【数学】2021-2021学年上海市浦东新区高一期中数学试卷

1、2021-2021 学年上海市浦东新区高一（下）期中数学试卷一、填空题（本大题共有 12 题，满分 42 分）只要求直接填写结果， 16 题每个空格填对得 3 分， 7 12 每个空格填对得 4 分，否就一律得零分1（3 分）设 sin 0 且 tan 0，就 所在的象限是2（3 分）函数 y=cos2x，x 0， 的递增区间为3（3 分）函数 y=cosa （xa 0）的最小正周期为 2，就实数 a=4（3 分）已知，就 tan =5（3 分）如 tan（）=就 tan =6（ 3 分）将函数 y=sinx的图象向左平移个单位，再向上平移 1 个单位，所的图象的函数解析式是7（4 分）如函数

2、的图象的相邻两条对称轴的距离是，就 =8（4 分）已知 f（x）=2sin （x0）在 0， 单调递增，就实数 的最大值为9（4 分）在平面直角坐标系 xoy 中，角 与角 均以 ox 为始边，它们的终边关于 y 轴对称，如 sin =，就 cos（）=10（4 分）设 abc的内角 a，b，c 所对的边分别为 a，b，c，如 bcosc+ccosb=asina，就 abc的外形为11（ 4 分）函数 f（x） = cos2x+的最大值是12（4 分）设函数 f（x）=2sin（ x+.），xr，其中 0，| . | 如，且 f（ x）的最小正周期大于 2，就 f（x）的解析式为二、挑选题（本

3、大题共有 4 题，满分 16 分）每道题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得4 分，否就一律得零分13（ 4 分）以下函数中，周期是，又是偶函数的是（）第16页（共 15页）ay=sinxby=cosxcy=sin2x dy=cos2x14（ 4 分）已知，就=（）amb m cd15（ 4 分）设函数 f（x）=cos（ x+），就以下结论错误选项（）af （x）的一个周期为 2 by=f（x）的图象关于直线 x=对称cf （x+）的一个零点为 x= df（x）在（， ）单调递减16（ 4 分）已知曲线，就下面结论正确的是（）a. 把 c1 上各点的横坐标伸长到原先的 2 倍

4、，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线c2b. 把 c1 上各点的横坐标伸长到原先的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线c2c. 把 c1 上各点的横坐标缩短到原先的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线c2d. 把 c1 上各点的横坐标缩短到原先的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线c2三、解答题（本大题共有 4 题，满分 42 分）解答以下各题必需写出必要的步骤17（ 8 分）已知函数，（ ）求 f（ x）的定义域；（ ）设 是第四象限的角，且，求 f（）的值18（ 10 分）已知函数（1） ）求 f（x

5、）的最大值及对应 x 的值（2） ）求 f（x）的最小正周期及单调递增区间19（ 12 分）已知函数 f（x）=asinx+bcosx，其中 a、b 为非零实常数（1） ）如，求 f（ x）的对称轴（2） ）如，是 （fx）图象的一条对称轴， 求 x0 的值，使其满意，且 x0 0，220（ 12 分）如图，旅客从某旅行区的景点 a 处下山至 c处有两种路径一种是 从 a 沿直线步行到 c，另一种从 a 沿索道乘缆车到 b，然后从 b沿直线步行到 c现有甲、乙两位游客从 a 处下山，甲沿 ac匀速步行，速度为 50 米/ 分钟，在甲动身 2 分钟后，乙从 a 乘缆车到 b，在 b 处停留 1

6、分钟后，再从 b 匀速步行到 c假设缆车匀速直线运动的速度为 130 米/ 分钟，山路 ac长 1260 米，经测量，cosa=，cosc= （1） ）求索道 ab 的长；（2） ）问乙动身后多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？2021-2021 学年上海市浦东新区高一（下） 期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有 12 题，满分 42 分）只要求直接填写结果， 16 题每个空格填对得 3 分， 7 12 每个空格填对得 4 分，否就一律得零分1（3 分）设 sin 0 且 tan 0，就 所在的象限是第三象限【分析】 由于 sin 0，故 可能是第三或第四象限角；由于tan

