船体振动学 第3章

1、船体振动学船体振动学 第第3 3章章 梁的横向振动梁的横向振动 Ship Vibration 3.1 连续系统连续系统 3.2 梁的横向自由振动梁的横向自由振动 3.3 梁的横向强迫振动梁的横向强迫振动 3.4 转动惯量和剪切变形以及轴向力对梁的转动惯量和剪切变形以及轴向力对梁的横向自由振动的影响横向自由振动的影响 3.5 梁的横向自由振动的近似解法梁的横向自由振动的近似解法Ship Vibration 3.1 3.1 连续系统连续系统Ship Vibration各种工程结构和构件，例如杆、梁、板、壳等都各种工程结构和构件，例如杆、梁、板、壳等都是具有分布质量的弹性体。要确定弹性体上各点是具有

2、分布质量的弹性体。要确定弹性体上各点的位置需要无限多个广义坐标，因此弹性体是具的位置需要无限多个广义坐标，因此弹性体是具有有无限多自由度的系统无限多自由度的系统，也称为，也称为连续系统连续系统。 Ship Vibration 3.1 3.1 连续系统连续系统对于图示的简支梁，在第对于图示的简支梁，在第2章中提到的处理方法章中提到的处理方法是将梁离散化，即将梁近似的看作是由是将梁离散化，即将梁近似的看作是由 个集中个集中质量组成的无质量的梁。当梁作横向弯曲振动时，质量组成的无质量的梁。当梁作横向弯曲振动时，用有限个离散点处的横向位移用有限个离散点处的横向位移 来代替真实的、连续的动挠来代替真实的

3、、连续的动挠度曲线。显然，采用这种方法得到的解只是梁的度曲线。显然，采用这种方法得到的解只是梁的真实解的一种近似。随着离散点的数目不断增加，真实解的一种近似。随着离散点的数目不断增加，所得到的解将逐渐收敛于梁的真实解。所得到的解将逐渐收敛于梁的真实解。 Ship Vibration 3.1 3.1 连续系统连续系统n)(,),(),(21twtwtwn连续系统具有连续系统具有连续分布的质量和弹性连续分布的质量和弹性，它的振动，它的振动规律要用规律要用时间和空间坐标的连续函数时间和空间坐标的连续函数来描述，其来描述，其运动微分方程是运动微分方程是偏微分方程偏微分方程。在数学上，离散系。在数学上，

4、离散系统和连续系统代表两种不同类型的系统。但在本统和连续系统代表两种不同类型的系统。但在本课程里，离散系统和连续系统只不过是描述同一课程里，离散系统和连续系统只不过是描述同一物理系统的两个数学模型而已。尽管离散系统的物理系统的两个数学模型而已。尽管离散系统的振动用常微分方程来描述，连续系统的振动用偏振动用常微分方程来描述，连续系统的振动用偏微分方程来描述，但是在物理本质上以及振动的微分方程来描述，但是在物理本质上以及振动的基本概念、分析方法上连续系统的振动与离散系基本概念、分析方法上连续系统的振动与离散系统的振动是相似的。统的振动是相似的。 Ship Vibration 3.1 3.1 连续系

5、统连续系统弹性体的振动需要用偏微分方程来描述弹性体的振动需要用偏微分方程来描述 ，不同弹，不同弹性体的振动方程是不同的。只有对一些简单的、性体的振动方程是不同的。只有对一些简单的、 规则的弹性体才能得到振动方程的精确解，如均规则的弹性体才能得到振动方程的精确解，如均匀直杆的纵向振动、均匀圆轴的扭转振动以及均匀直杆的纵向振动、均匀圆轴的扭转振动以及均匀直梁的横向振动等等。对于大多数的实际弹性匀直梁的横向振动等等。对于大多数的实际弹性体的振动，仍然要采用各种近似的离散化方法，体的振动，仍然要采用各种近似的离散化方法，将连续系统转化为离散系统来处理。但本章讨论将连续系统转化为离散系统来处理。但本章讨

6、论的离散化不同于上一章的的离散化不同于上一章的将分析模型离散化将分析模型离散化，而，而是是按固有振型离散化按固有振型离散化。 Ship Vibration 3.1 3.1 连续系统连续系统梁是弹性体中最常见的，也是最基本的构件。对梁是弹性体中最常见的，也是最基本的构件。对于横截面具有两条对称轴线的梁，存在着四种形于横截面具有两条对称轴线的梁，存在着四种形式的振动，即式的振动，即垂直平面内的振动垂直平面内的振动、水平面内的振水平面内的振动动、纵向振动纵向振动和和扭转振动扭转振动。本章仅介绍梁在垂直。本章仅介绍梁在垂直平面内的横向振动。假定梁的平面内的横向振动。假定梁的材料均质材料均质、各向同各向

7、同性性，以及服从虎克定律（表示振动时梁内的应力，以及服从虎克定律（表示振动时梁内的应力不超过材料的比例极限，使得梁的不超过材料的比例极限，使得梁的应力与应变关应力与应变关系是线性的系是线性的）。其次假定振动是微小的，使得）。其次假定振动是微小的，使得应应变与位移的几何关系也是线性的变与位移的几何关系也是线性的。最后假定梁在。最后假定梁在平衡状态下的轴线是一直线，发生振动变形前垂平衡状态下的轴线是一直线，发生振动变形前垂直于梁轴线的横截面，在发生振动变形后仍然保直于梁轴线的横截面，在发生振动变形后仍然保持为平面。持为平面。 Ship Vibration 3.1 3.1 连续系统连续系统 3.2

