江苏省宿迁市高中数学 第一章 三角函数 1.3.1 三角函数的周期性（1）课件 苏教版必修4

1、1三角函数的周期性三角函数的周期性2yx024-2生活中或数学中还有生活中或数学中还有哪些周期性现象？哪些周期性现象？31. 1.一般地，对于函数一般地，对于函数f(x),f(x),如果存在一个如果存在一个非非零的常数零的常数T T，使得，使得定义域内的每一个定义域内的每一个x x的值，的值，都满足都满足f(x+T)=f(x)f(x+T)=f(x)，那么函数，那么函数f(x)f(x)就叫做就叫做非零常数非零常数T T叫做这个函数的叫做这个函数的2.2.对于一个周期函数对于一个周期函数f(x),f(x),如果在它所有的如果在它所有的周期中存在一个周期中存在一个最小的正数最小的正数，那么这个最，那

2、么这个最小的正数就叫做小的正数就叫做f(x)f(x)的的思考思考：一个周期函数的周期有多少个？：一个周期函数的周期有多少个？概念概念正弦函数和余弦函数的最小正周期都是正弦函数和余弦函数的最小正周期都是 . .24判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确23 （1 1） 时，时， , ,则则 一定不是一定不是 的周期的周期. . 3x 2sin()sin3xx sinyx （ ） （2 2） 时，时， 则则 一定是一定是 的周期的周期. . 76x 2sin()sin3xx 23 sinyx （ ） 5思考思考(1)( )5f x 1. 1.下面函数是周期函数吗？如果是周期函下面函数是周期函数吗

3、？如果是周期函数，你能找出最小正周期吗？数，你能找出最小正周期吗？R1 ,Q2()0 ,QxfxxC （ ）2.y=sinx(x0,4)2.y=sinx(x0,4)是周期函数吗？是周期函数吗？oyx46:sin()sin,sin()sin.41.,()( )( )2423.3f xTf xTyf xxx 定义是对定义域中的值来说的定义是对定义域中的值来说的只有值:只有值:是的周期是的周期注意:注意:每一个每一个个别的满足个别的满足但是但是不能说不能说例如例如2sin()sin ,sin.22xxxyx 就是说不能对 在定义域内的每一个值使就是说不能对 在定义域内的每一个值使因此不是的周期因此不

4、是的周期72.()( ),(2)2( )(2 ),(2)(2 ).22,()f xTf xfxTfxxTyf xTfxTfxxTf 等式,强调：自变等式,强调：自变量才是周期量才是周期例如:不是周期 而应写成例如:不是周期 而应写成本身加的常数本身加的常数才是才是函数函数此此的周期的周期时时3.,对对于于周周期期函函数数来来说说 如如果果所所有有的的周周期期中中存存在在着着一一个个, , 就就称称它它是是最最小小正正周周期期, , 今今后后提提到到的的三三角角函函数数的的, , 一一最最小小的的正正数数周周期期指指最最小小般般是是它它的的正正周周期期. .84.(1)(,)(2)( )1. (

5、)( )0. ()f xCxD xCxxR 并不是所有的函数都有最小正周期,例如并不是所有的函数都有最小正周期,例如常值函数为常数周期常值函数为常数周期当 为有理数时当 为有理数时，周期为任一有理数。，周期为任一有理数。为任一实数为任一实数它们都没有最它们都没有最当 为无理数时当 为无理数时小正周期.小正周期.5.()( ),.TTfxxxTf恒等式恒等式定义域内每一个定义域内每一个是定义域内的即对是定义域内的即对的都成立是周的都成立是周期 是期 是值非零常数值非零常数函数值重复出现函数值重复出现指的自变量 的加指的自变量 的加增值增值9 6.,.TkT kZ 是是周周期期函函数数的的周周期期

6、不不止止一一个个 若若周周期期也也则则定定是是周周期期一一 7.( ),xkT kZyf xTx 也也一一定定属属于于定定义义域域周周期期函函在在周周期期函函数数中中是是周周期期 若若 是是定定义义域域内内的的一一个个值值 则则因因此此的的, , 而而且且定定义义数数定定义义域域一一域域一一定定无无上上定定是是无无限限集集界界无无下下界界k0结论错误，结论错误，如如:y=sinx,x（0 0，）10例例1 1 若钟摆的高度若钟摆的高度h(mm)h(mm)与时间与时间t(s)t(s)之之 间的函数关系如图所示：间的函数关系如图所示：(1)(1)求该函数的周期求该函数的周期; ;(2)(2)求求t

