第五章 运动学基础

1、理论力学电子教程理论力学电子教程第五章第五章 运动学基础运动学基础第二篇第二篇 运动学运动学一、运动学任务一、运动学任务 1.点和刚体运动的描述点和刚体运动的描述(运动方程运动方程); 2.点的运动特征量点的运动特征量(轨迹轨迹, 速度和加速度速度和加速度); 3.刚体运动特征量刚体运动特征量(角速度和角加速度角速度和角加速度)。二、明确两个基本概念二、明确两个基本概念 1.物体在空间的位置必须说明它是对哪个物体而言的；物体在空间的位置必须说明它是对哪个物体而言的； 2.运动学中涉及的时间概念主要是瞬时和时间间隔。运动学中涉及的时间概念主要是瞬时和时间间隔。理论力学电子教程理论力学电子教程第五

2、章第五章 运动学基础运动学基础四、难点和重点四、难点和重点 1.点的合成运动；点的合成运动； 2.刚体的平面运动。刚体的平面运动。三、要求三、要求 1.能能选用合适的方法选用合适的方法描述描述点的运动点的运动和和刚体的基本运动刚体的基本运动。能。能熟练的计算熟练的计算速度和加速度速度和加速度、角速度和角加速度角速度和角加速度； 2.能正确的分析刚体的平面运动能正确的分析刚体的平面运动,能熟练地能熟练地确定速度瞬值确定速度瞬值，计算刚体角速度计算刚体角速度,熟练的选熟练的选用不同的方法求平面图形上各点的用不同的方法求平面图形上各点的速度和角速度速度和角速度； 3.正确地选择动点和动系，应用合成运

3、动的方法求点的正确地选择动点和动系，应用合成运动的方法求点的速度和加速度。速度和加速度。理论力学电子教程理论力学电子教程第五章第五章 运动学基础运动学基础第五章第五章 运动学基础运动学基础第一节第一节 运动学基本概念运动学基本概念第二节第二节 点的运动学点的运动学第三节第三节 刚体的基本运动刚体的基本运动理论力学电子教程理论力学电子教程第五章第五章 运动学基础运动学基础 参考体参考体: : 由于物体在空间的位置只能相对地被描述，由于物体在空间的位置只能相对地被描述，故要确定某物体在空间的位置故要确定某物体在空间的位置, ,必须选取另一不变形的物体必须选取另一不变形的物体作为作为参考体参考体。如

4、。如: :书和黑板擦放在讲台上书和黑板擦放在讲台上, ,书在运动书在运动, ,选黑板选黑板擦为擦为“参考体参考体”。 运动学只从几何学的观点来研究物体运动的规律，而不运动学只从几何学的观点来研究物体运动的规律，而不涉及引起运动的物理原因。涉及引起运动的物理原因。一、点与刚体一、点与刚体 点：点：没有大小的几何点。没有大小的几何点。 刚体刚体：在任何情况下保持其形状和大小不变的物体。：在任何情况下保持其形状和大小不变的物体。二、参考体与参考系二、参考体与参考系理论力学电子教程理论力学电子教程第五章第五章 运动学基础运动学基础 固定坐标系固定坐标系: :一般将固连于地球上的坐标系称为一般将固连于地

5、球上的坐标系称为固定参固定参考坐标系考坐标系, , 通常也称为通常也称为静坐标系静坐标系。 说明一点说明一点：古典力学认为时间和空间的度量对于所有参古典力学认为时间和空间的度量对于所有参考系都是一样的，且将时间视为连续的自变量。考系都是一样的，且将时间视为连续的自变量。 参考坐标系参考坐标系: : 固连于参考体上的一组任选的参考坐标系固连于参考体上的一组任选的参考坐标系（简称参考系）。若某一物体相对参考坐标系是静体（简称参考系）。若某一物体相对参考坐标系是静体, ,则对则对于此坐标系来说于此坐标系来说, ,物体静止；反之运动。物体静止；反之运动。 瞬时瞬时：对应于某一事件发生或终止对应于某一事

