控制系统的数学模型优秀课件

1、控制系统的数学模型优秀l第一节 列写系统微分方程式的一般方法l第二节 非线性数学模型的线性化l第三节 传递函数l第四节 系统框图及其等效变换l第五节 控制系统的传递函数l第六节 信号流图和梅逊公式的应用l第七节 控制系统的反馈特性控制系统的数学模型优秀l数学模型：描述系统输人、输出变量以及内部其它变量之间关系的数学表达式。l数学模型的两种描述方法 ： 输入输出描述-微分方程、传递函数、 框图 状态变量描述 l建立系统数学模型的重要性控制系统的数学模型优秀l建立系统数学模型的方法 解析法 实验法 控制系统的数学模型优秀l用解析法建立系统数学微分方程式的 一般步骤1）根据基本的物理、化学等定律，列

2、写出 系统中的输入与输出的微分方程式。2）确定系统的输入与输出量，消去其中多 余的中间变量，从而求得系统输出与输 入间的微分方程式。 控制系统的数学模型优秀例例: : 图为一R-L-C电路，其输入电压为ur，输出电压为uc。 试写出ur与uc之间的微分方程式。解解: : 根据电路理论中的基尔霍夫定律，写出下列方程式rcuudtdiLiRidtcuc1消去中间变量，则得rcccuudtduRCdtudLC22-L-C电路电路控制系统的数学模型优秀例例: : 已知R-C网络如图所示，试写出该网络输入与输出间的微分方程。解解: : 对于图所示的电路，由基尔霍夫定律写出下列方程组ruRidtiiC11

3、211)(1dtiiCRidtiC)(112112222cudtiC221R-C滤波网络滤波网络控制系统的数学模型优秀消去中间变量 、 ，得1ircccuudtduCRCRCRtdudCCRR)(212211222121为二阶常系数非齐次微分方程。2i控制系统的数学模型优秀l非线性系统存在的普遍性l非线性系统的处理方法l非线性系统线性化处理的条件 基本假设： 非线性函数不仅连续，而且其各阶导数均存在； 变量对于平衡工作点的偏离很小。注：不适用于本质非线性系统。控制系统的数学模型优秀l数学依据：在给定工作点邻域将此非线性函数展开为泰勒级数，并略去二阶和二阶以上的各项，用所得到的线性化方程代替原来

4、的非线性方程。202200)(! 21)()()(00 xxdxfdxxdxdfxfxfyxxxx 非线性特性的线性化非线性特性的线性化控制系统的数学模型优秀其中：书上例子略。)(00 xxKyyxKy)(00 xfy 00,0 xxxyyydxdfKxx控制系统的数学模型优秀l一、传递函数的定义l二、传递函数的基本特性l三、典型环节的传递函数l四、电气网络传递函数的求取控制系统的数学模型优秀 在零初始条件零初始条件下，线性定常系统线性定常系统输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比，称为该系统的传递函数，记为G(s).控制系统的数学模型优秀设描述线性定常系统的微分方程为 记)()()()()()(

5、)()(1111011110trbdttdrbdttrdbdttrdbtcadttdcadttcdadttcdammmmmmnnnnnn设系统的初始条件为零，对上式取拉普拉斯变换得： )()(11101110sRasasasabsbsbsbsCnnnnmmmmmn )()()()(11101110sRbsbsbsbsCasasasammmmnnnnnnnnmmmmasasasabsbsbsbsRsCsG11101110)()()(控制系统的数学模型优秀l在零初始条件下，由于当 ，由于可求得系统的单位脉冲响应为卷积积分的应用：)()()(sRsGsC)()()()(11sRsGLsCLtc)()

6、(ttr1)(tL)()()(11sGLsCLtgttdtrgdrtgtrtgtc00)()()()()()()(控制系统的数学模型优秀 R-C电路电路l例：求传递函数。 解：rcuuiRdtduCicdtduRCcrcuu 11)()()(TssUsUsGrCRCT i控制系统的数学模型优秀l1) 传递函数只取决于系统（或元件）的结构 和参数，与外施信号的大小无关。l2) 传递函数只适用于线性定常系统。l3) 传递函数一般为复变量s的有理分式，它 的分母多项式s的最高阶次n总是大于或等 于其分子多项式s的最高阶次m。控制系统的数学模型优秀l4) 传递函数不能反映在非零初始条件下系统 （或元件

7、）的运动情况。l5) 一个传递函数是由相应的零、极点组成的。l6) 一个传递函数只能表示一个输入与输出之 间的关系，而不能反映系统内部的特征。 mnpspspszszszsKsVsUsGnm,).()().()()()()(21210的零点)(sGmzzzs,.,21nppps,.,21的极点)(sG控制系统的数学模型优秀)()()()()(2121111sUsGsUsGsY)()()()()(2222212sUsGsUsGsY)()()()()()()()(212221121121sUsUsGsGsGsGsYsY)()()(sUsGsY)()()(21sYsYsY)()()(21sUsUsU

