第1章质点运动学与牛顿定律

1、1选择题习题1.1 一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表达式为r = a t2 i+ b t2 j (其中a、b为常量),则该质点作()(A) 匀速直线运动(B) 变速直线运动(C) 抛物线运动(D) 一般曲线运动解 首先要判断的是质点的轨迹，由质点的位置矢量表达式r = a t2 i+ b t2 j知x at2，ybt2。消去t可得质点的轨迹方程为y的是状态的变化，也就是考察速度和加速度,X，由此可知质点的轨迹为直线。其次要判断 adru2ati 2btj , a 2ai 2bj。由此dt可知质点作变速直线运动，故选B。1.2如图所示，用水平力 F把木块压在竖直的墙面上并保持静止。 当F

2、逐渐增大时，木块所受的摩擦力()(A )不为零，但保持不变习题1.2图(B) 随F成正比地增大(C) 开始随F增大， 达到某一最大值后，就保持不变(D )无法确定、方向相反。故选 A。24 t m/s，当t 3s时，质点位于解由题意可知物体的状态是静止，根据牛顿第二定律物体所受的合外力为零。在竖直方向 上物体受重力和摩擦力两个力的作用，两个力大小相等1.3 一质点沿x轴运动，其速度与时间的关系为：vx 9m 处,2(A) x 4t t 12 3(B)x4t(C) x 2t 3(D) x4t-t3 123解因为质点沿x轴运动，由dx 有dxdt,通过积分 dxdt则质点的运动方程为dt( )2(

3、4 t )dt得到1 2-t2 4t C。当 t3质点作曲线运动，其瞬时速度为u瞬时速率为3s时,质点位于x9m处，可求得C12。故选A。，平均速度为u,平均速率为，则它们之间的下列四种关系中哪一种是正确的?(A)b(B) | u(C)u，厂(D) | u解drds -r -sdrdsu ,u,dtdttt1.4),|厂r s。故选C。1.5以下五种运动形式中,a保持不变的运动是(A)单摆的运动(B)匀速率圆周运动(C)行星的椭圆轨道运动(D)抛体运动(E)圆锥摆运动 解a保持不变表明物体所受的合外力恒定不变。单摆的运动、行星的椭圆轨道运动、圆锥摆运动合外力的大小和方向都在不断的改变；匀速率圆

4、周运动合外力的大小不变，但方向不断地改变；作抛体运动的物体只受重力作用，大小和方向都不变，故选D。1.6对于沿曲线运动的物体，以下几种说法中哪一种是正确的(A) 切向加速度必不为零。(B) 法向加速度必不为零(拐点处除外)。(C) 由于速度沿切线方向，法向分速度必为零，因此法向加速度必为零。(D) 若物体作匀速率运动，其总加速度必为零。(E)若物体的加速度a为恒矢量,它一定作匀变速率运动。an1.71.8对于沿曲线运动的物体，a0 ；故选B。r x,y2-O当的端点处,(A)(B)dtdtdr22(C)rdxd y(D) Jdtdtdt因为drudx. 一 i笙，所以速度的大小为dtdtdt一

5、运动质点在某瞬时位于矢径d rd r解水平地面上放一物体使物体A有最大加速度,0时，a可以等于零;其速度大小为()2 2d x d y , 。故选D o dtdt0时,A,它与地面间的滑动摩擦系数为.现加一恒力F如图所示.欲则恒力 F与水平方向夹角应满足()(A) sin =.(B) cos(C) tg =.(D) ctg习题1.8图解 欲使物体 A有最大加速度，对物体进行受力解，物体共受到F , N,P三个力的作用,所受合外力是Feos P Fsin，根据牛顿第二定律F cos P F sin am，令a0，可求得tg时物体A有最大加速度。故1.9在相对地面静止的坐标系内，A、B二船都以2m