8、3.2 梁的横向自由振动梁的横向自由振动Ship Vibration梁的横向振动的运动微分方程梁的横向振动的运动微分方程如图所示，考虑梁在如图所示，考虑梁在 平面内的振动。假定发生平面内的振动。假定发生振动变形前垂直于梁轴线的横截面是平面，在发振动变形前垂直于梁轴线的横截面是平面，在发生振动变形后该横截面仍然是平面且仍然垂直于生振动变形后该横截面仍然是平面且仍然垂直于变形后的梁轴线，即变形后的梁轴线，即忽略了横截面的剪切变形和忽略了横截面的剪切变形和转动惯量的影响转动惯量的影响，这种梁模型也称为欧拉，这种梁模型也称为欧拉-伯努利伯努利梁。梁。Ship Vibration 3.2 3.2 梁的横

9、向自由振动梁的横向自由振动xz梁的横向位移是梁的横向位移是 ，长度是，长度是 ，横截面面积，横截面面积是是 ，横截面对中性轴的惯性矩是，横截面对中性轴的惯性矩是 ；梁的密度；梁的密度是是 ，材料的弹性模量是，材料的弹性模量是 ；单位长度梁上作用；单位长度梁上作用的分布外力是的分布外力是 。在梁上。在梁上 处取长为处取长为 的的微段，微段微段，微段 的受力图如图所示。的受力图如图所示。 Ship Vibration 3.2 3.2 梁的横向自由振动梁的横向自由振动),(txwlAIEdx),(txfxdx由牛顿第二定律写出微段沿由牛顿第二定律写出微段沿 轴的力平衡方程轴的力平衡方程 Ship V

10、ibration 3.2 3.2 梁的横向自由振动梁的横向自由振动dxtxfdxxQQQtwAdx),(22),(22txfxQtwAz化简为化简为 再写出微段绕再写出微段绕 轴的力矩平衡方程轴的力矩平衡方程 ，得，得 Ship Vibration 3.2 3.2 梁的横向自由振动梁的横向自由振动022),(2222dxtwAdxdxxQQMdxtxfdxxMMxMQ略去略去 的二次项后，得的二次项后，得 ydx将将 代入代入 ，得，得 Ship Vibration 3.2 3.2 梁的横向自由振动梁的横向自由振动),(22txfxQtwA),(2222txftwAxM由材料力学知由材料力学知

11、 ，并代入上式，得，并代入上式，得 22xwEIM),(222222txftwAxwEIx上式就是欧拉上式就是欧拉-伯努利梁横向振动的运动微分方程伯努利梁横向振动的运动微分方程 。对于等截面梁，则对于等截面梁，则 是常数，上式又可写成是常数，上式又可写成 ),(2244txftwAxwEIEIxMQ固有频率和振型固有频率和振型在上式中令在上式中令 得到梁横向自由振动的运得到梁横向自由振动的运动微分方程动微分方程运动微分方程的解可以用运动微分方程的解可以用 的函数的函数 与与 的简的简谐函数的乘积表示，即谐函数的乘积表示，即 其中其中 是是主振型主振型或或振型函数振型函数，即梁上各点按，即梁上各

12、点按振型振型 作同步简谐振动。作同步简谐振动。Ship Vibration 3.2 3.2 梁的横向自由振动梁的横向自由振动),(2244txftwAxwEI0),(txf02244twAxwEI)(xWxt)sincos)(),(tBtAxWtxw)(xW)(xW将上式代入运动微分方程将上式代入运动微分方程 ，得得 Ship Vibration 3.2 3.2 梁的横向自由振动梁的横向自由振动上式可改写成上式可改写成 02244twAxwEI)()(444xWdxxWd0)()(244xAWdxxWdEI)sincos)(),(tBtAxWtxw式中式中 EIA24上述方程的通解是上述方程的

13、通解是 Ship Vibration 3.2 3.2 梁的横向自由振动梁的横向自由振动也可以表示为也可以表示为 )()(444xWdxxWdxCxCxCxCxWcoshsinhcossin)(4321根据梁的边界条件可以确定根据梁的边界条件可以确定 值及振型函数值及振型函数 中的待定常数。边界条件要考虑四个量，即挠度、中的待定常数。边界条件要考虑四个量，即挠度、转角、弯矩和剪力，一般情况下梁的每个端点都转角、弯矩和剪力，一般情况下梁的每个端点都与其中的两个量有关。与其中的两个量有关。 xjxjxxeCeCeCeCxW4321)()(xW常见的简单边界条件常见的简单边界条件 有如下几种。有如下几

14、种。 Ship Vibration 3.2 3.2 梁的横向自由振动梁的横向自由振动1. 固定端固定端在梁的固定端上挠度在梁的固定端上挠度 和转角和转角 等于零，即等于零，即 xw2. 简支端简支端 在梁的简支端上挠度在梁的简支端上挠度 和弯矩和弯矩 等于等于零，即零，即 ）或（lxx 0w0)(, 0)(dxxdWxWw22xwEIM0)(, 0)(22dxxWdxWShip Vibration 3.2 3.2 梁的横向自由振动梁的横向自由振动3. 自由端自由端 在梁的自由端上弯矩在梁的自由端上弯矩 和和剪力剪力 等于零，即等于零，即 33xwEIQ下面讨论在两种边界条件下，梁的固有频率和主

