空间曲线地切线与空间曲面地切平面

1、第六节 空间曲线的切线与空间曲面的切平面、空间曲线的切线与法平面x X(t)设空间的曲线C由参数方程的形式给出:y y(t) ， t (,).z z(t)设 t0,t1(),A(x(to), y(to),z(to)、B(x(ti), y(ti), z(ti)为曲线上两点,A, B的连线AB称为曲线C的割线，当B A时，若AB趋于一条直线，则此直线称为曲线C在点A的切线.如果 x x(t), yy(t), z z(t)对于t的导数都连续且不全为零(即空间的曲线 C为光滑曲线)，则曲线在点A切线是存在的因为割线的方程为XX(to)x(ti)x(to)也可以写为xx(to)x(ti )x(to )t

2、 toy y(to)z z(to)y(ti)y(to)z(ti)z(to)yy(to)zz(to)y(ti)y(to)z(ti)z(to)ttotto当B A时，tto ,害熾的方向向量的极限为x (to), y (to), z (to),此即为切线的方向向量，所以切线方程为X x(to) y y(to) zz(to)x (to) y (to)z(to)过点A(x(to), y(to), z(to)且与切线垂直的平面称为空间的曲线 C在点A(x(to), y(to), z(to)的法平面，法平面方程为x(to)(x Xo) y(to)(y y。)z(t)(z z)0y y(x),z z(x)且

3、y(xo),z(xo)存在，则曲线在点 A(xo, y(xo), z(xo)的切线是X X。y y(Xo)1y(X。)Z Z(X)z (Xo)法平面方程为(X Xo)y(Xo)(y y(Xo)z(Xo)(z z(Xo) 0如果空间的曲线 C表示为空间两曲面的交，由方程组F (x, y, z) 0, c:G(x, y,z) 0确定时，假设在A(xo, yo,zo)有J(F,G)(y,z) a0，在A(xo,yo,zo)某邻域内满足隐函数组存在定理条件，则由方程组F (x, y, z)0,在点A(X0, y, z)附近能确定隐函数G(x, y, z) 0y y(x),z z(x)有y0y(x0),

4、z0 z(X0)，dx1(F,G) dzJ (x,z) , dx1晋。于是空间的曲线C在点A(x, y, z)的切线是X X。yy。zz1dydzdxAdxAX Xyy。z Z(F,G)(F,G)(F,G)(y,z)A(z, X)a(x, y)A(F,G)(y,z)(x Xo)A(F,G)(z,x)(yAy。)(F,G)(x, y)(z Zo)0A0时，我们得到的切线方类似地，如果在点 A(x0, y0, z0)有(F,G)(x, y)程和法平面方程有相同形式。所以，当向量(F,G)(F,G)(F,G)(y,z)/ (z,x)/ (x, y)A 0r 时，空间的曲线 C在A(Xo,yo,Zo)

5、的切线的方向向量为r例6.32求曲线xa cos , y asin ,z b在点 a,0,b处的切线方程.解 当时，曲线过点a,0,b，曲线在此点的切线方向向量为a si n ,acos ,b |0, a,b ,所以曲线的切线方程为x x(t。)y y(t。) z z(t。)0abx a y z b即0 a b .、空间曲面的切平面与法线设曲面S的一般方程为F(x,y,z) 0取P0(X0,y,Z0)为曲面S上一点，设F(x,y,z)在P0(X0,y0,z)的某邻域内具有连续2 2 2偏导数，且 Fx(X0,y,z0)Fy(x0,y,Z0)Fz(x,y0,z0) 0。设 c 为曲面 S 上过P