6、 s 1速率匀速行驶，A船沿x轴正向,B船沿y轴正向。今在A船上设置与静止坐标系方向相同的坐标系(x、y方向单位矢用i、j表示)，那么在A船上的坐标系中，B船的速度(以 m/s为单位)为()(A) 2 i + 2 j(B)2 i + 2 j(C) - 2 i 2 j(D) 2 i 2 j解 这是一个相对运动的问题，要求的是B船相对A船的速度，由题意可知1 1 u 2i m s ，u2jms , u u u 2 j 2i，故选 B。1.10如图所示，一轻绳跨过一个定滑轮，两端各系一质量分别为m1和m2的重物，且m1 m2.滑轮质量及轴上摩擦均不计，此时重物的加速度的大小为a.今用一竖直向下的恒力

7、Fm1g代替质量为m1的物体，可得质量为 m2的重物的加速度为的大小a 则()(A) a = a(B) a a(C) a a,故选 B。2填空题1.11在xoy平面内有一运动的质点，其x,y分量的运动方程分别为x 10cos(5t)，y 10sin(5t)(si),t时刻其速率= 其切向加速度的大小 a =其法向加速度的大小 an =根据x罟,y50sin 5t , y 50cos 5t，t时刻质点的速率为anx y 50 ms 1，切向加速度的大小a 0，法向加速度的大小dt22250 m sR1.12在x轴上作变加速直线运动的质点，已知其初速度为0,初始位置为x0,加速度为a=Ct2(其中

8、C为常量)，则其速度与时间的关系=，运动方程为x=。t 2 1 3 解 根据d adt ,dx dt ,通过积分dCt2dt可得 。Ct ；通过积分0003xt1314dx ( 0 Ct )dt 可得 x x00t Ct。x03121.13灯距地面高度为 H,个人身高为h,在灯下以匀速率沿水平直线行走，如图1.2所示.习题1.13图解 建立如下坐标，设时刻 t影子M点在地面的位置为 X，人在地面的位置为t，由几何YLJKyKyKyLJ关系知，将此式对t求导得 h H ，因为M，所以Mx t hdt dtdtH h1.14如图,一质点P从O点出发以匀速率1 m s 1作顺时针转向的圆周运动，圆的

9、半径1m,如图所示,当它走过 -圆周时，走过的路程是 ，这段时间内的平均速度大4小，方向是习题1.14图解 质点P从0点出发以匀速率3 3B时，走过的路程是24 2作顺时针转向的圆周运动22m s3,当它走过圆周到达4方向与ox轴成45；。1.15 一质点沿半径为 R的圆周运动，在t = 0时经过P点，此后它的速率 按 =A+B t （A、B为正的已知常量）变化，则质点沿圆周运动一周再经过P点时的切向加速度at =，法向加速度 an=2 2dT B，%頁耆1.16以一定初速度斜向上抛出一个物体，如果忽略空气阻力，当该物体的速度u与水平面的夹角为时，它的切向加速度a的大小为a =, 法向加速度

10、an的大小为an=解因为忽略空气阻力，物体只受重力作用，所以物体的加速度就是重力加速度g，将g分解为沿速度方向和与速度垂直方向即得到a g sin ,an g cos 。1.17如图所示装置中，若两个滑轮与绳子的质量以及滑轮与其轴之间的摩擦都忽略不计，绳子不可伸长，则在外力F的作用下，物体 m1和m2的加速度为a =,mi与m2间绳子的张力 T =。习题1.17图解因为两个滑轮与绳子的质量以及滑轮与其轴之间的摩擦都忽略不计，绳子不可伸长，对mi,m2两物体进行受力解，mi受力R,T,F ； n受力P?。根据牛顿第二定律亠厂 十十 一m1g m2g F十 2mim2g Fm2有 F P T ga