15、下面讨论在两种边界条件下，梁的固有频率和主振型。振型。 0)(, 0)(3322dxxWddxxWd22xwEIMShip Vibration 3.2 3.2 梁的横向自由振动梁的横向自由振动1. 两端简支两端简支 这时的边界条件是这时的边界条件是 0)(, 00)(, 0220220lxlxxxdxxWdWdxxWdW将将代入代入4个边界条件，得个边界条件，得xCxCxCxCxWcoshsinhcossin)(43210sinhsin31lClC042CC0sinhsin31lClCShip Vibration 3.2 3.2 梁的横向自由振动梁的横向自由振动由于由于 可得可得 ，因此应有，

16、因此应有 这是简支梁的频率方程。由上式得这是简支梁的频率方程。由上式得 0sinhl对应于对应于 的固有频率是的固有频率是 0sinhsin0sinhsin0313142lClClClCCC03C0sinlliiilii, 2 , 1i, 2 , 1222iAEIliiEIA24Ship Vibration 3.2 3.2 梁的横向自由振动梁的横向自由振动可见，各固有频率与梁长可见，各固有频率与梁长 的平方成反比。的平方成反比。 因此主振型函数是因此主振型函数是 前三阶主振型如图所示前三阶主振型如图所示 l, 2 , 1sin)(ixlixWi, 2 , 1222iAEIliixCxCxCxC

17、xWcoshsinhcossin)(4321liiShip Vibration 3.2 3.2 梁的横向自由振动梁的横向自由振动2. 左端固定，右端自由左端固定，右端自由这时的边界条件是这时的边界条件是 将将代入代入4个边界条件，得个边界条件，得0)(, 0)(0)(, 0332200lxlxxxdxxWddxxWddxxdWWxCxCxCxCxWcoshsinhcossin)(43210)sinhsin()cosh(cos0)cosh(cos)sinh(sin0021213142llCllCllCllCCCCCShip Vibration 3.2 3.2 梁的横向自由振动梁的横向自由振动因此

18、有因此有 这就是悬臂梁的频率方程。方程的前四个根是这就是悬臂梁的频率方程。方程的前四个根是 解得解得 0)cosh(cos)sinhsin)(sinh(sin2llllll0)sinhsin()cosh(cos0)cosh(cos)sinh(sin0021213142llCllCllCllCCCCC996.10,855. 7,694. 4,875. 14321llll1coshcosllShip Vibration 3.2 3.2 梁的横向自由振动梁的横向自由振动对应于对应于 的固有频率是的固有频率是 前三阶主振型如图所示前三阶主振型如图所示 因此主振型函数是因此主振型函数是 ixxllllx

19、xxWiiiiiiiiisinhsin)cosh(cos)sinh(sincoshcos)(, 2 , 142iAlEIliiEIA24Ship Vibration 3.2 3.2 梁的横向自由振动梁的横向自由振动例例：如图所示，悬臂梁的自由端附加一集中质：如图所示，悬臂梁的自由端附加一集中质量量 ，将附加质量看作为质点，求频率方程和主，将附加质量看作为质点，求频率方程和主振型函数。振型函数。MShip Vibration 3.2 3.2 梁的横向自由振动梁的横向自由振动解：其边界条件是解：其边界条件是 )(, 00, 0)0(233220lMWdxWdEIdxWddxdWWlxlxx将将代入

20、代入4个边界条件，得个边界条件，得xCxCxCxCxWcoshsinhcossin)(4321004231CCCCShip Vibration 3.2 3.2 梁的横向自由振动梁的横向自由振动上面两式是关于上面两式是关于 的线性齐次代数方程组，的线性齐次代数方程组，具有非零解的充分必要条件是其系数行列式必须具有非零解的充分必要条件是其系数行列式必须为零，由此得到为零，由此得到 这就是频率方程。这就是频率方程。因此主振型函数是因此主振型函数是 0)sinh(sin)cosh(cos12CllCll0)sinh(sin)coshcos()cosh(cos)sinh(sin123223CllMllE

21、ICllMllEI)sinhcoscosh(sin)coshcos1 (23llllMllEI, 2 , 1)sinh(sinsinhsincoshcoscoshcos)(ixxllllxxxWiiiiiiiii21,CC 3.3 3.3 梁的横向强迫振动梁的横向强迫振动Ship Vibration主振型的正交性主振型的正交性梁作横向振动时，振型函数也具有正交性。这里梁作横向振动时，振型函数也具有正交性。这里只讨论具有简单边界条件的梁的主振型的正交性。只讨论具有简单边界条件的梁的主振型的正交性。取特征值问题的任意两个解取特征值问题的任意两个解 和和 代入代入 ，得到，得到 Ship Vibra

22、tion 3.3 3.3 梁的横向强迫振动梁的横向强迫振动)(,2xWii)(,2xWjj0)()(0)()(244244xAWdxxWdEIxAWdxxWdEIjjjiii0)()(244xAWdxxWdEI以以 乘以左式，以乘以左式，以 乘以右式，并且都乘以右式，并且都沿梁的长度沿梁的长度 对对 进行积分，得进行积分，得 Ship Vibration 3.3 3.3 梁的横向强迫振动梁的横向强迫振动)(xWi)(xWj0)()(0)()(244244xAWdxxWdEIxAWdxxWdEIjjjiiidxWAWdxdxWdEIWdxWAWdxdxWdEIWljijljiljiilij020

