材料力学梁的挠PPT学习教案

1、会计学1材料力学梁的挠材料力学梁的挠第1页/共36页71 概述概述72 梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程73 积分法计算梁的位移积分法计算梁的位移74 叠加法计算梁的叠加法计算梁的位移位移75 梁的刚度校核梁的刚度校核目目 录录第2页/共36页7 7 概概 述述研究范围研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。研究目的研究目的：对梁作刚度校核； 解超静定梁（为变形几何条件提供补充方程）。第3页/共36页第4页/共36页1.1.挠度挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用v表示。 与 f 同向为正，反之为负。2.2.转角转角：横截面绕其中性轴转动的角度。用 表示，顺时针转动为正，反

2、之为负。二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。 其方程为：其方程为：v =f (x)三、转角与挠曲线的关系：三、转角与挠曲线的关系：一、度量梁变形的两个基本位移量一、度量梁变形的两个基本位移量 (1) ddtgfxf小变形小变形PxvC C1f第5页/共36页 7-2 梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程zzEIxM)(1一、挠曲线近似微分方程一、挠曲线近似微分方程zzEIxMxf)()( 式（2）就是挠曲线近似微分方程。EIxMxf)()( （2）)( )1 ()(1232xffxf 小变形小变形fxM00)(

3、 xffxM00)( xf(1)第6页/共36页)()(xMxfEI 对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：)()(xMxfEI 1d)()(CxxMxfEI21d)d)()(CxCxxxMxEIf 1.1.微分方程的积分微分方程的积分2.2.位移边界条件位移边界条件PABCPD 7-3 积分法计算梁的位移积分法计算梁的位移第7页/共36页讨论： 适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。 可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。 积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条 件）确定。 优点：使用范围广，直接求出较精确；缺点：计算较繁。 支点位移条件：

4、支点位移条件： 连续条件连续条件： 光滑条件：光滑条件：0Af0Bf0Df0DCCffCC右左或写成CC右左或写成CCff第8页/共36页 例例1 1 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。建立坐标系并写出弯矩方程)()(LxPxM写出微分方程并积分应用位移边界条件求积分常数)()(xLPxMfEI 12)(21CxLPfEI213)(61CxCxLPEIf061)0(23CPLEIf021)0()0(12CPLfEIEI322161 ; 21PLCPLC解：解：PLxfx第9页/共36页写出弹性曲线方程并画出曲线3233)(6)(LxLxLEIPxfEIPLLff3)(3maxE

5、IPLL2)(2max最大挠度及最大转角xfPL第10页/共36页解：解：建立坐标系并写出弯矩方程)( 0)0( )()(LxaaxaxPxM写出微分方程并积分112)(21DCxaPfEI21213)(61DxDCxCxaPEIf )( 0)0( )(LxaaxxaPfEIxfPLa 例例2 2 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。第11页/共36页应用位移边界条件求积分常数061)0(23CPaEIf021)0(12CPaEI32221161 ; 21PaDCPaDC)()(afaf)()(aa11DC 2121DaDCaCPLaxf第12页/共36页写出弹性曲线方程并画出曲

6、线)(a 36)0( 3)(6)(32323Lx axaEIPax axaxaEIPxfaLEIPaLff36)(2maxEIPaa2)(2max最大挠度及最大转角PLaxf第13页/共36页 例例3 3 试用积分法求图示梁的挠曲线方程和转角方程，并求C截面挠度和A截面转角。设梁的抗弯刚度EI为常数。 解解：1 1外力分析外力分析：求支座约束反力。研究梁ABC，受力分析如图，列平衡方程：FRFRlFlRmFRRFBABABAy5 . 15 . 005 . 10第14页/共36页 2内力分析内力分析：分区段列出梁的弯矩方程：)23(212211xlFMFxM)23()0(21llxlx，3变形分

7、析变形分析：AB段：由于 积分后得：EIFxEIxMy2)(1111 111311111211112111111124)(42)(DxCxEIFDxCdxxEIFxyCxEIFCdxxEIFyx第15页/共36页BC段：由于 ，积分后得：)23()(2222xlEIFEIxMy 2223222222222222222222222)6143()2123()()223()23()(DxCxlxEIFDxCdxxlxEIFxyCxlxEIFCdxxlEIFyx边界条件：边界条件：当连续光滑条件：连续光滑条件：代入以上积分公式中，解得： 0002211ylxyx时，；时，212121，时，当yylxx

8、EIFlDDEIFlCEIFlC4065123212221，第16页/共36页故挠曲线方程和转角方程分别为： 由此可知： EIFlxlxEIFxEIFlxEIFx3)2123()(124)(22222222111EIFlxEIFlxlxEIFxEIFlxEIFy465)6143(121232232221231)(8)23()(12)0(322211向下；逆时针方向EIFllxyyEIFlxCA第17页/共36页7-4 7-4 叠加法计算梁的叠加法计算梁的位移位移一、载荷叠加一、载荷叠加 多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。121122()( )()