7、=10st=10s时钟摆的高度时钟摆的高度123th60555045403530252015105123456789o105020应用应用11解：(1)由图象可知，该函数的周期为1.5s. (2)设h=f(t)， 由函数的周期为1.5s,可知f(10)=f(1+61.5)=f(1)=20,故t=10s时钟摆的高度为20mm.12应用应用.(1) ( )cos2 ,(2) ( )tan1(3) ( )2sin();26(4)sin.f xxf xxf xxyx 例2 求下列函数的周期例2 求下列函数的周期13 ( )cos2.()cos2cos 22cos2( )co( )cos22cos2co

8、s22 ,s.2f xxTf xTxTxTxff xxuTuuTTuxyuTx 解:设的周期为解:设的周期为对任意实数 都成对任意实数 都成(1)(1)令，则令，则的周期为，的周期为，立，立，又又即即14 ( )tan.( )tantan( )()tantann( )a.tf xxTf xTxTxf xxxf xTf xx 解解: :设设的的周周期期为为由由诱诱导导公公式式 四四 知知= =函函数数的的周周期期为为( (2 2) )151( )2sin.261()2sin()21( )26111 2sin2sin( )2622611 ,sinsin262 sin2s2 ,2in26f xxTf

9、 xTxTxTxf xuxuf xTuxyuTT 解:设的周期为解:设的周期为令则令则由周期为由周期为) )即即(3(34 . 16 ( )sin.()sinsin( )si(nsi)sin.nf xxTf xTxTxf xxxTf xx 解:(4)设的周期为解:(4)设的周期为由诱导公式(四)由诱导公式(四)(4)(4)17 一般地，函数一般地，函数 y=Asin(x+) 及及y=Acos(x+) （其中（其中A , ,为常数，为常数，且且 A0, 0 ）的周期是）的周期是: :周期求法：周期求法： 1. 1.定义法：定义法： 2.2.公式法：公式法：2 (0)T 函数函数y=Atan(x+

10、) (A0, 0)周期为周期为T 18 3.3.图象法图象法: :1122sin4 ,cos6234612Tsinco= 2s231xxyTyTxxy 解解：的的周周期期为为的的周周期期为为，又又与与 的的最最小小公公倍倍数数为为4.最小公倍数法最小公倍数法:xy191(1) ( )sin(2); (2) ( )cos();5232(3)3sin,;(4)cos(2),;431(5)3sin(),.24xf xxf xxyxRyxxRyxxR 2.2.若函数若函数 的最小正周的最小正周期为期为 ，求正数，求正数 的值的值. .23 k( )sin()5f xkx 1. 1.求下列函数的最小正周

11、期求下列函数的最小正周期: :练习练习20小结：小结： 1、 一般地，对于函数一般地，对于函数f(x)，如果存在一个，如果存在一个非零常数非零常数，使得当，使得当x取定义域内的取定义域内的每一个值每一个值时，都有时，都有f(x+T)f(x)，那么函数那么函数f(x)就叫做周就叫做周期函数非零常数期函数非零常数T叫做这个函数的周期叫做这个函数的周期2、由周期函数的定义知：、由周期函数的定义知：f(x+T)=f(x)的两的两端作用端作用 的是的是相同的对应法则相同的对应法则f. 3 3、 函数函数y=Asin(y=Asin(x+),xRx+),xR及函数及函数y=Acos(y=Acos(x+),x

12、R(x+),xR(其中其中A,A, , 为常数，且为常数，且A0,A0, 0)0)的周期为的周期为T=2T=2/|/|. |. y=Atan(y=Atan(x+),xR(x+),xR(其中其中A,A, , 为常数，且为常数，且A0,A0, 0) 0)的周期为的周期为T=T=/|/| | 4.y=|sinx|及及y=|cosx|的周期为的周期为21综合练习综合练习1.求下列函数的周期求下列函数的周期 1(1)sin2_,(2)2cos()_35(3)sincos_.(4)5,342_.(5)( )8,(4)(4)( )_()yxyxyxxfxfff xfxfxf x 是是是是是诱导公式五,六是诱导公式五,六若是以 为周期的奇函数若是以 为周期的奇函数则则若的周期为 且恒成立若的周期为 且恒成立则为填奇偶性则为填奇偶性偶偶函函数数 6 -42 4,4,(4)(4)( )4(4)()( )txxtfxfxf tftftf x 设设则则为为偶偶函函数数. .22 2.432,_3.tan 237sin23,1311_3kfxxkyxyxyfxff 已已知知函函数数=2cos(