23、4402044lx分别对上面两式左边进行分别对上面两式左边进行两次分部积分两次分部积分，得，得 Ship Vibration 3.3 3.3 梁的横向强迫振动梁的横向强迫振动dxWAWdxdxWddxWdEIdxWdEIdxdWdxWdEIWdxdxWdEIdxdWdxWdEIWdxdxWdEIWljijljiljiljiljiljilji0202222022033033033044dxWAWdxdxWddxWdEIdxWdEIdxdWdxWdEIWdxdxWdEIdxdWdxWdEIWdxdxWdEIWljiilijlijlijlijlijlij0202222022033033033044d

24、xWAWdxdxWdEIWdxWAWdxdxWdEIWljijljiljiilij0204402044Ship Vibration 3.3 3.3 梁的横向强迫振动梁的横向强迫振动对于前面介绍的任何一种简单边界条件，以上二对于前面介绍的任何一种简单边界条件，以上二式已积分出来的各项均为零。因此有式已积分出来的各项均为零。因此有 ljijidxWAW0220)(dxWAWdxdxWddxWdEIdxWAWdxdxWddxWdEIljijljiljiilij02022220202222ji ji上面两式相减，得上面两式相减，得 如果如果 时，有时，有 ，则由上式得，则由上式得 jidxWAWlji

25、00Ship Vibration 3.3 3.3 梁的横向强迫振动梁的横向强迫振动上式就是梁的上式就是梁的主振型关于质量的正交性主振型关于质量的正交性。 dxWAWdxdxWddxWdEIdxdxWdEIWljiilijlij0202222044jidxdxWdEIWjidxdxWddxWdEIlijlij0004402222将上式代入将上式代入上面两式就是梁的上面两式就是梁的主振型关于刚度的正交性主振型关于刚度的正交性。 jidxWAWlji00可得可得Ship Vibration 3.3 3.3 梁的横向强迫振动梁的横向强迫振动令令 dxdxWdEIWdxdxWdEIKdxAWMljjlj

26、pjljpj044022202pjpjKM ,常数常数 分别称为第分别称为第 阶阶主质量主质量及第及第 阶阶主主刚度刚度。它们之间的关系可以由下式得到。它们之间的关系可以由下式得到即即jdxWAWdxdxWddxWdEIljiilij0202222jjpjpjMK2Ship Vibration 3.3 3.3 梁的横向强迫振动梁的横向强迫振动如果主振型中的常数按下述归一化条件来确定，如果主振型中的常数按下述归一化条件来确定，即即 20440222jljjljjpdxdxWdEIWdxdxWdEIK由此得到的主振型函数称为由此得到的主振型函数称为正则振型函数正则振型函数，表示，表示为为 。这时相

27、应的第。这时相应的第 阶主刚度是阶主刚度是 j, 2 , 1102jMdxWAjplj)(xWjShip Vibration 3.3 3.3 梁的横向强迫振动梁的横向强迫振动梁横向振动的强迫响应梁横向振动的强迫响应梁的横向强迫振动的运动微分方程是梁的横向强迫振动的运动微分方程是假设运动微分方程的解是假设运动微分方程的解是其中其中 是是正则振型函数正则振型函数， 是是正则坐标正则坐标。 将上式代入将上式代入 ，得，得 )(xWi),(2244txftwAxwEI1)()(),(iiitqxWtxw)(tqi),(2244txftwAxwEI),(1144txfqWAqdxWdEIiiiiii S

28、hip Vibration 3.3 3.3 梁的横向强迫振动梁的横向强迫振动上式两边乘以上式两边乘以 并沿梁长并沿梁长 对对 积分，有积分，有 利用正交性及归一化条件，上式可以简化为利用正交性及归一化条件，上式可以简化为 )(xWjxl),(1144txfqWAqdxWdEIiiiiii dxWtxfdxWWAqdxdxWdEIWqljijiliiilji 0104410),( )(2tFqqiiii 上式即是用第上式即是用第 个正则坐标表示的梁的横向强迫个正则坐标表示的梁的横向强迫振动的运动微分方程。其中振动的运动微分方程。其中 ，称为第称为第 个正则坐标的广义力。个正则坐标的广义力。 id

29、xxWtxftFlii0)(),()(iShip Vibration 3.3 3.3 梁的横向强迫振动梁的横向强迫振动假设假设 ，则，则 式中式中如果作用在梁上的载荷不是分布简谐力如果作用在梁上的载荷不是分布简谐力 ，而是集中简谐力，而是集中简谐力 ，利用狄拉克，利用狄拉克 函数，函数，集中力可以表示为集中力可以表示为tFtdxxWxfdxxWtxftFliliisinsin)()()(),()(000txftxfsin)(),(dxxWxfFli00)()(dxxWtxftFlii0)(),()(txfsin)(tFcsintxFtxfcsin)(),(tFtWFtdxxWxFdxxWtxf

30、tFiclicliisinsin)(sin)()()(),()(000Ship Vibration 3.3 3.3 梁的横向强迫振动梁的横向强迫振动假设梁的初始条件是假设梁的初始条件是 将将 代入上式，有代入上式，有 )(, )()0 ,(201xwtwxwxwt1)()(),(iiitqxWtxw将以上两式两边分别乘以将以上两式两边分别乘以 并沿梁长并沿梁长 对对 积分，利用正交条件可以得到用正则坐标表示积分，利用正交条件可以得到用正则坐标表示的梁的初始条件是的梁的初始条件是 liiliidxxWxAwqdxxWxAwq0201)()()0()()()0(12011)0()()()0()()