6、件发生或终止的时间。如上课开始的时间。如上课开始时。时。三、瞬时与时间间隔三、瞬时与时间间隔理论力学电子教程理论力学电子教程第五章第五章 运动学基础运动学基础 时间间隔时间间隔: : 两个瞬时之间的时间数。如上课开始与结束两个瞬时之间的时间数。如上课开始与结束之间的时间数为之间的时间数为5050分钟。分钟。 轨迹轨迹: : 点在空间运动所经过的路线。直线运动点在空间运动所经过的路线。直线运动, , 曲线运曲线运动。动。四、轨迹四、轨迹理论力学电子教程理论力学电子教程第五章第五章 运动学基础运动学基础 决定点的运动决定点的运动, , 就是确定动点在参考系中每一瞬时的位就是确定动点在参考系中每一瞬

7、时的位置。并由此求点的速度和加速度。置。并由此求点的速度和加速度。基本方法基本方法: : （1 1）矢量表示法；矢量表示法；（2 2）直角坐标表示法；直角坐标表示法；（3 3）弧坐标表示法。弧坐标表示法。理论力学电子教程理论力学电子教程第五章第五章 运动学基础运动学基础一、点的运动的矢量表示法一、点的运动的矢量表示法 选选O为坐标原点，向动点为坐标原点，向动点M作矢量作矢量r， r 称为动点称为动点M的矢的矢径，它的大小和方向可惟一地确定动点的位置。当动点运动径，它的大小和方向可惟一地确定动点的位置。当动点运动时，则矢径的大小及方向均随时间而变。时，则矢径的大小及方向均随时间而变。运动时，矢径

8、端点所描绘的曲线为动点轨迹。运动时，矢径端点所描绘的曲线为动点轨迹。r = r ( t ) 动点的运动方程为动点的运动方程为1 1、运动方程、运动方程理论力学电子教程理论力学电子教程第五章第五章 运动学基础运动学基础 若若点运动位置为点运动位置为 r = r ( t )t : Mt + t : M 当当 t 0 MM = MM)()(trttrrMM*rvt平均速度平均速度 则速度就可用矢径对于时间之变化率来表示则速度就可用矢径对于时间之变化率来表示ovMr(t) rr(t+ t)vM2 2、速度、速度理论力学电子教程理论力学电子教程第五章第五章 运动学基础运动学基础速度对于时间的变化率速度对

9、于时间的变化率加速度加速度MMvaavvv 动点的速度等于动点的矢径对于时间的动点的速度等于动点的矢径对于时间的一阶导数。一阶导数。动点的瞬时速度动点的瞬时速度 单位单位 : m/s , cm/s , km/h .00*limlim ttrdrvvtdtt : v t + t :v*vat3 3、加速度、加速度理论力学电子教程理论力学电子教程第五章第五章 运动学基础运动学基础 说明说明: : 单位单位 : m/s2 , cm/s2 。 动点的加速度等于动点的速度对于时间的动点的加速度等于动点的速度对于时间的一阶导数一阶导数 ；或等于动点的矢径对于时间的或等于动点的矢径对于时间的二阶导数二阶导数

10、。 (1)点的速度方向即为轨道曲线上的切线方向点的速度方向即为轨道曲线上的切线方向, 一般说点一般说点的的运动方向指的是速度方向运动方向指的是速度方向。 (2)瞬时加速度方向沿着动点的瞬时加速度方向沿着动点的速度端图速度端图的切线方向。的切线方向。220limxvdvd ratdtdt瞬时加速度瞬时加速度 理论力学电子教程理论力学电子教程第五章第五章 运动学基础运动学基础 点在空间的任一瞬时的位点在空间的任一瞬时的位置由置由 x、y 、z 来确定，来确定，其运动其运动方程为方程为二、点的运动的直角坐标表示法二、点的运动的直角坐标表示法 直角坐标运动方程直角坐标运动方程一般含时间一般含时间 t