6、(X0, y,Z0)的任意一条光滑曲线：x X(t)c： y y(t)z z(t)设 Xox(to), yo y(to), Zo z(to)，我们有F(x(t),y(t),z(t) 0上式对t在t to求导得到IIIFx (Xo, yo,Zo)x (to) Fy (Xo,yo,Zo)y (to) Fz (x。，y,z)z (t。) 0因此，曲面S上过Po(xo,yo,zo)的任意一条光滑曲线 c在Po(xo,yo,zo)点的切线都和 向量n Fx (xo，y,Zo),Fy (x, y,z),Fz (x。, y,z。)垂直，于是这些切线都在一个平面上，记为，平面 就称为曲面S在Po(Xo,y,Z

7、o)的切平面，向量n称为法向量。S在Po(xo,yo,zo)的切平面方程是Fx (Xo, yo,zo)(x Xo) Fy (Xo,yo,zo)(y y) Fz (x, y, zo)(z zo) o过点Po(Xo,yo,Zo)且与切平面垂直的直线称为曲面 S在Po(Xo,yo,Zo)点法线，它的方程为(X Xo)(y yo)(Z Zo)Fx(Xo,yo,Zo)Fy (Xo, yo,Zo)Fz(Xo,y,z)设曲面S的方程为F(x,y,z) o若 F (x, y, z) 在S 有 连 续 偏 导 数 且o,则称S是光滑曲面。由上面讨论可2 2 2Fx (Xo,yo,Zo) Fy (Xo, yo,Z

8、o) Fz(Xo,yo,z)若曲面S的方程的表示形式为以知道光滑曲面有切平面和法线。z f (x, y)，这时，容易得到 S在Po(Xo, yo,Zo)的切fx(Xo,yo)(x x)fy(Xo,yo)(y y) (z z) 0法线方程为(x X。) (y y。)(z z。)fx(Xo,yo)fy(Xo,y。)1我们知道，函数z f (x, y)在点(Xo,yo)可微，则由Taylor公式知f (X,y) f(Xo,yo)fx(Xo,yo)(xXo)fy(Xo,y)(yy)O(._(xx)2(yy)2)也就是说，函数 z f (x,y)在点(Xo,y)附近可以用S在Po(x,yo,Zo)的切平

9、面近似代替，误差为,(x Xo)2 (y yo)2的高阶无穷小。若曲面S的方程表示为参数形式x x(u,v)S： y y(u,v)z z(u, v)设 Xox(Uo,Vo),yoy(Uo,Vo),Zoz(Uo,Vo)， Po(Xo,yo,Zo)为曲面上一点。假设FO(Xo,yo,Zo)有 j(X, y) (U,V) Poo,在Po(Xo,yo,Zo)某邻域内满足隐函数组存在定理条件，则由方程组X x(u，v)，在点PO(Xo,yo,Zo)附近能确定隐函数(即 X和y的逆映射) y y(u,v)u u(x, y),v v(x, y)满足Uo u(Xo,yo),vo v(Xo, yo) 于是，曲面

10、S可以表示为Z f (X, y) z(u(x, y),v(x,y)x x(u,v)，由方程组两边分别同时对x,y求偏导得到y y(u,v)yyuvvux(x,y),x(x, y)(u,v)(u,v)xxuvvuy(x, y)y(x,y)(u,v)(u,v)ZuUxZvVxZuUyZvVy(y，z) (u,v)/ (x, y) (u,v) (z,x) (u,v)/ (x,y)(u,v)所以，S在Po(X0,yo,Z0)的切平面方程为(y,z)(u,v)(X(uo,vo)Xo)(Z,x)(u,v)(Uo,vo)法线方程为x Xo(y,z)(u，v) (uo,vo)(yyo)3(z(u，v) (uo

11、,vo)Zo)y yo(z,x)(u，v) (uo,vo)z Zo(x,y)(UV) (uo,vo)x一例6.33求曲面z y In 在点(1,1,1)的切平面和法线方程。 z解曲面方程为F (x, y, z)xy In z o,易得 n 1,1, 2z切面方程为(x 1) (y 1)2(z 1)0即 x y 2z 0.习题6.61 .求曲线 x a cos a cost, y a si nacost,z a si nt在点t t0处的切线和法平面方程.2 .求曲线6在点(1, 2,1)处的切线和法平面方程.3 求曲面zarctan在点(1,1, /4)的切平面和法线方程。x34。证明曲面xy

