【归纳】高中数学第三章数学归纳法与贝努利不等式3.2用数学归纳法证明不等式,贝努利不等式学案新人教B版选修4-5

1、3 2 用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式 对应同学用书 p43 读教材填要点 n贝努利 bernoulli不等式12 / 10设 x 1，且x0，n 为大于1 的自然数，就1 x1 nx. 小问题大思维 在贝努利不等式中，指数n 可以取任意实数吗？ 提示：可以但是贝努利不等式的表达形式有所变化事实上：当把正整数n 改成实数 后，将有以下几种情形显现：1当 是实数，并且满意1 或者 1 2当 是实数，并且满意0 1 对应同学用书 p43利用数学归纳法证明不等式1 例 1求证： 1111 n2， n n nn 1n 2n2 思路点拨 此题考查数学归纳法的应用，解答此题需要留意n 的取值范畴，由

2、于n2， nn ，因此应验证n0 2 时不等式成立 精解详析 1 当 n 2 时，左边 12 n2 时不等式成立11131.43122 假设 n k k2，且 k n 时，不等式成立，即1111k k 1 k 2k21，那么 nk 1 时，1k 11k 111k 12 11k 121 k11 k 21k21k 121111111112k 112 k kk 2 k2 k2 1k2 2kk 1k1 k 12 kk2k 11 kk 12，1 29 k2， k 2 4.2 k2 k1 k125 410.k2 k 1 kk120.11 k 1k 1 111.k 12当 n k 1 时，不等式也成立由1

3、、 2 可知，对一切的 n2，且 n n，此不等式都成立利用数学归纳法证明不等式的关键是由n k 到 nk 1 的变形，为满意题目的要求，1往 往 要 采 用 “ 放 缩 ” 等 手 段 ， 例 如 在 本 题 中 采 用 了 “ k2 1 1k 12 ， ，1k2 2k1k12”的放缩变形1. 证明不等式：11112nn n 23n证明： 1 当 n 1 时，左边 1，右边 2，不等式成立2 假设当 n k k1 时，命题成立，即11112k.23k11111 当 n k 1时 ， 左 边 1 23kk 12k k 12kk1 1，k 1现在只需证明 2kk1 12k 1，k 1即证： 2k

4、k 12k 1，两边平方，整理：01，明显成立2kk 1 12k 1成立k 11即 1111qn.如 x 0，就 pnqn.如 x 1,0 ，3就 p3 q3x 0，所以 p3q3.p3434 q4 4x x x 4 x0 ，所以 p4q4.假设 pkqk k3 ，就 pk1 1 x pk1 x qk qk xqkkk1x22kk 1x32x kx 2 1 kx2 1 k 1 xkk 1x2kk13x2 q kk1x3q，k 12k 1即当 n k 1 时，不等式成立所以当 n3，且 x 1,0 时， pnqn.(1) 利用数学归纳法比较大小，关键是先用不完全归纳法归纳出两个量的大小关系，推测

5、出证明的方向，再用数学归纳法证明结论成立(2) 此题除对 n 的不同取值会有pn 与 qn 之间的大小变化，变量x 也影响 pn 与 qn 的大小关系，这就要求我们在探究大小关系时，不能只顾“n”，而忽视其他变量 参数 的作用2. 已知数列 an ， bn 与函数 f x ， g x ， x r，满意条件： b1b， an f bn g bn 1 11 1 nn 如函数 y f x 为 r 上的增函数， g x f x ， b 1， f 11 ，证明：对任意 n n ， an1an.证明：由于 g x f x ，所以 an g bn 1 f bn1 ，即 bn1 f an 下面用数学归纳法证明

6、an 1an n n (1) 当 n 1 时，由 f x 为增函数，且 f 11 ，得a1 f b1 f 11 ， b2 f a1 f 11 ， a2 f b2 f 1 a1， 即 a2a1，结论成立(2) 假设 n k 时结论成立，即 ak 1ak.由 f x 为增函数，得 f ak 1 f ak ，即 bk 2bk 1.进而得 f bk 2 f bk 1 ，即 ak 2ak 1.这就是说当 nk 1 时，结论也成立依据 1 和2 可知，对任意的 nn ，an 1对一切正整数n 都成立，求正整数 a 的最大值，并证明你的结论 思路点拨 此题考查数学归纳法的应用以及探究型问题的求解方法解答此题

7、需要依据 n 的取值，猜想出 a 的最大值，然后再利用数学归纳法进行证明111a 精解详析 当 n 1 时， 1 ，26a24即，2411 231 1 24 a.(1) n1 时，已证1n 23n 1 24(2) 假设当 n k k1， k n 时，111125k 1 k 23k24，就当 n k 1 时，有111111k 1 1 k 123k 13k 2 3k 3 3k1 111 k 11k 23k 111113k 23k 33k 4k 12511224 3k 2 3k 4 3k 1.1 3k 16k12，23k 4119k2 18k 823k 1 3k 3k 4213k 110，1251k