11、，而轨迹方程通常通过而轨迹方程通常通过消去运动方程中的时间消去运动方程中的时间t 得到。得到。 )()()(321tfztfytfx1 1、运动方程与轨迹方程、运动方程与轨迹方程理论力学电子教程理论力学电子教程第五章第五章 运动学基础运动学基础x = f1( t ) , y = f2 ( t ) 相应的轨迹方程为相应的轨迹方程为F (x,y) = 0 若若动点动点M始终在平面始终在平面 oxy 内运动，则动点的运动方程为内运动，则动点的运动方程为有运动方程有运动方程: kzj yi xr )(),(),(321tfztfytfx 2、速度、速度记记v理论力学电子教程理论力学电子教程第五章第五章

12、 运动学基础运动学基础 动点的速度在坐标上的投影，分别等于动点的各位置坐动点的速度在坐标上的投影，分别等于动点的各位置坐标对于时间的一阶导数。标对于时间的一阶导数。 vvivdtdzdtdydtdxvvvvxzyx),cos(222222dtdzvdtdyvdtdxvzyx ,drdxdydzvijkvivjvkdtdtdtdt相对应的有相对应的有理论力学电子教程理论力学电子教程第五章第五章 运动学基础运动学基础22dtxddtdvaxx22dtzddtdvazz 3、加速度、加速度dtdzvdtdyvdtdxvzyx ,根据加速度定义，及速度表达式根据加速度定义，及速度表达式有有22dtyd

13、dtdvayy222zyxaaaa全加速度为全加速度为相应的方向角也可确定。相应的方向角也可确定。理论力学电子教程理论力学电子教程第五章第五章 运动学基础运动学基础（a）沿点的轨迹曲线建立一条曲线坐标轴；（b）选定一点O 为弧的起点，O 到动点M 的弧长OM=S；（c）规定起点O的一边弧长为正。三、点的运动的弧坐标表示法三、点的运动的弧坐标表示法设点的运动的轨迹曲线是已知的。要确定动点的位置设点的运动的轨迹曲线是已知的。要确定动点的位置: :（1 1）轨迹方程；）轨迹方程；（2 2）每一瞬时在轨迹曲线上的位置。）每一瞬时在轨迹曲线上的位置。1 1、运动方程、运动方程理论力学电子教程理论力学电子

14、教程第五章第五章 运动学基础运动学基础 s 是代数量，称为动点是代数量，称为动点M 的弧坐标或自然坐标。这样，动点的弧坐标或自然坐标。这样，动点沿已知轨迹的运动可用一时间沿已知轨迹的运动可用一时间 t 的连续函数来表示：的连续函数来表示：s = f ( t ) 即为即为点的弧坐标形式的运动方程点的弧坐标形式的运动方程。这种用点的轨迹和弧坐标。这种用点的轨迹和弧坐标来研究点的运动的方法，称为弧坐标法，也称为自然法。来研究点的运动的方法，称为弧坐标法，也称为自然法。经过 t时间,点沿轨迹由M到M，矢径有增量 ，则r2 2、速度、速度理论力学电子教程理论力学电子教程第五章第五章 运动学基础运动学基础

15、rrrrvvtsstsststsstttttddddddlimlim)(limlim00003 3、加速度、加速度tvtstvtv)(vttdddddddddddd22vaa22tddddtstv(1)切向加速度切向加速度 （表示速度大小的变化）理论力学电子教程理论力学电子教程第五章第五章 运动学基础运动学基础(2)法向加速度法向加速度 （ 表示速度方向的变化）svtssvtvtvttta0200nlim)(limlimdd)ddlim(0vtstst理论力学电子教程理论力学电子教程第五章第五章 运动学基础运动学基础由图可知1dd)22sin(lim2sin2lim|lim000ssssttt

16、2sin22sin|2|22sin , 0 ,0st时当 1|于是naaana2nt2ndd ,vtvv即nt2n2t|arctg ,aaaaa全加速度的大小方向为为轨迹曲线在点M 处的曲率半径理论力学电子教程理论力学电子教程第五章第五章 运动学基础运动学基础4、密切面与自然轴系、密切面与自然轴系理论力学电子教程理论力学电子教程第五章第五章 运动学基础运动学基础理论力学电子教程理论力学电子教程第五章第五章 运动学基础运动学基础显然nb以以M为原点，以切线、主法线和副法线为坐标轴组成的正交为原点，以切线、主法线和副法线为坐标轴组成的正交坐标系称为曲线在点坐标系称为曲线在点M的自然坐标系。的自然坐