31、()0 ,(iiitiiiqxWxwtwqxWxwxw)(xWAjxlShip Vibration 3.3 3.3 梁的横向强迫振动梁的横向强迫振动用第用第 个正则坐标表示的梁的横向强迫振动的运个正则坐标表示的梁的横向强迫振动的运动微分方程是动微分方程是上述运动微分方程的全解是上述运动微分方程的全解是 tFtFtqtqtqiiiiiiiiiisin1sin1sin)0(cos)0()(220220)(2tFqqiiii tFtdxxWxfdxxWtxftFliliisinsin)()()(),()(000liiliidxxWxAwqdxxWxAwq0201)()()0()()()0(iShip

32、 Vibration 3.3 3.3 梁的横向强迫振动梁的横向强迫振动由此即可得到梁在初始条件下对简谐激励的响应由此即可得到梁在初始条件下对简谐激励的响应12202201sin1sin1sin)0(cos)0()()(),(iiiiiiiiiiiiiitFtFtqtqWtqxWtxwShip Vibration 3.3 3.3 梁的横向强迫振动梁的横向强迫振动例：如图所示，一简支梁在其中点受到常力例：如图所示，一简支梁在其中点受到常力 作作用而产生变形，求当力用而产生变形，求当力 突然移去时梁的响应。突然移去时梁的响应。 , 2 , 1222iAEIlii, 2 , 1sin)(ixliCxW

33、iiPP解：前面已求出两端简支梁的固有频率及主振型解：前面已求出两端简支梁的固有频率及主振型函数是函数是 Ship Vibration 3.3 3.3 梁的横向强迫振动梁的横向强迫振动将主振型代入归一化条件将主振型代入归一化条件 AlCdxlxiCAdxAWilili21sin10202xliAlxWisin2)(从而得到正则振型函数是从而得到正则振型函数是 Ship Vibration 3.3 3.3 梁的横向强迫振动梁的横向强迫振动由结构力学得知初始条件是由结构力学得知初始条件是 0)(2432043)()0 ,(20331 xwtwlxllxllxlwlxlxlxwxwxwtstst其中

34、其中 是梁中点的静挠度。是梁中点的静挠度。 EIPlw483t sShip Vibration 3.3 3.3 梁的横向强迫振动梁的横向强迫振动用正则坐标表示的初始条件是用正则坐标表示的初始条件是 , 5 , 3 , 10)0() 1() 1(48sin43sin43)0(21444214423320 iqCEIiAPlilCAwdxlxiClxllxlAwdxlxiClxlxwAqiiiiistllististli因为没有激励力，正则广义力等于零。所以用正因为没有激励力，正则广义力等于零。所以用正则坐标表示的梁的自由振动响应是则坐标表示的梁的自由振动响应是 tqtqiiicos)0()(Sh

35、ip Vibration 3.3 3.3 梁的横向强迫振动梁的横向强迫振动因此，梁的自由振动响应是因此，梁的自由振动响应是 , 3 , 142143, 3 , 1214441cossin) 1(2cos) 1(sin)()(),(iiiiiiiiiiitlxiiEIPltCEIiAPllxiCtqxWtxw由上式可见，梁在中点受常力作用产生的静变形由上式可见，梁在中点受常力作用产生的静变形只激发对称振型的振动。只激发对称振型的振动。 Ship Vibration 3.3 3.3 梁的横向强迫振动梁的横向强迫振动例：如图所示，均匀简支梁在例：如图所示，均匀简支梁在 处作用有一处作用有一正弦激励正

36、弦激励 ，求梁的强迫振动响应，梁的，求梁的强迫振动响应，梁的初始条件为零。初始条件为零。 1xx tPsinShip Vibration 3.3 3.3 梁的横向强迫振动梁的横向强迫振动解：由上例的结果可知正则振型函数解：由上例的结果可知正则振型函数 tlxiPAltdxxxPxWtFliisinsin2sin)()()(101xliAlxWisin2)(用狄拉克用狄拉克 函数把集中力表示成分布力的形式函数把集中力表示成分布力的形式 txxPtxfsin)(),(1正则广义力是正则广义力是 Ship Vibration 3.3 3.3 梁的横向强迫振动梁的横向强迫振动由于初始条件为零，所以用正

37、则坐标表示的梁的由于初始条件为零，所以用正则坐标表示的梁的强迫振动响应是强迫振动响应是 11221sinsinsinsin2)()(),(iiiiiiittlxixliPAltqxWtxw因此，梁的强迫振动响应是因此，梁的强迫振动响应是 tFtFtqiiiiisin1sin1)(220220lxiPAlF10sin2Ship Vibration 3.3 3.3 梁的横向强迫振动梁的横向强迫振动例：如图所示，简支梁左端承受正弦支撑运例：如图所示，简支梁左端承受正弦支撑运动，动， ，求梁的稳态强迫振动响应。，求梁的稳态强迫振动响应。 twtgsin)(0Ship Vibration 3.3 3.3

38、 梁的横向强迫振动梁的横向强迫振动解：令解：令 lxtgtxwg1)(),(利用材料力学的等截面假设，弯矩与挠度之间的利用材料力学的等截面假设，弯矩与挠度之间的关系是关系是 22),(),(),(xtxwtxwEItxMg0)(2244twAxwwEIg因此，梁振动的运动微分方程是因此，梁振动的运动微分方程是 Ship Vibration 3.3 3.3 梁的横向强迫振动梁的横向强迫振动令令 ，即，即代入运动微分方程代入运动微分方程 222*24*4twAtwAxwEIg0)(2244twAxwwEIg即即 gwww*gwww*tlxwAtwAxwEIsin1022*24*4Ship Vibr