7、0，故 可能是第一或第三象限角；故当 sin 0 且 tan 0 时， 是第三象限角【解答】 解：由于 sin 0，故 可能是第三或第四象限角；由于 tan 0，故 可能是第一或第三象限角由于 sin 0 且 tan 0，故 是第三象限角，故答案为：三【点评】 此题考查象限角的定义，三角函数在各个象限中的符号，得到sin 0时， 是第三或第四象限角； tan 0 时， 是第一或第三象限角，是解题的关 键2（3 分）函数 y=cos2x，x 0， 的递增区间为， 【分析】先由整体法解 2k+2x 2k+2可得函数的全部单调递增区间， 取在x 0， 的即可【解答】 解：由 2k+2x2k+2可解得

8、 k+ x k+， kz，故函数 y=cos2x的递增区间为 k+， k+ ，kz，又 x 0， ，函数的单调递增区间为： ， 故答案为： ， 【点评】 此题考查复合三角函数的单调性，属基础题3（3 分）函数 y=cosa （xa 0）的最小正周期为 2，就实数 a=1【分析】 由题意利用函数 y=asin（x+）的最小正周期为，求得 a 的值【解答】 解：函数 y=cosa（xa 0）的最小正周期为=2，就实数 a=1，故答案为： 1【点评】此题主要考查函数 y=asin（x+）的周期性， 利用了函数 y=asin（x+）的最小正周期为，属于基础题4（3 分）已知，就 tan =2【分析】

9、利用诱导公式化简已知等式左边求出cos的值，再利用同角三角函数间的基本关系求出 sin 的值，即可求出 tan 的值【解答】 解： sin（+） =cos=，（ 0，），sin =， 就 tan =2故答案为： 2【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系， 以及诱导公式的作用， 娴熟把握基本关系是解此题的关键5（3 分）如 tan（）=就 tan =【分析】 直接依据两角差的正切公式运算即可【解答】 解： tan（ ） = 6tan 6=tan +1，解得 tan =，故答案为： 【点评】 此题考查了两角差的正切公式，属于基础题6（ 3 分）将函数 y=sinx的图象向左平移个单位，再向上平

10、移 1 个单位，所的图象的函数解析式是y=sin（x+） +1【分析】直接利用三角函数的图象的平移变换的原就：左加右减，上加下减，即可推出变换后的函数的解析式【解答】 解：将函数 y=sinx 的图象向左平移个单位，得到函数 y=sin（x+） 的图象，再向上平移 1 个单位，所得到的函数图象的解析式是：y=sin（x+）+1故答案为： y=sin（x+）+1【点评】此题是基础题， 考查三角函数的图象的平移变换， 留意平移变换的原就， 考查运算才能7（4 分）如函数的图象的相邻两条对称轴的距离是，就 = 1【分析】 由已知中函数 f（x）=sin（x+）（0）的图象的相邻两条对称轴的距离是 ，

11、我们可以依据正弦型函数的性质得到函数的最小正周期，进而依据t=，即可得到答案【解答】 解：函数 f（x）=sin（x+）（ 0）的图象的相邻两条对称轴的距离是半个周期 t=，就函数 f（x）=sin（x+）（0）的周期 t=2就 =1故答案为： 1【点评】 此题考查的学问点是由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式，正弦型函数周期的确定方法由，代数法：依据t=求出，几何法：依据对称轴及对称中心间的距离与周期 t 的关系求出8（4 分）已知 f（x）=2sin （x0）在 0， 单调递增，就实数 的最大值为【分析】 由条件利用正弦函数的单调性可得. ，由此求得实数 的最大值【解答】 解： f

12、（x）=2sin （x0）在 0， 单调递增， . ，求得 ，就实数 的最大值为 ，故答案为： 【点评】 此题主要考查正弦函数的增区间，属于基础题9（4 分）在平面直角坐标系 xoy 中，角 与角 均以 ox 为始边，它们的终边关于 y 轴对称，如 sin =，就 cos（）=【分析】 方法一：依据教的对称得到 sin =sin ，=cos=cos，以及两角差的余弦公式即可求出方法二： 分 在第一象限， 或其次象限， 依据同角的三角函数的关系以及两角差的余弦公式即可求出【解答】解：方法一： 角 与角 均以 ox 为始边， 它们的终边关于 y 轴对称，sin =sin ，=cos=cos，cos