17、标系。理论力学电子教程理论力学电子教程第五章第五章 运动学基础运动学基础5 5、几种特殊运动、几种特殊运动（1）直线运动）直线运动0na仅表明速度代数值改变的加速度。（2）匀速曲线运动）匀速曲线运动dtdsv 常数0a.2vanvdtds tssdtvds000ssvt理论力学电子教程理论力学电子教程第五章第五章 运动学基础运动学基础（3）匀变速曲线运动）匀变速曲线运动dtdva dtadvtvvdtadv00tavv0或由或由dtdsv dttavvdtdsttss)(000020021tatvss)(20202ssavv理论力学电子教程理论力学电子教程第五章第五章 运动学基础运动学基础【解

18、】【解】（1）用用 弧坐标表示。弧坐标表示。取水平线取水平线与轨道的交点与轨道的交点 A 为参考点，正负号规定为参考点，正负号规定如图。有如图。有s = R oMsA (+)(-)例例5-15-1 如图所示如图所示, 飞轮半径飞轮半径 R=50 cm，绕轴绕轴 O 转动，轮上直线转动，轮上直线 OM 与水平线间的夹角与水平线间的夹角 的变化规律为的变化规律为 =2t 2。求求 M点的运动点的运动方程。方程。将将 =2t2代入代入, 有有s = 2Rt2s = 100 t2 cm以弧坐标表示的动点以弧坐标表示的动点M相对于点相对于点A的运动方程。的运动方程。即即理论力学电子教程理论力学电子教程第

19、五章第五章 运动学基础运动学基础（2）用直角坐标表示用直角坐标表示。建立如图的直角坐标系，则有建立如图的直角坐标系，则有 x = Rcos , y = Rsin 将将 =2t2 代入代入, 则有则有 x =50 cos2t2 , y = 50 sin2t2 yxyx o RM理论力学电子教程理论力学电子教程第五章第五章 运动学基础运动学基础【解】【解】求求M点的运动点的运动轨迹，必须先用坐标轨迹，必须先用坐标法给出它的运动方程，法给出它的运动方程，然后从运动方程中消然后从运动方程中消去时间去时间 t ，得得到轨迹到轨迹方程。方程。例例5-25-2 椭圆规的曲柄椭圆规的曲柄 OC 可绕定轴可绕定

20、轴 O 转动转动, 其端点其端点 C 与规尺与规尺AB的中点以铰链相连接的中点以铰链相连接, 而规尺而规尺AB 的两端的两端 A、B 分别在相互分别在相互垂直的滑槽中运动垂直的滑槽中运动, 如图示。试求规尺上点如图示。试求规尺上点 M 的运动方程和的运动方程和轨迹。轨迹。已知已知OC =AC =BC =L，MC =a , =t。ACByOxMxy理论力学电子教程理论力学电子教程第五章第五章 运动学基础运动学基础在上述方程中消去时间在上述方程中消去时间 t，得得talCMOCxcos)(cos)(talAMysin)(sin1)()(2222 alyalx由图示得由图示得M点的运动方程为点的运动

21、方程为ACByOxMxy理论力学电子教程理论力学电子教程第五章第五章 运动学基础运动学基础【解解】已知点的运动方程已知点的运动方程, 可通过求导得到速度和加速度可通过求导得到速度和加速度, 利利用用 a n=v2/ , 求出曲率半径。求出曲率半径。 先求速度，有先求速度，有232tdtdyvtdtdxvyx例例5-35-3 已知已知M点的运动方程为点的运动方程为 x=t2, y=t3 (长度以长度以cm计计, 时间以时间以秒计秒计)，试求轨迹在点，试求轨迹在点(1,1)处的曲率半径。处的曲率半径。 422294ttvvvyx即即再求加速度，有再求加速度，有理论力学电子教程理论力学电子教程第五章