12、z a (a 0)上任意一点的切平面与坐标面形成的四面体体积为定值。5 .证明曲面z xf ()上任意一点的切平面过一定点。x第七节极值和最值问题一、无条件极值与一元函数极值类似，我们可以引入多元函数的极值概念。定义 6.3 n 元函数 f(Xi,X2, ,Xn)在点 Po(Xi0,x0, ,x0)的一个邻域 U(Po) Rn 内 有定义。若对任何点 P(Xi ,X2, ,Xn) U (Po)，有f(Po)f(P) 或( f(Po)f(P)则称n元函数f (Xi,X2, , Xn)在Po(X0,x0, ,x0)取得极大(或极小)值，Po(Xi0,X0, , X0)称为函数f ( Xi, X2,

13、 , Xn)的极大(或极小)值点。极大值和极小值统称 为极值，极大值点和极小值点统称为极值点。类似一元函数，我们称使得n元函数f (Xi, X2, ,Xn)的各个一阶偏导数同时为零的点为驻点。我们有如下定理。定理6.28 若Po(Xi,X, , X：)为n元函数f (Xi,X2, , Xn)的极值点，且 f (Xi, X2, Xn)在 P(Xi,x2), ,x)的一阶偏导数存在，则 P(X,X, ,x)为 n 元函数f (Xi, X2, Xn)的驻点。证 考虑一元函数(Xi) f(Xi, Xi, ,x0 )(i 1,2 n)，则Xi是(xj的极值点,Fermat马定理告诉我们，可导函数在极值点

14、的导数是零，于是(X)fXi (Xi0, ,Xi， ,X) 0和一元函数类似，反过来，驻点不一定是极值点。 而偏导数不存在的点也有可能是极值点。判断多元函数的极值点要比一元函数复杂的多，下面我们仅对二元函数不加证明给出一个判别定理。定理6.29若Po(Xo, yo)为二元函数f (x, y)的驻点，且 f (x, y)在 P(X0, y)的一个2邻域U (P。)R中有二阶连续偏导数。令fyy(Xo, yo),Afxx(Xo, yo), Bfxy(Xo,yo),CA B2Q B C AC B，(1) 当 Q o 时，若 A o，f (x, y)在 Po(Xo, yo)取极小值；若 A o，f (

15、x,y)在Po(xo, yo)取极大值；(2) 当 Q o 时，f(x, y)在 Po(Xo, yo)不取极值；(3) 当Q o时，f (x, y)在Po(xo, yo)可能取极值，也可能不取极值。23例6.34求函数z x y (6 x y)的极值。解解方程组z 3xy3(12 3x 2y)0xZ 2 2x2y2(18 3x 4y)0y得驻点为Po(2,3)及直线x0,y0上的点。对Po(2,3)点有A162,B108,C144, AC B20，于是函数z在 P(2,3)取积大值z(Po)108。容易判断，满足条件x 0的点为函数z的极小值点，极小值为0 ；满足条件的0 y6x 0和x 0的

16、点为函数z的极大值点，极大值为0。y 0 y 6一、最值问题在社会生产各个领域我们都会遇上最值问题，即如何用最小的成本获取最大利益的问题，这些问题一般都可以归结为求某一函数在某一范围内的最大值和最小值的问题。我们称使得函数取得最大值和最小值的点为函数的最大值点和最小值点，统称为最值点；函数的最大值和最小值统称为最值。1、一元函数设yf (x)是定义在闭区间a,b上的连续函数，则 f (x)在a,b上一定有最大值和最小值。区间的两个端点a和b可能成为其最值点，而如果最值点在开区间(a,b)取得的话， 则一定是f (x)的极值点，即是f (x)的驻点或是使导数 f (x)不存在的点。假设 f (x