13、（ ） =coscos+sin sin =cos2+sin2=2sin21= 1=方法二： sin =，当 在第一象限时， cos= ， ， 角的终边关于 y 轴对称， 在其次象限时， sin =sin ，=cos=cos=，cos（ ） =coscos+sin sin =+ =： sin =，当 在其次象限时， cos=， ， 角的终边关于 y 轴对称， 在第一象限时， sin =sin ，=cos=cos= ，cos（ ） =coscos+sin sin =+ =综上所述 cos（）= ，故答案为：【点评】此题考查了两角差的余弦公式， 以及同角的三角函数的关系， 需要分类争论，属于基础题1

14、0（4 分）设 abc的内角 a，b，c 所对的边分别为 a，b，c，如 bcosc+ccosb=asina，就 abc的外形为直角三角形【分析】依据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得 sina 的值进而求得 a，判定出三角形的外形【解答】 解： bcosc+ccosb=asina，sinbcosc+sinccosb=sin（b+c）=sina=sin2a，sina0，sina=1， a=，故三角形为直角三角形， 故答案为：直角三角形【点评】此题主要考查了正弦定理的应用 解题的关键时利用正弦定理把等式中的边转化为角的正弦11（ 4 分）函数 f（x） = cos2x

15、+的最大值是1【分析】把 f（ x）的解析式配方，再利用余弦函数的值域，二次函数的性质，求得它的最大值【解答】 解： x 0， ，cosx 0，1 ，函数 f（x）=cos2x+cosx+=+1，当 cosx=，即 x=时，函数 f（ x）取得最大值为 1，故答案为： 1【点评】 此题主要考查余弦函数的值域，二次函数的性质，属于基础题12（4 分）设函数 f（x）=2sin（ x+.），xr，其中 0，| . | 如，且 f（x）的最小正周期大于 2，就 f（x）的解析式为f（x）=2sin（ x+）【分析】由题意求得，再由周期公式求得 ，最终由如 f（）=2 求得 值，可得函数解析式【解答】

16、 解：由 f（ x）的最小正周期大于 2，得，又 f（）=2，f（）=0，得=，t=3，就=3，即 = f（x）=2sin（x+. ） =2sin（ x+. ），由 f（）=2sin（+. ）=2，得 sin（. +）=1.+=+2k，k z取 k=0，得 . =，.=f（x）的解析式为 f（ x） =2sin（x+）故答案为： f（ x）=2sin（ x+）【点评】 此题考查由三角函数的部分图象求解析式，考查y=asin（ x+）型函数的性质，是中档题二、挑选题（本大题共有 4 题，满分 16 分）每道题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得4 分，否就一律得零分13（ 4 分

17、）以下函数中，周期是，又是偶函数的是（）a. y=sinxby=cosxcy=sin2x dy=cos2x【分析】 依据三角函数的图象及性质依次即可【解答】 解：对于 a：y=sinx，是奇函数， a 不对 对于 b：y=cosx，是偶函数，周期 t=2， b 不对 对于 c：y=sin2x，是奇函数， c不对对于 d：y=cos2x，是偶函数，周期 t=， d 对应选： d【点评】 此题考查了三角函数的图象及性质的运用比较基础14（ 4 分）已知，就=（）amb m cd【分析】 由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果【解答】解：已知，就= cos（+）= sin（+） =sin（）

18、=m，应选： b【点评】 此题主要考查利用诱导公式进行化简三角函数式，属于基础题15（ 4 分）设函数 f（x）=cos（ x+），就以下结论错误选项（）af （x）的一个周期为 2 by=f（x）的图象关于直线 x=对称cf （x+）的一个零点为 x= df（x）在（， ）单调递减【分析】 依据三角函数的图象和性质分别进行判定即可【解答】 解： a函数的周期为 2k，当 k= 1 时，周期 t=2，故 a 正确，b. 当 x=时， cos（x+） =cos（+）=cos=cos3=1 为最小值，此时 y=f（x）的图象关于直线 x=对称，故 b 正确，c当 x=时， f（+） =cos（+）