22、第五章 运动学基础运动学基础tdtdvadtdvayyxx62222364taaayx423942368ttttdtdva当 x=1, y=1时, 即 t2=1, t3=1, t=1 (秒)即即又又理论力学电子教程理论力学电子教程第五章第五章 运动学基础运动学基础故12128 3612 4 94913(cm/s)4362 10(cm/s )22/ 13(cm/s )tvaa则2222111211122640(cm/s )131313/137.81(cm)6ntnaaava理论力学电子教程理论力学电子教程第五章第五章 运动学基础运动学基础(一一) 确定研究对象确定研究对象 由题意, 确定所要研究

23、的动点 (或刚体上一点) 为研究对象。(二二) 选择坐标系选择坐标系 1. 如轨迹未知或轨迹为直线, 应考虑用直角坐标法求解。 2. 如轨迹为已知曲线, 常采用自然法求解。 无论用什么方法, 均要明确坐标系是固定在什么物体上。 (三三) 运动分析运动分析 1. 建立点的运动方程建立点的运动方程 分两步： （1）确定点运动的初始位置，然后将动点放在任意位置， 用适当的参数表示点的位置.，所选参数应与时间有关。 解题要点解题要点理论力学电子教程理论力学电子教程第五章第五章 运动学基础运动学基础（2）代入时间 t，求出坐标与时间t的函数关系，就得到动 点在空间的几何位置随时间 t 的变化关系,即运动

24、方程。2. 求点的轨迹方程求点的轨迹方程 将点的运动方程中的时间 t 消去，即得到动点的坐标之间 的函数关系，即动点的轨迹方程。3. 求点的速度求点的速度, 加速度及曲率半径加速度及曲率半径 （1） 由对运动方程求导, 可得速度和切向加速度, 法向加速度用公式计算，进而可得全加速度。 （2）求曲率半径 ，要联合应用直角坐标法与自然法, 具体思路如下：理论力学电子教程理论力学电子教程第五章第五章 运动学基础运动学基础zdtdvzdtdzydtdvydtdyxdtdvxdtdxavzavyavxzyx 222222zyxzyxaaaavvvv22aaadtdvannav2（3）注意在求某一特定瞬时

25、的动点M的速度，求 或 时， 千万不能对某瞬时的特定坐标或速度瞬时值求导。 在求导数时，要注意复合函数求导。MvMa理论力学电子教程理论力学电子教程第五章第五章 运动学基础运动学基础(四四) 建立方程求解建立方程求解 根据运动分析的结果, 确定解题方法, 建立有关方程式，进行求解。理论力学电子教程理论力学电子教程第五章第五章 运动学基础运动学基础例例5-45-4 如图所示，摇杆机构的滑杆AB以匀速u上升，并通过滑套A带动摇杆OC 绕O 轴转动。试建立摇杆OC上点C的运动方程，并求此点在 /4 时速度的大小。假定初瞬时， 0，摇杆长OCa，距离ODl。xyACDal理论力学电子教程理论力学电子教

26、程第五章第五章 运动学基础运动学基础【解解】因为 而， 所以C点的速度在 方向坐标轴上的投影分别为当 时， 代入上式，由y、x4lt cos , sinccxayacotllADut22 2l sin cotutcalxaarclu t222 2 sin cot1 cos cotcllautyaarcaarcututlu t223322222222 ,ccc xc yd xd ya luta u lvvd td tlutlut 理论力学电子教程理论力学电子教程第五章第五章 运动学基础运动学基础laudtdydtdxvccc222理论力学电子教程理论力学电子教程第五章第五章 运动学基础运动学基础

27、例例5-55-5 如图所示，已知t ，M 沿OA和半径为R的大圆弧滑动；求分别用直角坐标法和弧坐标法给出M的运动方程，并求出M点的速度和加速度 。OyxA1OCBRM理论力学电子教程理论力学电子教程第五章第五章 运动学基础运动学基础【解】【解】1.设直角坐标系Oxy如图，则M 的运动方程为t2sin t2cos RyRRxtRvatRyvtRxatRxvyyyxxx2sin 42cos 22cos 42sin 222OyxA1OCBRM速度和加速度理论力学电子教程理论力学电子教程第五章第五章 运动学基础运动学基础2.设弧坐标正方向如图，则运动方程、速度、加速度为222 , 2 ,04nsR t

