抽象函数习题精选精讲

1、含有函数记号“f (x) ”有关问题解法由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号f(x)的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总 结如下：一、求表达式：1.换元法：即用中间变量 哇i示原自变量x的代数式，从而求出 f(x),这也是证某些公式或等式常用的方法,此法解培养学生的灵活性及变形能力。例 1：已知 f (二)2x 1,求 f(x).2 u2 x1 tv f(x)屋x 1解：设上 u,则 x f(u) 2 x 11 u12.凑合法：在已知 f(g(x) h(x)的条件下,h(x)

2、并凑成以g(u)表示的代数式，再利用代换即可求f (x).此解法简洁，还能进一步复习代换法。例2:已知f (x31x33,求 f(x)x1斛： f (x ) x(x1)(x2 x11 21-)(x )2 3)又|x -| 冈1|x|f(x) x(x23)x3 3x(i x| 1)3.待定系数法：先确定函数类型,设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。例3.已知f (x)二次实函数，且f(x 1) f (x21) x +2x+4，求f(x).解：设 f(x)=ax2 bx c,则 f(x 1) f (x 1)a(x 1)2 b(x1) ca(x1)2b(x 1) c一 2 一 一2

3、= 2ax2bx 2(a c) x 2x 4 比较系数得2(a c) 42a 12b 212，b1,c3/(x)4.利用函数性质法：主要利用函数的奇偶性，求分段函数的解析式.例4.已知y= f (x)为奇函数，当x0时，f(x) lg(x 1),求f(x)解： f(x)为奇函数，f(x)的定义域关于原点对称，故先求x0,f ( x) lg( x 1) lg(1 x),f(x)为奇函数，lg(1 x) f ( x) f (x)，当 x0 时 f (x) lg(1 x) 1- f (x)lg(1 x),xlg(1 x),x 01例5.一已知f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且有f (x) +g(

4、x) ,求f(x),g(x).x 1解：: f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，f ( x) f (x) , g( x) g(x),.、一.一1 .不妨用-x代换f (x)+g(x)=，中的x,x 1 11-1 f ( x) g ( x) 即 f (x) - g(x) x 1x 11_一 ，.x显见+即可消去g(x)，求出函数f(x)再代入求出g(x) 2-x 1x 15.赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出 f (x)的表达式例6：设f(x)的定义域为自然数集，且满足条件f(x 1) f(x) f(y) xy,及f(1)=1，求f(x)解： f(x)的定义域为n,取y=1,则有f(x

5、 1) f(x) x 1 f (1)=1,f(2) = f (1)+2, f (3) f (2) 3f (n) f(n 1) n以上各式相加，有 f(n) =1+2+3+ n = n(n 1) f (x) 1 x(x 1),x n22二、利用函数性质，解 f (x)的有关问题1 .判断函数的奇偶性：例7已知f(x y) f (x y) 2f(x)f (y),对一切实数x、y都成立，且f (0) 0,求证f (x)为偶函数。证明：令x=0,则已知等式变为f (y) f( y) 2f (0)f (y)在中令 y=0则 2 f (0)=2 f (0) f(0) w0. f(0)=1，f (y) f

6、( y) 2f(y)，f( y) f(y)，f(x)为偶函数。2 .确定参数的取值范围例8：奇函数f (x)在定义域(-1,1)内递减，求满足 f(1 m) f(1 m2) 0的实数m的取值范围。解：由 f(1 m) f(1 m2) 0得 f(1 m) f(1 m2), f(x)为函数，f (1 m) f (m2 1)1 1 m 1又f(x)在(-1,1)内递减，1 m2 1 10 m 11 m m2 13.解不定式的有关题目例9：如果f(x)=ax2 bx c对任意的t有f(2 t) f 2 t),比较f(1卜f(2)、f(4)的大小解：对任意t有f (2 t) f 2 t)，x=2为抛物线