19、=cos=0，就 f（x+）的一个零点为 x=，故 c正确，d当 x 时，x+，此时函数 f（x）不是单调函数，故 d错误， 应选： d【点评】此题主要考查与三角函数有关的命题的真假判定，依据三角函数的图象和性质是解决此题的关键16（ 4 分）已知曲线，就下面结论正确的是（）a. 把 c1 上各点的横坐标伸长到原先的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线c2b. 把 c1 上各点的横坐标伸长到原先的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线c2c. 把 c1 上各点的横坐标缩短到原先的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线c2d

20、. 把 c1 上各点的横坐标缩短到原先的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线c2【分析】 由题意利用函数 y=asin（x+）的图象变换规律，得出结论【解答】 解：把 c1： y=sin（ x+）上各点的横坐标变为原先的倍，纵坐标不变，可得 y=sin（2x+）的图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度， 得到曲线 c2：y=sin（2x+）=sin（ 2x+）的图象， 应选： d【点评】 此题主要考查函数 y=asin（x+）的图象变换规律，属于基础题三、解答题（本大题共有 4 题，满分 42 分）解答以下各题必需写出必要的步骤17（ 8 分）已知函数，（ ）求 f（ x

21、）的定义域；（ ）设 是第四象限的角，且，求 f（）的值【分析】（1）由 cosx0 得出 x 取值范畴得出答案（ 2）通过 tan = ，求出 sina= ， cosa= ，代入函数式【解答】（1）解：依题意，有 cosx 0，解得 xk+，f（x）的定义域为 x| xr，且 xk+，kz （ 2）解：= 2sinx+2cosx，f（）=2sin +2cos， 是第四象限的角，且，sin = ，cos=，f（）=2sin +2cos= 【点评】 此题主要考查三角函数的定义域的问题，属基础题18（ 10 分）已知函数（1） ）求 f（x）的最大值及对应 x 的值（2） ）求 f（x）的最小正周

22、期及单调递增区间【分析】 利用倍角公式降幂，再由帮助角公式化积（1） ）由，kz 求解 x，可得 f（x）的最大值及对应 x 的值；（2） ）利用周期公式求周期，再由复合函数的单调性求f（x）的单调递增区间【解答】解：=（ 1）由，kz，可得 x=，k zf（x）的最大值为 2，对应 x 的值为 x=，kz；（ 2）函数 f（x）的最小正周期为 t=； 由，kz可得，kzf（x）的单调递增区间为 ， ，kz【点评】 此题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查y=asin（ x+）型函数的图象与性质，是中档题19（ 12 分）已知函数 f（x）=asinx+bcosx，其中 a、b 为非零实常数

23、（1） ）如，求 f（ x）的对称轴（2） ）如，是 （fx）图象的一条对称轴， 求 x0 的值，使其满意，且 x0 0，2【分析】（1）把代入函数解析式，利用帮助角公式化积，由相位终边落在 x 轴上求解；（ 2）由 a=1，可得 f（ x）=sin（ x+），其中 tan =b，由题意+=k+，kz，可得 ，依据 tan（k+）=b，可求 ，由（f x0）=，解得：x0+=2k+，或 x0+=2k+，kz，结合范畴 x0 0， 2 ，即可求 x0 的值【解答】 解：（1），就 f（ x）=sinxcosx=2sin（ x），由，kz，可得 x=，kzf（x）的对称轴为 x=， k z；（ 2） a=1， f（x） =sinx+bcosx=sin（x+），其中 tan =b，x=是其图象的一条对称轴，可得+=k+，kz，可得 =k+，tan（ k+） =tan=b，故 = ，故 f（ x）=2sin（ x+）f（x0） =，可得： 2sin（ x0+）=，即 x0+=2k+，或 x0+=2k+， k z，解得： x0=2k，或 x0=2k+，kz，又 x0 0，2 x0=0 或或 2