28、vsRvav , aaR R当M在图示位置时，速度、加速度各分量的方向如图所示。vyvxvMayaxaM理论力学电子教程理论力学电子教程第五章第五章 运动学基础运动学基础【思考题思考题】 1.选择题选择题D（1）动点作匀速曲线运动是指( ) 点的加速度大小 点的加速度 点的切向加速度大小 点的切向加速度常量a常量a常量a常量a理论力学电子教程理论力学电子教程第五章第五章 运动学基础运动学基础(2)已知点沿其轨迹的运动方程为s=b+ct，式中b、c均为常量，则( )C 点的轨迹必为直线 点的轨迹必为曲线 点必作匀速率运动 点的加速度必等于零(3)动点在运动过程中，恒有 ，点做何种运动 ( )0

29、naa常量，B 加速曲线运动 B. 匀变速曲线运动 C.变速直线运动 D.匀变速直线运动理论力学电子教程理论力学电子教程第五章第五章 运动学基础运动学基础(4)已知点的运动方程为 ，其轨迹方程为 ( )33, 4232tytxB03642 .02422 .01823 .03643 .yxDyxCyxByxA(5) 动点M沿螺线自外向内运动，若点M走过的弧长与时间的 一次方成正比，则该点( )A 加速度越来越大 加速度越来越小 越跑越快 越跑越慢理论力学电子教程理论力学电子教程第五章第五章 运动学基础运动学基础2.已知动点的运动方程为 ， 其中长度以m计，时间以s计。求运动开始时，点的切向加 速

30、度和法向加速度，以及轨迹在初始位置的曲率半径。tx22ty 0 , 2 , 2 naam sm理论力学电子教程理论力学电子教程第五章第五章 运动学基础运动学基础3.小环M同时套在细杆OA和半径为r的固定圆圈上，如图所 示。细杆OA绕大圆圈上的固定点O 转动，它与水平直径 的夹角 t，其中为常数。试求小环M的运动方程以 及它的速度和加速度。xyAMO1OR理论力学电子教程理论力学电子教程第五章第五章 运动学基础运动学基础 本节研究刚体的两种基本运动，即本节研究刚体的两种基本运动，即刚体的平行移动刚体的平行移动和和绕绕固定轴转动固定轴转动，它们是研究刚体复杂运动的基础。，它们是研究刚体复杂运动的基

31、础。 一、刚体的平行移动一、刚体的平行移动 在运动过程中，若刚体上任一直线与其初始位置始终保在运动过程中，若刚体上任一直线与其初始位置始终保持平行，这种运动称为持平行，这种运动称为刚体的平行移动刚体的平行移动，简称，简称平移平移或或移动移动。例如，电梯的升降运动，在直线轨道上行驶的列车车厢的运例如，电梯的升降运动，在直线轨道上行驶的列车车厢的运动，振动筛筛子运动，汽缸活塞的运动等都是平行移动。动，振动筛筛子运动，汽缸活塞的运动等都是平行移动。 1.刚体平移的定义刚体平移的定义理论力学电子教程理论力学电子教程第五章第五章 运动学基础运动学基础理论力学电子教程理论力学电子教程第五章第五章 运动学基

32、础运动学基础理论力学电子教程理论力学电子教程第五章第五章 运动学基础运动学基础2.刚体平移的特点刚体平移的特点)0dd( dd)(ddddttttABAAABABBrvrrrrvABABrrrAAABABBtttarrrra222222dd)(dddd :同理如图所示，由刚体平移的定义，rAB为常矢量。平移刚体在任一瞬时速度、加速度都一样，各点的运动轨迹平移刚体在任一瞬时速度、加速度都一样，各点的运动轨迹形状相同。形状相同。即即平移刚体的运动可以简化为一个点的运动平移刚体的运动可以简化为一个点的运动。理论力学电子教程理论力学电子教程第五章第五章 运动学基础运动学基础例例5 5- -6 6 荡木