39、ation 3.3 3.3 梁的横向强迫振动梁的横向强迫振动运动微分方程的解为运动微分方程的解为 ：式中式中 是正则振型函数，是正则振型函数，代入运动微分方程，得：代入运动微分方程，得： xliAlxWisin2)(1*)()(iiitqxWw)(xWitlxwAtwAxwEIsin1022*24*4tlxwAqWAqdxWdEIiiiiisin102144 Ship Vibration 3.3 3.3 梁的横向强迫振动梁的横向强迫振动将上式两边分别乘以将上式两边分别乘以 并沿梁长并沿梁长 对对 积分，积分，得得 利用正交性及归一化条件，上式可以简化为利用正交性及归一化条件，上式可以简化为由此

40、可以求得用正则坐标表示的梁的稳态强迫振由此可以求得用正则坐标表示的梁的稳态强迫振动响应是动响应是x)(xWjtlxwAqWAqdxWdEIiiiiisin102144 tdxWlxwAdxWWAqdxdxWdWEIqljijiliilijisin1002101044 ,.2 , 1,sin2022iitwAlqqiii ,.2 , 1,sin122202itiwAlqiilShip Vibration 3.3 3.3 梁的横向强迫振动梁的横向强迫振动简支梁的固有频率是简支梁的固有频率是 代入代入 ，得，得 ), 2 , 1(,222iAEIlii1*)()(iiitqxWw1220212202

41、*1sin1sin2sin12sin2iiiilxiitwtiwAllxiAlw12220012202*1sin121sin1sin1sin1sin2iiiiglxiilxtwlxtwlxiitwwww 3.4 3.4 转动惯量和剪切变形以及轴向力转动惯量和剪切变形以及轴向力对梁的横向自由振动的影响对梁的横向自由振动的影响Ship Vibration当梁的横截面尺寸与长度相比并不是很小或者在当梁的横截面尺寸与长度相比并不是很小或者在分析高阶振动时，就需要考虑转动惯量和剪切变分析高阶振动时，就需要考虑转动惯量和剪切变形对梁的横向振动的影响，这时的梁称为铁木辛形对梁的横向振动的影响，这时的梁称为铁

42、木辛柯梁。柯梁。Ship Vibration 3.4 3.4 转动惯量和剪切变形以及轴向力对梁的横向转动惯量和剪切变形以及轴向力对梁的横向自由振动的影响自由振动的影响取一微段取一微段 ，画出由剪力及弯矩引起的变形。当，画出由剪力及弯矩引起的变形。当剪力为零时，微段剪力为零时，微段 的中心线垂直于横截面，令的中心线垂直于横截面，令 是由弯矩引起的截面转角，是由弯矩引起的截面转角， 是由剪力引起的剪是由剪力引起的剪切角，由弯矩和剪力共同作用引起的梁轴线的实切角，由弯矩和剪力共同作用引起的梁轴线的实际转角是际转角是 ，于是剪切角，于是剪切角Ship Vibrationdxxwxwdx 3.4 3.4

43、 转动惯量和剪切变形以及轴向力对梁的横向转动惯量和剪切变形以及轴向力对梁的横向自由振动的影响自由振动的影响利用材料力学的基本公式利用材料力学的基本公式 Ship VibrationkG65kAkGAQxEIM109k式中式中 是截面的剪切修正系数（圆形截面是截面的剪切修正系数（圆形截面 ；矩形截面矩形截面 ），）， 是剪切弹性模量，是剪切弹性模量， 是横截是横截面面积。面面积。 xwkGAkGAQ 3.4 3.4 转动惯量和剪切变形以及轴向力对梁的横向转动惯量和剪切变形以及轴向力对梁的横向自由振动的影响自由振动的影响由牛顿第二定律写出微段沿由牛顿第二定律写出微段沿 轴的力平衡方程轴的力平衡方程

44、考虑转动惯量的影响后，写出微段绕考虑转动惯量的影响后，写出微段绕 轴的力矩轴的力矩平衡方程平衡方程 Ship VibrationxQtwAdxxQQQtwAdx2222QxMtIdxtwAdxdxxQQMdxxMMtIdx222222202y 3.4 3.4 转动惯量和剪切变形以及轴向力对梁的横向转动惯量和剪切变形以及轴向力对梁的横向自由振动的影响自由振动的影响zShip VibrationQxMtIxQtwA2222将将 代入上述两式，得代入上述两式，得假设梁是等截面的，并由上述两式中消去假设梁是等截面的，并由上述两式中消去 ，得，得到铁木辛柯梁横向自由振动的运动微分方程到铁木辛柯梁横向自由

45、振动的运动微分方程 xwkGAQxEIM,002222xwkGAxEIxtIxwxkGAtwA 3.4 3.4 转动惯量和剪切变形以及轴向力对梁的横向转动惯量和剪切变形以及轴向力对梁的横向自由振动的影响自由振动的影响014422242244twkGItxwkGEItwAxwEIShip Vibration014422242244twkGItxwkGEItwAxwEI式中第三项和第四项表示剪切变形和转动惯量的式中第三项和第四项表示剪切变形和转动惯量的影响，上述方程仍可用分离变量法求解。影响，上述方程仍可用分离变量法求解。现以简支梁为例。假设运动微分方程的解是现以简支梁为例。假设运动微分方程的解是