7、y =ax2 bx c的对称轴又.其开口向上，f (2)最小，f (1)= f (3).在2, +8 )上，f(x)为增函数 f (3) f (4), f (2) f (1)0时，f (x) 0, f (1) = 2,求f (x)在区间2, 1上的值域。分析：由题设可知，函数f (x)是v *上工代.。)的抽象函数，因此求函数f (x)的值域，关键在于研究它的单 调性。解：设/ 0时/0 ；j(町-工1)0 ,心=均)+ 工 1=，(勺-用)4 /o1),-曲)(心-元0,即人的)我检 , f (x)为增函数。在条件中，令 y = -x,则/(0)= /w4/(-j),再令 x=y=0,则 f

8、 (0) =2 f (0) , f (0) = 0,故 f ( x) =f (x) , f (x)为奇函数， f (1) = f ( 1) =2,又 f ( 2) =2 f ( 1) = 4,f (x)的值域为4, 2。例2、已知函数f (x)对任意冗 已h，满足条件f (x) +f (y) =2 + f (x+y),且当x 0时，f (x) 2, f(3) =5,求不等式-2f 的解。分析：由题设条件可猜测：f (x)是y=x+2的抽象函数，且f (x)为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。解：设/勒，则亚0| .当qo时j2再)2,则勺)=力

9、(441=/岛)2 = /，即/(有)/ f (x)为单调增函数。又. f (3) = 5, f (1) =3。/ 7(2 +1) -八2) + /-2 - /(i) + /w- 24 /(1)- 2 - 3/(1) - 4,一 i, 即次* - 2s -340 ,解得不等式的解为一1 a 0。解：(1)令y=0代入79则了)，八项1-若f (x) =0,则对任意2心，有*珀7(3。,这与题设矛盾，f (x) ” .f(0)= 1。(2)令 y=xw0,则)=(工) =7-。,又由(1)知 f (x) w 0, f (2x) 0,即 f (x) 0, 故对任意x, f (x) 0恒成立。例4、

10、是否存在函数f (x),使下列三个条件：f (x) 0, x cn八口+防7(故心bem；f(2) =4。同时成立？若存在，求出 f (x)的解析式，如不存在，说明理由。分析：由题设可猜想存在 了=q ,又由f (2) =4可得a=2.故猜测存在函数了=2、用数学归纳法证明如下：(1) x=1 时，:=* + 1)=*),7= 4 ,又x n时，f (x) 0,，/(1)= 2 = * ,结论 正确。假设工= / ) 1旦止河时有力处，,则x= k+ 1时,投+ 1)=*舒，/3=，2 = 2rk+1时，结论正确。综上所述，x为一切自然数时，(力二3、对数函数型抽象函数对数函数型抽象函数，即由

11、对数函数抽象而得到的函数。例5、设f (x)是定义在(0, +8)上的单调增函数，满足 于(号)=/(用丁=1 ,求：(1) f (1)；(2)若f (x) + f (x 8) 0一* ，解之得：8vxw 9。例 6、设函数 y= f (x)的反函数是 y=g (x)。如果 f (ab) = f (a) + f (b),那么 g (a+b) =g (a) g (b) 是否正确，试说明理由。分析：由题设条件可猜测 y = f (x)是对数函数的抽象函数，又= y=f (x)的反函数是y=g (x) ,y=g (x) 必为指数函数的抽象函数，于是猜想g(a+b)=g(a) g(b)正确。解：设 f

12、 (a) = mi f (b) = n,由于 g (x)是 f (x)的反函数，g (mt = a, g (n) = b,从而用十两/(m虱明，,g(m=g“)，以小 b分别代替上式中的m n 即得 g (a+b) =g (a) g (b)。4、三角函数型抽象函数三角函数型抽象函数即由三角函数抽象而得到的函数。例7、己知函数f (x)的定义域关于原点对称，且满足以下三条件:当x】，电是定义域中的数时，有4m舞笫f (a) =- 1 (a0, a是定义域中的一个数)；当 0vxv 2a 时，f (x) 0。试问：(1) f (x)的奇偶性如何？说明理由。(2)在(0, 4a)上，f (x)的单调