33、用两条等长的钢索平行吊起，如图所示。钢索长荡木用两条等长的钢索平行吊起，如图所示。钢索长为长为长l，长度单位为长度单位为m。当荡木摆动时钢索的摆动规律当荡木摆动时钢索的摆动规律为为 ，其中，其中 t 为时间，单位为为时间，单位为s；转角转角0的单位为的单位为rad，试求当试求当t=0和和t=2 s时，荡木的中点时，荡木的中点M的速度和加速度。的速度和加速度。t4sin0M理论力学电子教程理论力学电子教程第五章第五章 运动学基础运动学基础 为求中点为求中点M 的速度和加的速度和加速度，只需求出速度，只需求出 A点（或点（或B点）的速度和加速度即可。点）的速度和加速度即可。点点A在圆弧上运动，圆弧

34、的在圆弧上运动，圆弧的半径为半径为 l。如以最低点如以最低点O为为起点，规定弧坐标起点，规定弧坐标s向右为正，则向右为正，则A点的运动方程为点的运动方程为tls4 sin0tltsv4 cos4dd0理论力学电子教程理论力学电子教程第五章第五章 运动学基础运动学基础再求一次导，得再求一次导，得A点的切向加速度点的切向加速度tltva4 sin16dd02tA点的法向加速度点的法向加速度tllva4cos16 22022n2 04l016l20216理论力学电子教程理论力学电子教程第五章第五章 运动学基础运动学基础二、刚体的定轴转动二、刚体的定轴转动 当刚体运动时，其体内或其扩展部分有一直线始终

35、保持当刚体运动时，其体内或其扩展部分有一直线始终保持不动，这种运动称为不动，这种运动称为刚体的定轴转动刚体的定轴转动。这条不动的直线称为。这条不动的直线称为转轴转轴。如电动机的转子、机器上的传动齿轮等的运动均为定。如电动机的转子、机器上的传动齿轮等的运动均为定轴转动。轴转动。理论力学电子教程理论力学电子教程第五章第五章 运动学基础运动学基础1刚体位置的确定刚体位置的确定 刚体转动时，刚体转动时， 随时间而改变，随时间而改变，它是时间的单值函数，用数学式可它是时间的单值函数，用数学式可表示为表示为 = f (t) 上述方程称为上述方程称为刚体定轴转动的运动刚体定轴转动的运动方程方程。 的单位为弧

36、度，其正负号的单位为弧度，其正负号按右手规则确定，即从转轴按右手规则确定，即从转轴Oz的方的方向看，逆钟向量得的向看，逆钟向量得的 角为正值，角为正值，反之为负值。反之为负值。 理论力学电子教程理论力学电子教程第五章第五章 运动学基础运动学基础2 2角速度角速度)( ddlim 0代数量ttt单位用单位用rad/s(rad/s(弧度弧度/ /秒）。秒）。 工程中常用单位还有工程中常用单位还有 n 转转/分分(r / min)， n与与 的关系为的关系为30602nn3.3.角加速度角加速度如果如果 与与 同号，则为加速转动同号，则为加速转动, 反之则为减速转动。反之则为减速转动。 220ddd

37、dlimtttt角加速度的单位为角加速度的单位为 rad/s2。理论力学电子教程理论力学电子教程第五章第五章 运动学基础运动学基础4.4.匀速转动与匀变速转动匀速转动与匀变速转动当当 =常数常数,为匀变速转动时。有为匀变速转动时。有)(22102022000ttt这里这里 0和和 0是是t = 0 时转角和角速度。时转角和角速度。 当当 =常数常数,为匀速转动时。有为匀速转动时。有 = 0+ t 这里 0是 t = 0 时转角 的值。（1）匀速转动）匀速转动(2) 匀变速转动匀变速转动理论力学电子教程理论力学电子教程第五章第五章 运动学基础运动学基础5.5.转动刚体内各点的速度与加速度转动刚体

