圆幂定理讲义带答案解析

1、完美WORD格式.整理专业资料分享圆幕定理STEP 1:进门考理念：1.检测垂径定理的基本知识点与题型2. 垂径定理典型例题的回顾检测。3. 分析学生圆部分的薄弱环节。(1)例题复习1. (2015?夏津县一模)一副量角器与一块含30锐角的三角板如图所示放置，三角板的直角顶点C落在量角器的直径MNt,顶点A, B恰好都落在量角器的圆弧上，且 AB/ MN若AB=8cm则量角器的直径 MN cmMC V【考点】M3垂径定理的应用；KQ勾股定理；T7:解直角三角形.【分析】 作CD丄AB于点D,取圆心O,连接0A作0E AB于点E,首先求得CD的长，即 OE的长，在直角厶AOE中，利用勾股定理求得

2、半径 OA的长，贝U MN即可求解.【解答】解：作CDLAB于点D,取圆心 O,连接OA作OELAB于点E.在直角ABC中，/ A=30，贝U BC*AB=4cm 在直角 BCD中，/ B=90 / A=60，=2 : (cm)， OE=CD=2 ；，在厶AOE中，AE丄AB=4cm-CD=BC?sinB=4则 0A=J =.：丨=2厂(cm)，贝 U MN=2OA=4f (cm). 故答案是：4.亍.【点评】本题考查了垂径定理的应用，在半径或直径、弦长以及弦心距之间的计算中，常用的方法是转化为解直角三角形.2. （2017?阿坝州）如图将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过cmD. 2

3、；cm【考点】M2垂径定理；PB:翻折变换（折叠问题）.【分析】通过作辅助线，过点O作ODL AB交AB于点D,根据折叠的性质可知 OA=2OD根据 勾股定理可将 AD的长求出，通过垂径定理可求出AB的长.【解答】解：过点O作ODL AB交AB于点D,连接OA/ OA=2OD=2cmAD=，.=.: (cm),cm.故选：D.【点评】 本题考查了垂径定理和勾股定理的运用，正确应用勾股定理是解题关键.3. （2014?泸州）如图，在平面直角坐标系中P的圆心坐标是（3，a）（a3）,半径为3,函数y=x的图象被。P截得的弦AB的长为，/，则a的值A. 43V23+V3【考点】M2垂径定理；F8:

4、次函数图象上点的坐标特征；KQ勾股定理.【专题】11 :计算题；16 :压轴题. AE=BEAB2在 Rt PBE中,PB=3 PE= j PD= fPE= I： , a=3+.【. 故选：B.考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质.并且平分弦所对的两条弧也【分析】PCL x轴于C,交AB于D,作PEL AB于E,连结PB,由于OC=3 PC=a易得D点 坐标为(3, 3),则厶OCD为等腰直角三角形， PED也为等腰直角三角形.由 PEL AB根据垂径定理得 AE=BE=-AB=2二 在Rt PBE中，利用勾股定理可计算出 PE=1,则PD= ：PE=.爲所以a=3+- I【解答】解：作PCL

5、x轴于C,交AB于D,作PE! AB于E,连结PB如图，O P 的圆心坐标是（3, a） , OC=3 PC=a,把x=3代入y=x得y=3 , D点坐标为(3 , 3) , CD=3 OCD为等腰直角三角形，PED也为等腰直角三角形， / PEL AB,4.(2013?内江)在平面直角坐标系 xOy中,以原点O为圆心的圆过点A(13 , 0),直线y=kx - 3k+4与O O交于B、C两点,则弦BC的长的最小值为【分析】根据直线y=kx - 3k+4必过点D( 3 , 4),求出最短的弦 CB是过点D且与该圆直径 垂直的弦，再求出 OD的长，再根据以原点 O为圆心的圆过点 A (13 ,

6、0),求出OB的长, 再利用勾股定理求出 BD,即可得出答案.【解答】 解：直线 y=kx - 3k+4=k (x- 3) +4 , k (x- 3) =y- 4 ,T k 有无数个值， x- 3=0, y - 4=0,解得 x=3, y=4,直线必过点 D (3, 4),最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦，点D的坐标是(3, 4), OD=5以原点O为圆心的圆过点 A (13, 0),圆的半径为13,OB=13 - BD=12 - BC的长的最小值为 24;故答案为：24.【点评】此题考查了一次函数的综合,用到的知识点是垂径定理、勾股定理、圆的有关性质,关键是求出BC最短时的位置.ST

7、EP 2:新课讲解1、熟练掌握圆幕定理的基本概念。2、熟悉有关圆幕定理的相关题型，出题形式与解题思路3、能够用自己的话叙述圆幕定理的概念。4、通过课上例题，结合课下练习。掌握此部分的知识。、相交弦定理相交弦定理B(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等(经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等).几何语言：若弦 AB、CD交于点P,则PA?PB=PC?PD (相交弦定理)(2 )推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项.几何语言：若 AB是直径，CD垂直AB于点P,则PC2=PA?PB (相交弦定理推论)基本题型:【例1】

8、（2014秋?江阴市期中） 如图，OO的弦AB CD相交于点P,若AP=3BP=4 CP=2 则 CD长为（）D.不能确定【考点】M7相交弦定理.【专题】11 :计算题.【分析】由相交线定理可得出 AP?BP=CP?DP再根据AP=3 BP=4, CP=2 可得出 PD的长,从而得出CD即可.【解答】解：I AP?BP=CP?DPPD十/ AP=3, BP=4, CP=2 PD=6, CD=PC+PD=2+6=.8故选C.【点评】 本题考查了相交线定理，圆内两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等.【练习1】（2015?南长区一模）如图，矩形 ABCE为O O的内接四边形，AB=2BC=3点E

9、为BC上一点，且BE=1,延长AE交O O于点F,则线段AF的长为【考点】M7相交弦定理.【分析】由矩形的性质和勾股定理求出AE再由相交弦定理求出 EF,即可得出AF的长.【解答】 解：四边形 ABCD是矩形， / B=90， AE=:匕1 24=3.故选D.【点评】本题主要考查的是相交弦定理“圆内两弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”.2.00的两条弦 AB与 CD相交于点 P, PA=3cm PB=4cm PC=2cm 则 CD=()A. 12cm B. 6cm C. 8cm D. 7cm【分析】根据相交弦定理进行计算.【解答】 解：由相交弦定理得：PA?PB=PC?