11、T P2 m2a，可求得 a ,T 。g m2m1 m21.18在如图所示的装置中，两个定滑轮与绳的质量以及滑轮与其轴之间的摩擦都可忽略不计，绳子不可伸长，m1与平面之间的摩擦也可不计，在水平外力F的作用下，物体 m1与m2的加速度 a = 绳中的张力 T=习题1.18图解因为两个滑轮与绳子的质量以及滑轮与其轴之间的摩擦都忽略不计，绳子不可伸长，对mi,m2两物体进行受力解，m水平方向受力F,T ； 受力P?,T。根据牛顿第二定律有F m2gmhm2g Fm2F T gaj P2 m2a，可求得 a ,T -。mi m2m1 m23计算题1.19已知质点位矢随时间变化的函数形式为2r t i

12、2t j，式中r的单位为 m , t的单位为s.求：(1)任一时刻的速度和加速度;(2)任一时刻的切向加速度和法向加速度。drd u解由u，有：u 2t i 2 j , a 一u，有：a 2idtdt(2 )而au,有速率：,(2t)2 222. t2 1ddt2t，厂2，利用a2 2aan有：an、a2 a21.20一质点沿x轴作直线运动，它在t时刻的坐标是x234.5t 2t ,式中x以米计，t以秒计，试求(1) t 1s和t 2s时刻的瞬时速度；(2) 第二秒内所通过的路程；(3) 第二秒内的平均加速度以及t 1S和t 2s时刻的瞬时加速度。解(1 )由dxd2(4.5t2t3) 9t

13、6t2dtdt可知当t1s时19 12 16 1 3m s当t2s时2 92 6 22c 16m sdx(2)令9t 6t20dtt 1.5s时x有极值，其速度为零,质点改变运动方向，即质点的回头”点。此时X1.5X |t 1.53.375m2X14.5 12132.5mX24.5 222 23 2m则质点所经过的路程为s I y1.5I y2yi.51|3.3752.5| |23.375 | 2.25m(3)aUJU9itdu /ca(9dt(ms-2)12t)i (m s-2)-2a13i (m s )a215i (ms2)1.21一质点在 y轴上作加速运动，开始时 yy。，0。右(1)加

14、速度ktc，求任意时刻的速度和位置，其中k , c，为常量;加速度，求任意时刻的速度和位置;加速度ky，求任意位置的速度。to a (t) dt 和 y y o(t )dt可依次得速度0o (kttc) dt位置坐标yyoo(oct(2)由d adtk 可得两边积分有dotk dto所以Inkto可得ktoe再由也可得dydt解：(1)由0todtoet22dSt 22)dtkdtkt dtctyoot 2 Ct 2两边积分有y。dytkto e dt由此可得yokt(e 1)(3)由于两边积分有dtadyd dy dy dtyokydydy由此可得0 k(2 2 2、o k(y yo )1.

15、22质点的运动方程为:x Rcos t， yRsin t， zt，式中R、h、为正的常量。求：（1 ）质点运动的轨迹方程；（2）质点的速度大小；（3）质点的加速度大小。(2)dxR sin tdtd z hzdt 2.2/ 2 2 2h- xyzyRt4 22(3) axR cos tayR 2 si ntxyaz 0解（1）质点的轨迹方程为：x7R，z 2t，这是一条空间螺旋线。空间螺旋线在 Oxy平面上的投影，是圆心在原点，半径为R的圆，其螺距为h。1.23质点在xOy平面内的运动方程为x=3 t，y=2 t2+3。求：（1）t=2s时质点的位矢、速度和加速度；（2）从t=1s到t=2s这

16、段时间内，质点位移的大小和方向； （3） 01s和12s两时间段，质点的平均速度;（4 ）写出轨迹方程。-J r解(1) r 3ti (2t23)j , u 一d t3i 4tj，a 与 4jdtt 2s时，r 6i 11 j , u 3i 8j , a 4 j:22i2a.axayRrr2n (6 i11j) (3i5j) 3i32 6245 ,与x轴正向的夹角arcta n63.43Art15j) 3j3i3 3i 6j12x291.24质点的xt关系如图，图中a , b , c三条线表示三个速度不同的运动.问（1 ）它们属于什么类型的运动 ？（2 ）哪一个速率小？解（1 ）从图象可以看出