17、)的所、 1 1 1 有驻点是X1 , X2 ,Xk，使导数f (x)不存在的点是X1 , X2 ,2Xm，那么max f (x) | xa,b1max f (a), f (b), f (X1),1 2 f (Xk), f (X1 ),2f(Xm)min f(x)|xa,b1min f (a), f (b), f (X1),1 2f(Xk), f(X1 ),f ( Xm )2例6.35求抛物线y 2x上与(1,4)最近的点。2 解 设(x,y)是抛物线y2x上的点，贝U (x, y)与(1,4)的距离是d (x 1)2 (y 4)2 J(ly2 1)2 (y 4)22 2 考虑函数f (y)

18、d ,由f (y) 0,得到唯一驻点y 2，于是抛物线y 2x上与(1,4)最近的点是(2,2)2、多元函数类似一元函数，n元函数f(X!,X2,Xn)的最值问题就是求 f(XX2, ,Xn)在某个区域DRn上的最大值和最小值，我们只需求出f(Xi,X2, ,Xn)在D内部的所有极值和边界上最值，从中比较就可以选出f(Xi,X2, , Xn)在D上的最值。例6.36求平面x 2y z 4与点(1,0, 2)的最短距离。解 设(x, y,z)是平面x 2y z 4上的点，贝U (x, y, z)与(1,0, 2)的距离是I2 2 2 . 1 2 .2 2d (x 1) y (z 2). (2 y

19、 1)(6 X y)考虑函数f(x,y) d ,由fx 0, fy 0,得到唯一驻点 (11/6,5/3)，于是平面x 2y z 4与点(1,0, 2)的最短距离是d(11/6,5/3)三、条件极值问题和 Lagra nge 乘子法前面我们研究的极值和最值问题都是直接给出一个目标函数n元函数 f(Xi,X2, ,Xn)，然后求其极值或最值，是无条件极值问题，但是，更多的极值和最值问 题是有约束条件的，即条件极值问题。一般来说，条件极值问题是指：求目标函数n元函数yf(Xi,X2, ,Xn)Gi(Xi, X2, Xn)0G2(X1 , X2, Xn)0在一组约束条件,(m n)下的极值。Gm(X

20、i,X2,Xn) 0我们可以尝试对上面方程组用消元法解出m个变量，从而转化为上一节的无条件极值问题来解决，但是，消元法往往比较困难甚至是不可能的，所以，我们需要给出一种新的方法来求条件极值。下面我们介绍拉格朗日乘子法。我们以二元函数为例来说明，即： 求目标函数z f (x, y)在一个约束条件F(x, y) 0限制下的极值问题。假设点Po(Xo, yo)为函数z f(x,y)在条件F(x, y) 0下的极值点，且 F(x,y) 0 满足隐函数存在定理的条件， 确定隐函数y g(x)，则x X0是一元函数z f (x,g(x)的 极值点。于是Ifx(X0,y) fy(x, y)g(X。)0由隐函

21、数存在定理得到fx(X0,y)Fy(X0, y) f y(x, y )Fx(x, y)0fy(x0,y)令 一，于是极值点P。(X0, y0)需要满足三个条件：Fy(x,y)fx(x,y)Fx(x,y) 0fy(x,y)Fy(X0，y) 0F(X0,y)0L(x, y, ) f(x, y)F(x, y)其中，称为拉格朗日乘子，则上面三个条件就是Lx(Xo，y。)fx(Xo，y。)Fx(Xo，yo)0Ly(x, y)fy(x, y)Fy(Xo, yo)0L (Xo,y) F(Xo,y)0用这种方法去求也就是说我们讨论的条件极值问题转化为拉格朗日函数的无条件极值问题。可能的极值点的方法，称为拉格朗