13、性如何？说明理由。分析：由题设知f (x)是卜陀k的抽象函数，从而由及题设条彳猜想：f (x)是奇函数且在(0, 4a)上是增函数(这里把 a看成4进行猜想)。工是定义域中的数时有解：(1) -/ f (x)的定义域关于原点对称，目修一心，一(瓦心)在定义域中。:1. f (x)是奇函数。(2)设 0vxivx22a,则 0vx2xi2a, ,在(0, 2a)上 f (x) 0,1. f (xi) , f (x2), f (x2xi)均小于零，进而知 (x2)，在(0, 2a)上f (x)是增函数。/-广品)中的/(占卜八&)门，是 f (xi) f端霁， f (a)=-i,1. f (2a)

14、 =0,设 2avxv4a,贝u 0v x2av2a,川-2砂力/(2十10,即在(2a, 4a)上 f (x) 0。设 2a xi x2 4a,则0vx2xi2a,从而知f(xi), f(x2)均大于零。f-)jm)+1(x2-xi)0,”q76)/(两)/(&) 0f (xi) f (x2),即f (x)在(2a, 4a)上也是增函数。5、哥函数型抽象函数哥函数型抽象函数，即由募函数抽象而得到的函数。综上所述,f (x)在(0, 4a)上是增函数。例8、已知函数f (x)对任意实数x、y都有f (xy) =f(x) f (y),且 f (1) =1, f (27) =9,当口匕时,/w0；

15、)(1)(2)(3)分析：由题设可知f (x)是哥函数的抽象函数，从而可猜想 f(x)是偶函数，且在0,+8)上是增函数。判断f (x)的奇偶性；判断f (x)在0, +8)上的单调性，并给出证明;,求a的取值范围。解：(i)令 y=- i,则 f( x) =f (x) f( i), f( i)= i, f (x) = f (x) , f (x)为偶函数。a 1（2）设0工工1 七.- 0 49) = *3)，力3)，/3)=八期二/.:沙，。口+1）的，.wg + i）/口 20+l0,+oo), .“*1 即曰 o 评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向

16、特殊转化的必要手段。四、解析式问题门/(x)+/(-)=1+7例5.设对满足尤注口，k#1的所有实数x,函数八工)满足工，求f(x)的解析式。上，、注泮一 l r/八k- 1，+/()=1 +才(x)解：在x中以工代换其中x,得：/()+/(-)=x工一1k再在中以 x-1代换x,得1 . ？/(-)+/=-x-ix - 1fm= 7-/-1一(2) +化简得：工2忒”1)jt- 1评析：如果把x和 x 分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常情况下，给某 些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。五、单调性问题x、v,有/，

17、求证:例6.设f(x)定义于实数集上，当 支3口时，/u) 1 ,且对于任意实数 在r上为增函数。证明：在|/(二+，)=/5)4)|中取入=尸=0,(。)巾(。)若/=0 ,令工t=0 ,则，=0 ,与/1矛盾所以当k口时，1。；当工时,八口)二1所以又当a 0时，/=1 0所以对任意x e r,恒有/5) 口 所以/（心）二八工i斗（七一看）】，（勺），（心一均） 所以1y二了（月在r上为增函数。-oo c 均 0 /(勺-/)n 1评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。六、奇偶性问题

18、例7.已知函数/）（耳&耳* ）对任意不等于零的实数 汽1、壮都有/（/电） =/（而）+/0d ,试判断函数 f（x）的奇偶性。解：取/三-l向7得：/-1） = /（-d+ /所以）=0又取 / 三 x” -1 得：d =/（t）+/（t）,所以 1a-1） 二 口再取/三m七三一 1则/（一入）=/（-d+/（x）,即=因为“x）为非零函数，所以 x）为偶函数。七、对称性问题例8.已知函数尸=（工）满足/。）+ *一方=2。2 ,求广1+广1（2002-工）的值。解：已知式即在对称关系式 （胃+ +/似一力=2当中取值二口占二2002 ,所以函数y的图象关于点（0,2002）对称。根据原函数与其反函数的关系，知函数 好f1的图象关于点（2002, 0）对称。所以厂管+1。1） +/】（1001-幻=0将上式中的x用”而1代换,得广+广弋2口口2-力=0评析：这是同一个函数图象关于点成中心对称问题，在解题中使用了下述命题：设a、b均为常数，函数y = 对一切实数x都满足则函数尸=/。0的图象关于点（a, b）成中心对称图形。八、网络综合问题 例9.定义在r上的函数f（x）满足