17、，三条线反映的都是：x与t成线性关系，所以它们属于匀速直线运动（2）根据dx dt可知直线的斜率越小，速率就小，所以c对应的速率小。习题1.24图1.25质点沿x轴正向运动,加速度k为常数.设从原点出发时速度为0，求运动方程x x（t）。解由于是一维运动，所以,由题意:分离变量并积分有:ddttkdt ,0得:kt0e又鱼dtoekt积分有:xdx00ektdt0 “ x （1k1.26已知子弹的轨迹为抛物线，初速为kt)0，并且0与水平面的夹角为。试分别求出抛物线顶点及落地点的曲率半径。解（1 ）抛物线顶点处子弹的速度0cos ，顶点处切向加速度为 0,法向加速度为g 。因此有：g(0COS

18、 )2*y2 20 COS习题1.26图(2 )在落地点时子弹的速度为0 ,由抛物线对称性，知法向加速度方向与竖直方向成角,贝U： an g cos ，有：g cos则:02 。g COS1.27如图所示，质量为m的钢球A沿着中心在0、半径为R的光滑半圆形槽下滑当滑到图示的位置时，其速率为v ,钢球中心与0的连线0A和竖直方向成角，求这时钢球对槽的压力和钢球的切向加速度.解对小球进行受力解根据牛顿第二定律有P cosmg cos习题1.27图Psingsin1.28质量为10kg的质点在xOy平面内运动，受一恒力作用，力的分量为6N ,1fy 7N，当 t 0 时，x y 0, x0 2m s

19、 , yo 0。当 t 2s 时，求: （1）质点的位矢；质点的速度。解 （1）由题意根据牛顿第二定律a F可以得到mm620.6m sfy70.7m s 2m10d uxda通过积分 2dtyx又因为ayax0 dtaxdtto得 x 0.6t20.7tdrt2由 u通过积分x (0.6t 2)dt 0.3t2 2tdt0t2y 0.7tdt 0.35t02 2所以 r (0.3t 2t)i 0.35t j当t 2s时 r (0.3 22 2 2)i 0.35 22j2.8i 1.4 j(2) u (0.6t 2)i0.7tj当t 2s时u (0.6 2 2)i0.7 2j0.8i1.4j1

20、.29质量为m的子弹以速度 0水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为 k，忽略子弹的重力，求：（1）子弹射入沙土后，速度随时间变化的函 数式；（2）子弹进入沙土的最大深度。解 由题意，子弹射入沙土中的阻力表达式为： m，贝U kdtk又由牛顿第二定律可得:dmdt-J分离变量，可得：-dt ,两边同时积分，有:m所以:kt oe m(2)子弹进入沙土的最大深度也就是则:考虑到dddxdxdtdxdtdt位移：Xmax0 m . dm000的时候子弹的位移，可推出：dx -d ，而这个式子两边积分就可以得到 k1.30两根弹簧的倔强系数分别为ki和k2.求证：1

21、1 1 (1 )它们串联起来时，总倔强系数k与k1和k2 .满足关系关系式k k1 k2(2 )它们并联起来时，总倔强系数k = k 1 + k2.解 当力F将弹簧共拉长x时，有F = kx，其中k为总倔强系数.两个弹簧分别拉长 X1和X2，产生的弹力分别为(1)由于弹簧串联，所以F = F1 = F2, x = x 1 + X2,F1 = k1X1, F2 = k2X2.因此F巳旦 kk1 k21 1 丄 k k1 k2习题1.28图(2 )由于弹簧并联，所以F = F1 + F2, x = x 1 = X2,因此匕 kx = k1X1 + k2X2,即 k = k 1 + k2.1.31如图所示，一半径为R的金属光滑圆环可绕其竖直直径转动.在环上套有一珠子. 今逐渐增大圆环的转动角速度 3,试求在不同转动速度下珠子能