22、日乘子法。类似地，求目标函数 n元函数y f(xX2, ,xn)Gi(Xi,X2,Xn)0在一组约束条件G2(Xi,X2,Xn)0,(m n)下的极值时,我们可以构造相应的拉格朗Gm(Xi,X2,Xn)0日函数为L(Xi,X2,Xn ,1 ,2 ,7m)f (Xi,X2,Xn)miGi(Xi,X2, Xn)i 1于是，所求条件极值点满足方程组LximGiXiii iXimXnii 1LxnLiGi(Xi,X2,GiXn,xn )L m Gm(Xi,X2, xn )0例6.37横断面为半圆形的圆柱形的张口浴盆，其表面积等于S，问其尺寸怎样时，此盆有最大的容积？2 1 2 解设圆半径为r，高为h，

23、则表面积S (r rh)(r 0,h0)，容积V r2h 。2构造拉格朗日函数22 SL(r,h, ) r2h (r2 rh )(2r h) 0r 0解方程组Lr(Xo,y) 2rhLh(x,y) rrh2r得到ro由实际情况知道,23S，S3 这时 V0，27 3。V一定达到最大体积，因此，当ho2r0时，体积最大。习题6.71. 求函数zx3y33xy的极值。44222. 求函数zxyx 2xy y的极值。2 23 求椭圆4x y 4上与(1,0)最远的点4 求平面x y z 1与点(2,1, 1)的最短距离。25 求曲面z xy 1上与(0,0,0)最近的点6 .已知容积为V的开顶长方浴

24、盆，问其尺寸怎样时，此盆有最小的表面积？2 27求用平面Ax By Cz 0与椭圆柱面笃爲 1相交所成椭圆的面积。a b第八节导数在经济学中的应用一、导数的经济意义1边际函数定义6.4设函数yf(x)可导，则导函数 f (X)在经济学中称为边际函数。在经济学中，我们经常用到边际函数，例如：边际成本函数、边际收益函数、边际利润函数等等，它们都是表示一种经济变量相对于另一种经济变量的变化率问题，都反映了导数在经济学中的应用。成本函数C(x)表示生产x个单位某种产品时的总成本。平均成本函数c(x)表示生产x个单位某种产品时，平均每个单位的成本，即c(x)。边际成本函数是成本函数 C(x)x相对于x的

25、变化率，即C(x)的导函数c(x)。由微分近似计算公式我们知道C(x) C(x x) C(x) dC(x) C(x) x令x 1，我们有C(x) C(x 1) C(x)，也就是说，边际成本函数C(x)可以近似表示 已经生产x个单位产品后再生产一个产品所需要的成本。在生产中，我们当然希望平均成本函数c(x)取得极小值，这时，我们可以得到c(x) 0即c(x) xC(x)2C(x)0x则xC(x) C(x) 0，于是我们得到C(x) c(x)。因此，平均成本函数 c(x)取得极小值 时，边际成本函数和平均成本函数相等。这在经济学中是一个重要原则，就是说在生产中，当边际成本函数低于平均成本函数时，我

26、们应该提高产量，以降低平均成本；当边际成本函数高于平均成本函数时，我们应该减少产量，以降低平均成本。2例6.38设某种产品生产 x个单位时的成本为 C(x) 250 2x 0.1x。求(1) 当生产产品100单位时的边际成本和平均成本；(2) 当生产产品数量为多少时平均成本最低。解(1)边际成本函数和平均成本函数为C(x)20.2xc(x)2 0.1xx x于是，c(100)22,c(100)14.5(2)平均成本函数 c(x)取得极小值时，边际成本函数和平均成本函数相等，即C (x) c(x)25020.2x20.1xxx 50因此，当生产产品数量为50时平均成本最低。类似边际成本函数我们可

27、以讨论其它边际函数。需求函数p(x)表示销售x单位某种产品时的单个产品的价格。那么，p(x)是x的单调减少函数。收益函数是 R(x) xp(x)，边际收益函数是 r(x)。利润函数是P(x) R(x) C(x)边际利润函数是P(x)。当利润函数取极大值时，P(x) R(x) C(x) 0,于是，R(x) C(x)，也就是说取得最大利润的必要条件是边际利润等于边际成本。为了保证取得最大利润还需要下面条件P(x) R(x) C(x) 0即R(x) C(x)。所以，当R(x) C(x)且R(x) C(x)时取得最大利润。例6.39设某种产品生产 x个单位时的成本为 C(x) 27 1.28x 0.0