9、()nnnPPPPPP、 、121122()()()()nnnf PPPf PfPfP、 、二、结构形式叠加（逐段刚化法）二、结构形式叠加（逐段刚化法）第18页/共36页 例例4 4 按叠加原理求A点转角和C点挠度。解、 载荷分解如图 由梁的简单载荷变形表， 查简单载荷引起的变形。EIPafPC63EIPaPA424524qCqafE IEIqaqA33qqPP=+AAABBB Caa第19页/共36页EIPafPC63EIPaPA424524qCqafE IEIqaqA33qqPP=+AAABBB Caa 叠加qAPAA)43(122qaPEIaEIPaEIqafC624534第20页/共3

10、6页 例例5 试用叠加法求图示梁C截面挠度和转角。设梁的抗弯刚度EI为常数。 （已知AB=BC=l/2） ( a)( b) + 解解：将原图分解成图(a)和图(b)所示情况。 查表，对于图(a)有：)(82)2()(243)2(221331顺时针，向下EIlFEIlFEIlFEIlFyBB第21页/共36页于是有：对于图(b)有：故梁C截面挠度为：转角为： (顺时针) 说明：对于图(a)：BC段无内力，因而BC段不变形，BC段为直线 。EIFlEIFllEIlFEIlFlyyBCBBC8,485)2(824)2(211323111)()(222023202顺时针，向下EIlFEIlMEIlFE

11、IlMyCC)(4829248533321向下EIFlEIFlEIFlyyyCCCEIFlEIFlEIFlCCC89822221第22页/共36页 例例6 按叠加原理求C点挠度。解解：载荷无限分解如图由梁的简单载荷变形表， 查简单载荷引起的变形。叠加22(d)(34)48dP CP bLbfE IbLbqxxqPd2d)(d02220(34)d24q bLbbE ILdPCqCff22240.5000(34)d24240Lq bLbq LbE ILE Iq00.5L0.5LxdxbxfC第23页/共36页 例例7 结构形式叠加（逐段刚化法) 原理说明。=+PL1L2ABCBCPL2f1f2等价

12、等价xfxf21ffffPL1L2ABC刚化刚化AC段段PL1L2ABC刚化刚化BC段段PL1L2ABCMxf第24页/共36页7-5 7-5 梁的刚度校核梁的刚度校核)100012501( :对土建工程( maxLfLfLf一、梁的刚度条件一、梁的刚度条件 其中称为许用转角；f/L称为许用挠跨比。通常依此条件进行如下三种刚度计算：、校核刚度：校核刚度：、设计截面尺寸设计截面尺寸：、设计载荷：设计载荷：(对于土建工程，强度常处于主要地位，刚度常处于从属地位。特殊构件例外） maxLfLfmax max第25页/共36页 例例8 图示木梁的右端由钢拉杆支承。已知梁的横截面为边长a=200mm的正

13、方形，均布载荷集度 ，弹性模量E1=10GPa，钢拉杆的横截面面积A=250mm2，弹性模量E2=210GPa，试求拉杆的伸长量及梁跨中点D处沿铅垂方向的位移。kN/m40q 解解：静力分析静力分析，求出支座A点的约束反力及拉杆BC所受的力。列平衡方程：kN40,40012202BABABAyFKNRqFmqFRF第26页/共36页本题既可用积分法，也可用叠加法求图示梁D截面的挠度。积分法：积分法：拉杆BC的伸长为梁AB的弯矩方程为挠曲线的近似微分方程积分得： mm29. 2m1029. 210250102103104036932AElFEANllBxxxRxqxMA40202)(22)402

14、0(40103124020)(224121xxaExxIExMy DCxxxyCxxy)3201220(10403)20320(10403342232，第27页/共36页边界条件：当 时， ；当 时，代入上式得故当 时， 。叠加法：叠加法： 说明：AB梁不变形，BC杆变形后引起AB梁中点的位移，与BC不变形，AB梁变形后引起AB梁中点的位移叠加。 0 x0ym2xm1029. 23ly010145.113DC，xxxy334210145.11)3201220(10403m1xmm395. 7m10395. 73ymm395. 7384253212114221IEqAEFflyyyB第28页/共

15、36页PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNB 例例9 下图为一空心圆截面梁，内外径分别为：d=40mm、D=80mm，梁的E=210GPa，工程规定C点的f/L=0.00001，B点的=0.001弧度，试校核此梁的刚度。=+=P1=1kNABDCP2BCDAP2=2kNBCDAP2BCaP2BCDAM第29页/共36页P2BCa=+图图1 1图图2 2图图3 3EIaLPafBC162111EILPB16211EILaPEIMLB3323EILaPafBC32233解： 结构变换，查表求简单载荷变形。02BEIaPfC3322PL=400mmP2=2kNACa=

16、0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxf第30页/共36页P2BCa=+图图1 1图图2 2图图3 3PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxfEILaPEIaPEIaLPfC3316223221EILaPEILPB316221 叠加求复杂载荷下的变形48124444m10188 10)4080(6414. 3 )(64dDI第31页/共36页m1019. 533166223221EILaPEIaPEIaLPfC)(10423. 0)320016400(18802104 . 03164221弧度EILaPEILPB 001. 010423. 04maxLfLfmax 校