8、)()()()()(22211211sGsGsGsGsG多输入多输出系统多输入多输出系统 控制系统的数学模型优秀l1比例环节 l2惯性环节 T：环节的时间常数。 )()(tKrtcKsGsRsC)()()()()()(tKrtcdttdcTTssRsCsG11)()()(控制系统的数学模型优秀l3积分环节 l4微分环节 drKtct0)()(sKsGsRsC)()()(dttdrKtc)()(KssGsRsC)()()(控制系统的数学模型优秀l5振荡环节 为时间常数； 为放大系数；为阻尼比。 单位阶跃响应为：222( )( )2( )( )d c tdc tTTc tKr tdtdt12)()

9、()(22TssTKsGsRsCTK22121tanarg11sin111)(tTetctT控制系统的数学模型优秀l6纯滞后环节 )()(trtcsesGsRsC)()()(控制系统的数学模型优秀控制系统的数学模型优秀l例1：求 。 解：1Z2ZrUcU( )/( )crUsUs212( )( )crUsZUsZZ控制系统的数学模型优秀l例1：求 。 解：rUcU1R2R1C2C( )/( )crUsUs21222221121112122211122112( )( )1(1)(1)/1()11/crUsZUsZZRC sR C sRC sRC sR R C C sR CRCRC sRRC sC

10、 s控制系统的数学模型优秀l一、绘制框图的一般步骤l二、框图的等效变换控制系统的数学模型优秀l框图l框图的作用控制系统的数学模型优秀l1) 写出系统中每一个部件的运动方程。l2) 根据部件的运动方程，写出相应的传 递函数。一个部件用一个方框单元表 示，在方框中添入相应的传递函数。l3) 根据信号的流向，将各方框单元依次 连接起来，并把系统的输入量置于系 统框图的最左端，输出量置于最右端。控制系统的数学模型优秀l例：求系统框图。l解：)()()(11sUsIRsUcr)()(2sIRsUc2111()()IsR IsC s)()()(21sIsIsIi2i1iC1R2Rcuru)(sUr)(sU

11、c11R)(1sI)(sI)(sUc)(sUr2R)(1sI1RCs)(2sI)(2sI)(1sI)(sI)(sUc)(1sI11R1RCs)(2sI)(sI2R控制系统的数学模型优秀l等效变换需遵循的基本原则等效变换需遵循的基本原则 变换前后各变量间的传递函数保持不变。变换前后各变量间的传递函数保持不变。l框图的基本联接方式框图的基本联接方式 串联；串联； 并联；并联； 反馈反馈。控制系统的数学模型优秀l1.串联)()()(11sRsGsU)()()(122sUsGsU)()()(23sUsGsC)()()()()(321sRsGsGsGsCniisGsG1)()(控制系统的数学模型优秀l2

12、.并联)()()()()()(321sGsGsGsRsCsG)()()()()()()()()()()()()()(321321321sRsGsGsGsRsGsRsGsRsGsCsCsCsC)()(1sGsGnii控制系统的数学模型优秀l3.反馈)()()(sEsGsC)()()(sBsRsE)()()(sCsHsB)()(1)()()(sHsGsGsRsC控制系统的数学模型优秀序号 法则 原来的框图 等效的法则 1框图的串联 2框图的并联 3 相加点的 后移)(1sG)(2sGRC)(1sGRC)(2sGRC)( sGRCY)( sGRCY)( sGRC)(1sG)(2sG)()(21sGs

13、G控制系统的数学模型优秀序号 法则 原来的框图 等效的法则 4 相加点的 前移 5 引出点的 后移 6 引出点的 前移 7 化简反馈 回路)( sG)(1sGRCYRCR)(sGRCC)(sG)( sGRC)( sGC)(1sG)(2sGRCRC)()(1)(211sGsGsG)(sGRCY)(sGRR)(1sGC控制系统的数学模型优秀l例：用框图的等效变换法则，求图所示系统的传递函数。 控制系统的数学模型优秀控制系统的数学模型优秀)()()()()()()()()()()(1)()()()()()(343232143214321sHsGsGsHsGsGsHsGsGsGsGsGsGsGsGsR

14、sC控制系统的数学模型优秀l例:求下图框图的传递函数。 1RsC2sC2121R11RsC11sCR111sCR221sCR21)1)(1(12211sCRsCR1)(121221122121sCRCRCRsCCRRsCR21控制系统的数学模型优秀1)(1)()(21221122121sCRCRCRsCCRRsUsUrC控制系统的数学模型优秀l2-1（p58）（a、d）控制系统的数学模型优秀l一、开环传递函数与前向通道的传递函数l二、闭环系统的传递函数控制系统的数学模型优秀l1.开环传递函数 系统的反馈量B(s)与误差信号E(s)的比值，称为系统的开环传递函数。)()()()()(21sHsG