8、 1 k 1 2 3k11 24也成立11125由1 、 2 可知，对一切n n ，都有 n 1 n 23n1 24， a 的最大值为25.利用数学归纳法解决探究型不等式的思路是：先通过观看、判定，猜想出结论，然后用数学归纳法证明这种分析问题和解决问题的思路是特别重要的，特殊是在求解存在型或探究型问题时n23. 对于一切正整数n，先猜出访 t n 成立的最小的正整数t ，然后用数学归纳法证lg 3明，并再证明不等式：n n1 4lg 123 n n2解：猜想当 t 3 时，对一切正整数n 使 3 n 成立下面用数学归纳法进行证明12当 n1 时， 3 31 1 ，命题成立 假设 n k k1，

9、 k n 时， 3kk2 成立，k2就有 3 k 1.k 1kkk对 nk 1,333 3 23222 k 2 k 13 k 1.22 3 k 1 k12 2k 2k 2k k1 0，k 12 3 k 1 ，对 nk 1，命题成立n n1 lg 34lg1 23 n 当 n1 时， 11 1 lg 34lg 320 lg 1 ，命题成立假设 n k k1， k n 时，k k1 lg 34lg1 23 k 成立lg 3当 nk 1 时， k 1 k2 4 k k1 lg 3 2 k1 lg 344lg1 23 k lg 31k12lg1 23 k lg k 1122lg1 23 kk 1 命题

10、成立由上可知，对一切正整数n，命题成立 对应学由上知，当 t 3 时，对一切 n n，命题都成立 再用数学归纳法证明：生用书 p45一、挑选题1. 对于一切正整数n，以下说法不正确选项nna 3 1 2nb 0.9 1 0.1 nc 0.9 n 1 ，n当 x 2 时， 1 2 1 2n，故 a 正确n当 x 0.1 时， 1 0.11 0.1 n， b 正确， c 不正确n当 x 0.9 时， 1 0.9答案： c1 0.9 n， d 正确1112. 在用数学归纳法证明f n n n 1 2n1 nn ，n3 的过程中：假设当nk k n， k3 时，不等式 f k1 成立，就需证当nk 1

11、 时， f k 11 也成立如f k 1 f k g k ，就 g k 11111a 2k 1 2k 2b2k 1 2k2 k112kc 2k 112k 22kd1解析： f k 1 k 1111，1111k 22k2k 12k2f k k k12k，11121 f k 1 f k k 2k2k ，1 g k 2k 11 . 应选 b.12k 2k答案： b3. 用数学归纳法证明“n2 nn 1 n n ”的过程中的其次步n k 1 时 n 1已验， n k 已假设成立 ，这样证明：k 12k 1k2 3k 2k2 4k 4 k 1 1，当 n k 1 时，命题成立，此种证法 a是正确的b归纳

12、假设写法不正确 c从 k 到 k 1 推理不严密d从 k 到 k 1 的推理过程未使用归纳假设解析：在上面的证明中，当n k1 时证明过程没有错误，但没有用到当nk 时的结论，这样就失去假设当n k 时命题成立的意义，也不能构成一个递推关系，这不是数学归纳法 a、b、 c都不对，选 d.答案： d1114. 利用数学归纳法证明不等式12k 到 n k 1 时，左边增加了 32n 1f n n2， n n 的过程，由 na 1 项bk 项c 2k 1 项d2k 项解析：依据题意可知：1112 312k 1 11 121312k 11 2k1 2k 11 2k1k，所以共增加 2 项2答案： d二

13、、填空题2k 1 1n 21115. 证明21 2 3 2n1 ，当 n 2 时，要证明的式子为解析：当 n 2 时，要证明的式子为111212 3 43.112答案： 21 31436用数学归纳法证明：当nn ， 1 2 22 23 25n 1 是 31 的倍数时，当n 1时原式为，从 k 到 k1 时需增加的项是 解析：当 n 1 时，2351234原式为 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 .从 k 到 k 1 时需增加的项是25k 25k 125k 2 25k 3 25k 4.234答案： 1 2 2 2 25k5k 15k 25k 35k 42 22 2 2352n 17. 利用

14、数学归纳法证明“242n 22n 1”时， n 的最小取值 n0 应为 32解析： n0 1 时不成立， n0 2 时， an 1，就 a0 的取值范畴是1解析：取 n 1,2 ，就 a1a0 1 3a00， a2 a1 6a00， 0a0 .31答案： 0， 3三、解答题9. 用数学归纳法证明：1 1 1 1 2 1n2， nn 2232n2n1513证明： 1 当 n 2 时， 1 22 4222 假设当 n k 时命题成立，命题成立21即 1 1112 ，2232k2k当 nk 1 时，1 1 1 1 1211n成立，所以归纳猜想2 2n成立1当 n 1 时，左边 2 2 4；右边 1，

15、左边 右边，所以原不等式成立；22当 n2 时，左边 2 26，右边 2 4，所以左边 右边；32当 n3 时，左边 2 210，右边 3 9，所以左边 右边假设 n k 时 k3且 k n 时，不等式成立，k2即 2 2k .那么 n k 1 时k 1k2222 2 22k2k2 22 2222又因： 2k 2 k 1 k 2k 3 k 3 k1 0，k12即 2 2 k 1成立n2依据和可知，2 2n 对于任何 n n 都成立11. 已知等比数列 an 的首项a1 2，公比q 3， sn 是它的前 n 项和求证：3n 1n.n证明：由已知，得sn 3 1，sn 1 snsn 1 sn3n 1n等价于3n 1 13n13n1n，n即 3 2n 1.*法一：用数学归纳法证明上面不等式成立