38、内各点的速度与加速度 当刚体作定轴转动时，刚体内每当刚体作定轴转动时，刚体内每一点都作圆周运动，圆心在转轴上，一点都作圆周运动，圆心在转轴上，圆心所在平面与转轴垂直，半径圆心所在平面与转轴垂直，半径R等等于该点到轴线的距离。用弧坐标法，于该点到轴线的距离。用弧坐标法， 在在 t时间内，走过的弧长为时间内，走过的弧长为RtRtStSvtt00limlimdd s= R速度速度Rv故故理论力学电子教程理论力学电子教程第五章第五章 运动学基础运动学基础,dd)(ddddtRRtRttva222)(RRRvan422t2nRaaa22nt tgRRaa切向加速度为切向加速度为法向加速度为法向加速度为全

39、加速度大小为全加速度大小为方向为方向为理论力学电子教程理论力学电子教程第五章第五章 运动学基础运动学基础 结论结论: （1）在每一瞬时，转动刚体内所有各点的速度和加）在每一瞬时，转动刚体内所有各点的速度和加速度的大小，分别与这些点到转轴的距离成正比。（速度的大小，分别与这些点到转轴的距离成正比。（2）在每）在每一瞬时，转动刚体内所有各点的全加速度一瞬时，转动刚体内所有各点的全加速度 a 的方向与半径间的方向与半径间的夹角的夹角 都相同。都相同。 理论力学电子教程理论力学电子教程第五章第五章 运动学基础运动学基础6.6.角速度和角加速度的矢量表示角速度和角加速度的矢量表示|:|dtd大小k方向如

40、图kkdtddtd 按右手定则规定按右手定则规定 ， 的方向。的方向。 理论力学电子教程理论力学电子教程第五章第五章 运动学基础运动学基础理论力学电子教程理论力学电子教程第五章第五章 运动学基础运动学基础RrrrRvsin|sinvrdtrdrdtddtrddtvda)(vraRvvaRrraon290sin|sin|ravanrarvvan理论力学电子教程理论力学电子教程第五章第五章 运动学基础运动学基础 在实际工程中，不同机器的工作转速往往是不一样的，在实际工程中，不同机器的工作转速往往是不一样的，故需要利用轮系的传动来提高或降低机器转速。常用的有故需要利用轮系的传动来提高或降低机器转速。

41、常用的有带传动带传动和和齿轮传动齿轮传动。一般将主动轮转速与从动轮转速之比，。一般将主动轮转速与从动轮转速之比，用用i表示，即表示，即三、定轴轮系的传动比三、定轴轮系的传动比从主从主nni1 1带传动带传动 当主动轮当主动轮转动时，利用胶带与带轮轮缘间的摩擦带动转动时，利用胶带与带轮轮缘间的摩擦带动从动轮从动轮转动。转动。 不考虑胶带由于拉力引起的变形及胶带的厚度，为此在不考虑胶带由于拉力引起的变形及胶带的厚度，为此在同一瞬时胶带上各点速度大小应相等，即同一瞬时胶带上各点速度大小应相等，即v1 = v = v2。若胶带若胶带与带轮间没有滑动，则与带轮间没有滑动，则理论力学电子教程理论力学电子教

42、程第五章第五章 运动学基础运动学基础3011111nrrv3022222nrrvr11 = r22，r1n1 = r2n2传动比传动比 122121rrnni 机床的主轴箱汽车的变速箱以及卷扬机等，都利用齿轮传机床的主轴箱汽车的变速箱以及卷扬机等，都利用齿轮传动。因齿轮传动具有传动比准确及传递的扭矩较大等优点，故动。因齿轮传动具有传动比准确及传递的扭矩较大等优点，故在机器中用得较多。在机器中用得较多。2 2齿轮传动齿轮传动 已知其啮合齿轮的节圆半径分别为已知其啮合齿轮的节圆半径分别为r1和和r2，齿数分别为齿数分别为z1和和z2，角速度为角速度为 1和和 2。设设A为主动轮啮合点，为主动轮啮合点，B为从动轮啮合点为从动轮啮合点，因齿轮啮合没有相对滑动，故，因齿轮啮合没有相对滑动，故理论力学电子教程理论力学电子教程第五章第五章 运动学基础运动学基础vA = vBvA = r11，vB = r22而而r11 = r22故故即传动比即传动比122112rri 齿轮啮合时，齿轮