15、sGsEsB控制系统的数学模型优秀l2.前向通路传递函数 输出量C(s)与误差信号E(s)的比值，称为系统的前向通路传递函数。12()()()()CsGs GsEs控制系统的数学模型优秀l（一）参数输入作用下的闭环传递函数l1.闭环传递函数)()()(1)()()()(2121sHsGsGsGsGsRsCR时当1)(sH)(1)()()(1)()()()(2121sGsGsGsGsGsGsRsCR( ) /( )RCsR s控制系统的数学模型优秀l2.闭环传递函数12( )1( )1( )( )( )RE sR sG s G s H s( ) /( )REsR s控制系统的数学模型优秀l（二）

16、扰动作用下的闭环传递函数l1.闭环传递函数212( )( )( )1( )( )( )DCsGsD sGs Gs H s( ) /( )DCsD s控制系统的数学模型优秀l2.闭环传递函数212( )( )( )( )1( )( )( )DEsGs H sD sGs Gs H s( ) /( )DEsD s控制系统的数学模型优秀控制系统的数学模型优秀l 共同作用下，由叠加原理：( )( )R sD s和2112212( )( )( )( )( )( )1( )( )( )( )( )1( )( )( )RDGs GsC sCsCsR sGs Gs H sGsD sGs Gs H s122121

17、( )( )( )( )1( )( )( )( )( )( )1( )( )( )RDE sEsEsR sGs Gs H sGs H sD sGs Gs H s控制系统的数学模型优秀l讨论：l当满足l（1）l（2）上式中，若l（3）12( )( )( )1G s Gs H s1212( )( )( )1( )1( )( )( )( )RCsGs GsR sGs Gs H sH s意义？21211( )( )1( )1( )( )( )( )( )( )( )1DCsGsD sGs Gs H sGs H sGs H s若意义？( )1,( )( )RH sCsR s则。意义？控制系统的数学模型优

18、秀l一、信号流图的术语和性质l二、梅逊增益公式控制系统的数学模型优秀l信号流图是线性方程组中变量间关系的一种图示法。l信号流图的基本组成单元有两个：节点和支路。 l例：1122xax控制系统的数学模型优秀l信号流图的绘制步骤 4453355444334422335524423321122xaxaxxaxaxxaxxaxaxaxax控制系统的数学模型优秀l信号流图的术语（一） (1)节点 它代表系统中的变量，并等于所 有流入该节点的信号之和。 (2)支路 信号在支路上按箭头的指向由一 个节点流向另一个节点。 (3)输入节点或源点 这种节点相当于自变 量，它只有输出支路。 (4)输出节点或阱点 它

19、是只有输入支路的 节点，对应于因变量。 控制系统的数学模型优秀l信号流图的术语（二）(5)通路 沿着支路的箭头方向穿过各相连 支路的途径，称为通路。如果通路与任 一节点相交不多于一次,则称为开通路。如 果通路的终点也是通路的起点。并且与任 何其它节点相交不多于一次, 这种通路称 为闭通路。(6)前向通路 如果从输入节点到输出节点的 通路上，通过任何节点不多于一次，则称 该通路为前向通路。控制系统的数学模型优秀l信号流图的术语（三）(7)回路 回路就是闭通路。(8)不接触回路 如果一些回路间没有任何公共节点，则称它们为不接触回路。(9)前向通路增益 在前向通路中，各支路增益的乘积叫做前向通路增益

20、。(10)回路增益 回路中各支路增益的乘积。 控制系统的数学模型优秀l例。控制系统的数学模型优秀l2-3（p58）l2-5（p58）l2-6（p58）控制系统的数学模型优秀 为系统的总增益； 为第 条前向通路的增益； 为不与第 条前向通路相接触的那一部分信 号流图的 值； 为信号流图的特征式 1(所有不同回路增益之和)(所有两 个互不接触回路增益乘积之和)(所有三 个互不接触回路增益乘积之和)+kkPT1TkPkktsrqmnLLLLLL1k控制系统的数学模型优秀例 一控制系统的框图和对应的信号流图如下所示。试用梅逊公式计算该系统的闭环传递函数。控制系统的数学模型优秀解：在这个系统中，输入量R(s)和输出量C(s)之间只有一条前向通路，其传输增益为3211GGGP 该系统有三个独立的回路，它们的增益之和为321232121GGGHGGHGGLn由于三个回路具有一条公共支路，因而该系