过安全线的部分有（1 0.5） 30 15 如果要用 2 个小时使水位降至安全线以下，至少需要开 15 2 0.5 8 个泄洪闸【巩固】有一个蓄水池装了 9 根相同的水管，其中一根是进水管，其余 8 根是出水管开始时，进水管以均匀的速度不

14、 停地向蓄水池注水 后来， 想打开出水管， 使池内的水全部排光 如果同时打开 8 根出水管， 则 3小时可排尽池内的水； 如果仅打开 5 根出水管，则需 6 小时才能排尽池内的水若要在 4.5小时内排尽池内的水，那么应当同时打开多少根出 水管？答案： 设 1 根出水管 1 小时排水的量为“ 1”，那么进水管每小时进水量为5 6 8 3 6 3 2 ，池内原有水量为8 2 3 18 要在 4.5 小时内排尽池内的水，应当同时打开 18 4.5 2 6 根出水管【巩固】由于环境恶化、气候变暖，官厅水库的水在匀速减少，为了保证水库的水量，政府决定从上游的壶流河水库以及册田水库分别向官厅水库进行调水，

15、已知这两个水库的每个闸门放水量是相同的，如果同时打开壶流河水库的 个闸门 30 小时可以使官厅水库水量达到原来的标准，如果同时打开册田水库的 4 个闸门 40 小时可以使官厅水库水量 达到原来的标准，如果 24 小时使官厅水库水量达到原来的标准，问需同时打开两个水库的几个闸门 ?答案：设1个闸门 1小时的放水量为“ 1”， 那么每小时自然减少的水量为： 40 4 30 5 40 30 1 ，实际注入 水量为： 5 1 30 120 ；24 小时蓄水需要打开的闸门数是： 120 24 1 6 （个）【例 9】甲、乙、丙三个仓库，各存放着数量相同的面粉，甲仓库用一台皮带输送机和12 个工人， 5

16、小时可将甲仓库内面粉搬完；乙仓库用一台皮带输送机和28个工人， 3 小时可将仓库内面粉搬完；丙仓库现有2 台皮带输送机，如果要用 2小时把丙仓库内面粉搬完，同时还要多少个工人？（ 每个工人每小时工效相同，每台皮带输送机每小时工效也相同，另外皮带输送机与工人一起往外搬运面粉 ）答案：设1人1小时搬运的份数为“ 1”，那么一台皮带运输机 1小时的工作量为28 3 12 5 5 3 12 ，每个仓库存放的面粉总量为：12 12 5 120 那么,丙仓库现有 2 台皮带输送机，如果要用 2 小时把丙仓库内面粉搬完，需要 120 2 12 2 36（人） 【例 10】小方用一个有洞的杯子从水缸里往三个同

17、样的容积的空桶中舀水。第一个桶距水缸有1 米，小方用 3 次恰好把桶装满；第二个桶距水缸有 2米，小方用 4次恰好把桶装满。第三个桶距水缸有 3 米，那么小方要多少次才能把它 装满（假设小方走路的速度不变，水从杯中流出的速度也不变）答案： 小方装第二个桶比第一个桶多用了一杯水，同时多走了 2 4 1 3 5米路，所以从杯中流出的速度是 1 5 0.2 （杯/米），于是 1 桶水原有水量等于 3 3 0.2 2.4杯水，所以小方要 2.4 （1 3 0.2） 6 次才能把第三个桶装满。【例 11】某建筑工地开工前运进一批砖，开工后每天运进相同数量的砖，如果派250个工人砌砖墙， 6 天可以把砖用

18、完，如果派 160 个工人， 10 天可以把砖用完，现在派 120 名工人砌了 10 天后，又增加 5 名工人一起砌，还需要再砌几 天可以把砖用完？答案： 开工前运进的砖相当于“原有草量”，开工后每天运进相同的砖相当于“新生长的草”，工人砌砖相当于“牛 在吃草”所以设 1 名工人 1天砌砖数量为“ 1”，那么每天运来的砖为160 10 250 6 10 6 25 ，原有砖的数量为： 250 25 6 1350 如果 120 名工人砌 10 天，将会砌掉 10 天新运来的砖以及 950 原有的砖，还剩 1350 950 400 的原有的砖未用，变成 120 5 125人来砌砖，还需要： 400 125 25 4 （ 天 ）【例 12】某建筑工地开工前运进一批砖，开工后每天运进相同数量的砖，如果派15 个工人砌砖墙， 14天可以把砖用完，如果派 20个工人， 9天可以把砖