10、PD DP-=6cm, CD=PC+PD=2+6=8cm故选 C.2【点评】本题主要是根据相交弦定理“圆内两弦相交于圆内一点, 段的长的乘积相等”进行计算.各弦被这点所分得的两线3.如图，0 0中，弦AB与直径CD相交于点P,且PA=4 PB=6 PD=2 贝90 O的半径为（）A. 9B. 8C. 7D. 6【分析】根据相交弦定理得出 APBP=CPOP,求出CP,求出CD即可.【解答】 解：由相交弦定理得：APBP=CPBP=CPDP.完美WORD格式.整理4. 如图，A是半径为1的圆O外的一点，0A=2 AB是的切线，B是切点，弦BC/ 0A连接AC,则阴影部分的面积等于（）专业资料分享

11、A迟B .匹C.三逵D.巴迥4&6848【分析】 连接OB 0C易证： BOC是等边三角形，且阴影部分的面积= BOC的面积，据此即可求解.【解答】解：连接OB 0C/ AB是圆的切线，/ ABO=90，在直角 ABO中, OB=1 OA=2/ OAB=30，/ AOB=60， 9A/ BC, / COB2 AOB=60，且 S 阴影部分=G boc BOC是等边三角形，边长是 1，S阴影部分=0BO,1 V3 V3亠 .2 24【点评】本题主要考查了三角形面积的计算，以及切割线定理，正确证明BOC是等边三角形是解题的关键.5 .如图，PA PB分别是。0的切线，A，B分别为切点，点E是。0上

12、一点，且A. 120B. 60 C. 30 D. 45【分析】连接OA BO由圆周角定理知可知/ AOB=2/ E=120 , PA、PB分别切O O于点A、B, 利用切线的性质可知/ OAP=/ OBP=90，根据四边形内角和可求得/ P=180 -Z AOB=60 .【解答】解：连接OA BQ/Z AOB=Z E=120 ,Z OAPZ OBP=90 ,Z P=180 -Z AOB=60 .【点评】 本题考查了切线的性质，切线长定理以及圆周角定理，禾U用了四边形的内角和为360度求解.解答题（共3小题）6 .如图，P为弦AB上一点，CPI OP交O O于点C, AB=8 丄，求PC的长.【

13、分析】 延长CP交O O于D.由垂径定理可知 CP=DP由AB=8,孚亠，得到ApaB=2,PB 34PBAB=6再根据相交弦定理得出PC?PD=AP?PB代入数值计算即可求解.4【解答】 解：如图，延长 CP交O O于D.CP 丄 OP CP=DP APAB=2, PBlAB=6.44P,/ AB、CD是O O的两条相交弦，交点为 PC?PD=AP?PB P&=2X6， PC=2 一 :.【点评】本题考查了相交弦定理： 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.同时考查了垂径定理，准确作出辅助线是解题的关键.7 .如图，AB BC CD分别与O O相切于 E, F, G,且 AB/

14、CD BO=6cm CO=8cm求BC的长.【分析】根据切线长定理和平行线的性质定理得到BOC是直角三角形再根据勾股定理求出BC的长.【解答】解： AB, BC, CD分别与O O相切于E, F , G;/ AB/ CD/ ABC+Z DCB=180 ,1/ ABC / BCO丄 / DCB丄 CB0 BC第 / ABC耳/ DC時（/尺 DCB =90（护 + 岸=wcmRt BOC再根据勾股【点评】解答此题的关键是综合运用切线长定理和平行线的性质发现 定理进行计算.8. 如图,PA切OO于点A,割线PBC交OO于点B、C.(1) 求证：pA=pb?pc(2) 割线PDE交O O于点D E

15、,且PB=BC=4 PE=6求DE的长.2 . .PA=PB?PC同理得,（2 ）由即得出DE的长.【解答】解：（1）连接ABPA PBPC PAPA=PD?PE可证得 PD?PE=PB?PC根据题意可求得PD,2，即 PA=PB?PCAC BO AO, PA切OO于点A, PA丄 AO 即/ PAB+Z BAO=90 ,（1 分）又 2Z BAO+Z 0=180 ,./ PAB丄 Z O,2/ c丄 /。， Z PAB=/ C, PABA PCA （ 4 分） 4 Iti 一 - ,2即 PA=PB?PC（5 分）2（2 ）T PA=PB?PC 同理，PA2=PD?PE PD?PE=PB?PC （7 分）且 PB=BC=4 PE=6,16（9分）9. （2014?长沙校级自主招生）以半圆中的一条弦BC（非直径）为对称轴将弧AF1 9BC折叠后与直径AB交于点D,若 ,且AB=10则CB的长为（）A. |.! IB. ： ；C. : /D. 4【考点】MH切割线定理；KQ勾股定理；PB:翻折变换（折叠问题）.【专题】31 :数形结合.【分析】作AB关于直线CB的对称线段 A B,交半圆于 D,连接AC CA，构造全等三 角形，然后利用勾股定理、割线定理解答.DB 3【解答】 解：如图，若，且AB=10,. AD=4, BD=6