46、将上式代入运动微分方程，得将上式代入运动微分方程，得 )sin(sin),(iiiitlxiCtxw01422224iiikGIlikGEIAliEI 3.4 3.4 转动惯量和剪切变形以及轴向力对梁的横向转动惯量和剪切变形以及轴向力对梁的横向自由振动的影响自由振动的影响由于最后一项由于最后一项 与与 相比是微小量，在相比是微小量，在研究剪切变形的影响时可以略去，从而可以得到研究剪切变形的影响时可以略去，从而可以得到式中式中 是不计剪切变形和转动惯量时简支是不计剪切变形和转动惯量时简支梁的固有频率。梁的固有频率。Ship Vibration4liEI42ikGI04222224iiikGIli

47、kGIEliIAliEIkGEAlIiliEIlikGEIAiii121122204222AEIli20 3.4 3.4 转动惯量和剪切变形以及轴向力对梁的横向转动惯量和剪切变形以及轴向力对梁的横向自由振动的影响自由振动的影响由上式可以看出，考虑了剪切变形和转动惯量以由上式可以看出，考虑了剪切变形和转动惯量以后，系统的固有频率减小了。这是因为系统的固后，系统的固有频率减小了。这是因为系统的固有频率取决于它的质量和刚度，考虑剪切变形和有频率取决于它的质量和刚度，考虑剪切变形和转动惯量以后，系统的有效质量增加，有效刚度转动惯量以后，系统的有效质量增加，有效刚度减小，因而导致系统的固有频率减小。剪切

48、变形减小，因而导致系统的固有频率减小。剪切变形和转动惯量对高阶频率的影响更加显著。和转动惯量对高阶频率的影响更加显著。 Ship VibrationkGEAlIii1212220 3.4 3.4 转动惯量和剪切变形以及轴向力对梁的横向转动惯量和剪切变形以及轴向力对梁的横向自由振动的影响自由振动的影响如果仅考虑转动惯量的影响，则如果仅考虑转动惯量的影响，则如果仅考虑剪切变形的影响时，则如果仅考虑剪切变形的影响时，则 比较以上二式可以看到，剪切变形的影响要比转比较以上二式可以看到，剪切变形的影响要比转动惯量的影响大。假设动惯量的影响大。假设 ，且梁的横截面，且梁的横截面是长方形的，是长方形的， ，

49、则，则即剪切变形的影响是转动惯量的影响的即剪切变形的影响是转动惯量的影响的3.2倍。倍。 Ship VibrationkGEAlIii1212220 3.4 3.4 转动惯量和剪切变形以及轴向力对梁的横向转动惯量和剪切变形以及轴向力对梁的横向自由振动的影响自由振动的影响AlIii222021kGAlEIii22202138GE 65k2 . 3)(kGEShip Vibration假设梁的两端受到轴向拉力假设梁的两端受到轴向拉力 的作用，且梁在振的作用，且梁在振动过程中梁截面上的轴向力动过程中梁截面上的轴向力 保持不变，如图所保持不变，如图所示。示。由牛顿第二定律写出微段沿由牛顿第二定律写出微

50、段沿 轴的力平衡方程轴的力平衡方程TT 3.4 3.4 转动惯量和剪切变形以及轴向力对梁的横向转动惯量和剪切变形以及轴向力对梁的横向自由振动的影响自由振动的影响zxQtwAdxxQQQtwAdx2222再写出微段绕再写出微段绕 轴的力矩平衡方程轴的力矩平衡方程 ，得，得 略去略去 的二次项后，得的二次项后，得 Ship Vibration 3.2 3.2 梁的横向自由振动梁的横向自由振动02222dxtwAdxxwTdxdxxQQMdxxMMxwTxMQydx将将 代入代入 ，得，得 由材料力学知由材料力学知 ，并代入上式，得到，并代入上式，得到轴向受载的均匀欧拉轴向受载的均匀欧拉-伯努利梁横

51、向自由振动的伯努利梁横向自由振动的运动微分方程运动微分方程 Ship Vibration 3.2 3.2 梁的横向自由振动梁的横向自由振动0222222xwTxMtwA22xwEIM0222244twAxwTxwEIxwTxMQxQtwA22Ship Vibration假设运动微分方程的解是假设运动微分方程的解是 代入运动微分方程，得代入运动微分方程，得 )sin()(),(txWtxw022244AWdxWdTdxWdEIEIAEIT242,0222244twAxwTxwEI0422244WdxWddxWd令令 ，代入上式，得，代入上式，得 3.4 3.4 转动惯量和剪切变形以及轴向力对梁的

52、横向转动惯量和剪切变形以及轴向力对梁的横向自由振动的影响自由振动的影响Ship Vibration假设上述方程的解是假设上述方程的解是 xCxCxCxCxW24231211coshsinhcossin)(式中式中 4422442142,420)(, 0)(0220 xxdxxWdxW0422244WdxWddxWd以简支梁为例，其边界条件是以简支梁为例，其边界条件是 0)(, 0)(22lxlxdxxWdxW 3.4 3.4 转动惯量和剪切变形以及轴向力对梁的横向转动惯量和剪切变形以及轴向力对梁的横向自由振动的影响自由振动的影响Ship Vibration将将 代入代入4个边界条件，得个边界条

53、件，得利用利用 和和 的系数的行列式为零的条件，得到频的系数的行列式为零的条件，得到频率方程率方程由于由于 及及 不为零，因此不为零，因此 xCxCxCxCxW24231211coshsinhcossin)(0sinhsin0sinhsin022231211231142lClClClCCC0)(, 0)(0220 xxdxxWdxW0)(, 0)(22lxlxdxxWdxW0sinhsin)(212221ll21,l2sinh0sin1l 3.4 3.4 转动惯量和剪切变形以及轴向力对梁的横向转动惯量和剪切变形以及轴向力对梁的横向自由振动的影响自由振动的影响1C3CShip Vibration

54、解出解出 , 3 , 2 , 11)(42222224421iEIiTlAEIlilii当当 时，上式即为无轴向力时简支梁的固有频时，上式即为无轴向力时简支梁的固有频率。如果梁的两端受到轴向拉力率。如果梁的两端受到轴向拉力 的作用，梁的的作用，梁的刚度增加，因此梁的固有频率增加刚度增加，因此梁的固有频率增加 ；如果将拉力；如果将拉力改为压力，即用改为压力，即用 代替代替 ，则固有频率减小。，则固有频率减小。当当 时梁将失稳而破坏，临界压力时梁将失稳而破坏，临界压力0sin1lT0T0)(122EIiTl22lEITTT 3.4 3.4 转动惯量和剪切变形以及轴向力对梁的横向转动惯量和剪切变形以

55、及轴向力对梁的横向自由振动的影响自由振动的影响 3.5 3.5 梁的横向自由振动的近似解法梁的横向自由振动的近似解法Ship Vibration瑞利法瑞利法如果不考虑阻尼的影响，根据能量守恒定律，则如果不考虑阻尼的影响，根据能量守恒定律，则系统的最大动能应该等于系统的最大势能。瑞利系统的最大动能应该等于系统的最大势能。瑞利法正是从这一定律出发，估算梁的第一阶固有频法正是从这一定律出发，估算梁的第一阶固有频率（基频）率（基频） 。假设梁在假设梁在 处的位移是处的位移是 Ship Vibration 3.5 3.5 梁的横向自由振动的近似解法梁的横向自由振动的近似解法x)cos()()sin()(

56、),(txWtwtxWtxwdxAWTdxAWtdxtwATlll022max02220221)(cos2121梁的动能是梁的动能是 梁的势能等于应变能梁的势能等于应变能 Ship VibrationdxdxWdEIUdxdxWdEItdxxwEIUlll0222max02222022221)(sin2121maxmaxUT令令 ，可以求得，可以求得 dxAWdxdxWdEIWRll0202222)()(WR利用上式求固有频率的方法称为瑞利法。利用上式求固有频率的方法称为瑞利法。 称称为瑞利商。为瑞利商。 dxAWTl022max21 3.5 3.5 梁的横向自由振动的近似解法梁的横向自由振动

57、的近似解法瑞利商有几个重要特性：瑞利商有几个重要特性：（1）如果假设的振型函数）如果假设的振型函数 与某一阶的主振与某一阶的主振型相同，则瑞利商就是相应阶主振动的特征值；型相同，则瑞利商就是相应阶主振动的特征值；（2）瑞利商在固有振型附近具有平稳值，即如）瑞利商在固有振型附近具有平稳值，即如果假设的振型与固有振型相差一个一阶微量，则果假设的振型与固有振型相差一个一阶微量，则瑞利商与特征值相差一个二阶微量；瑞利商与特征值相差一个二阶微量；（3）此平稳值是一个极小值，即瑞利商的极小）此平稳值是一个极小值，即瑞利商的极小值就是相应阶主振动的特征值。值就是相应阶主振动的特征值。Ship Vibrati

58、on)(xW 3.5 3.5 梁的横向自由振动的近似解法梁的横向自由振动的近似解法一般在选择振型函数时，最好是既满足几何边界一般在选择振型函数时，最好是既满足几何边界条件，又满足力边界条件，这样可以得到比较好条件，又满足力边界条件，这样可以得到比较好的近似结果。但至少要满足几何边界条件，不然的近似结果。但至少要满足几何边界条件，不然会使计算结果误差过大，以致毫无意义。由于高会使计算结果误差过大，以致毫无意义。由于高阶振型函数较难选取，因此瑞利法一般仅用于求阶振型函数较难选取，因此瑞利法一般仅用于求解第一阶固有频率。对于梁，通常将振型函数解第一阶固有频率。对于梁，通常将振型函数 取为静挠度曲线就

59、可以得到精度较好的基取为静挠度曲线就可以得到精度较好的基频。当假定的振型函数偏离真实振型时，相当于频。当假定的振型函数偏离真实振型时，相当于给系统施加了约束，也就相当于给系统增加了刚给系统施加了约束，也就相当于给系统增加了刚度，所以计算得到的固有频率偏高。因此，选用度，所以计算得到的固有频率偏高。因此，选用不同的振型函数而得到不同的计算结果时，应该不同的振型函数而得到不同的计算结果时，应该取最小的值。取最小的值。Ship Vibration)(xW 3.5 3.5 梁的横向自由振动的近似解法梁的横向自由振动的近似解法如果在梁上有附加质量或弹性支承，则只要在计如果在梁上有附加质量或弹性支承，则只

60、要在计算梁的动能和势能时计入附加质量的动能和弹性算梁的动能和势能时计入附加质量的动能和弹性支承的势能就可以了。例如在梁上支承的势能就可以了。例如在梁上 处有集中质处有集中质量量 ，则梁的最大动能是，则梁的最大动能是 在梁上在梁上 处有拉压弹簧常数为处有拉压弹簧常数为 和扭转弹簧常数和扭转弹簧常数为为 的弹性支承时，则梁的最大势能是的弹性支承时，则梁的最大势能是Ship Vibrationix), 2 , 1(iminiiilxWmdxAWT12022max)(21ixikik220222max)()(21dxxdWkxWkdxdxWdEIUiiiil 3.5 3.5 梁的横向自由振动的近似解法