28、1x2 0.0003x3，需求函数p(x) 10.280.01x。当生产产品数量要达到多大时可以取得最大利润？解收益函数是R(x) xp(x) 10.28x 0.01x2由 R(x) C(x)得到210.280.02x1.28 0.02x 0.0009x我们得到x 100。容易验证对任意 x 0有R(x) C(x)。所以，当生产产品数量达到100单位水平可以取得最大利润。2 .弹性在经济学中我们常常用到弹性的概念,弹性也是一种变化率问题，与导数概念密切相关。_y定义6.5设函数y f(x)在点xo可导，则称 匹为函数y f(x)在点xo与x xxXo_y两点间的弹性；称 里在x0时的极限为函数

29、 y f(x)在点Xo的弹性，记为xXoxxo 或 ixf(xo)如果yEyEXxxoy.yolim -X o xXoXof (Xo)f (Xo)f (x)在x (a,b)可导，相应地，我们可以给出(a,b)上弹性函数的定义f(x)EyEx当X很小时，我们有近似计算公式yyoEyEXxxoxXo也就是说，函数的弹性是函数的相对改变量与自变量相对改变量之比，上式表示当X从Xo产生1oo的改变时，y f (x)改变f (xo)ooEx需求函数Qf (p)表示在价格为p时，产品的需求量为 Q。需求函数Q f (p)是单调减少函数，Qf (p)的反函数也称为需求函数，就是我们前面提到的需求函数p(x)

30、。需求函数Qf (p)对价格p的导数称为边际需求函数。需求函数Q f (p)的弹性为Efpp f (p)Ep f(p)由于q f (p)是单调减少函数，因此Ep收益函数R(p) pQ pf (p)，于是R(p) f(p) pf(p)f(p)1Eff (p)f(p)1 f(p)Ep令Ed若EdEfEp，我们有1 ,则需求变动幅度小于价格变动幅度,称为低弹性，这时，R (p)0，R(p)是单调增加函数。也就是说当价格上涨时收益增加,当价格下跌时收益减少。若Ed 1，则需求变动幅度大于价格变动幅度,称为高弹性，这时，R (p)0，R(p)是单调减少函数。也就是说当价格上涨时收益减少,当价格下跌时收益

31、增加。若Ed 1，则需求变动幅度和价格变动幅度相同,称为单位弹性，这时,R (p)0。也就是说当价格改变时，收益没有变化。类似上面对需求弹性的研究，我们也可以讨论供给弹性。供给函数Q(p)是指商品生产商的供给量 Q与价格p之间的关系函数。Q (p)是单调增加函数。边际供给函数是Q (p)对价格p的导数，供给弹性函数是例6.40设某种产品的需求函数为(1)求需求函数Q的弹性EQE?；EEpp(p)(p)Q 100 5p，其中价格 p (0,20)。(2)用需求弹性说明价格在什么范围变化时，降低价格反而使收益增加。(1 )需求函数Q的弹性EQEpPp 20(2)容易得到当10 p 20时，EdEQ

32、Ep1,这时，r(p)0,当价格下跌时收益增加。、其它应用举例导数在经济学中有很多应用，下面举一些例题说明。首先，我们考虑连续复利率问题。假设初始资金为Ao，如果年利率为r，那么，t年后资金为A(t)Ao(1J。通常情况下是一年多次计息，假设一年n次计息，那么A(t)Ao(1 -)ntn我们这里是连续复利率计算问题，令n 得到r ntr n；A(t) lim Ao(1 -)ntAlim(1 ) ； Aennnn于是，我们得到连续复利率计算公式A(t)Aoe。例6.41某企业酿造了一批好酒，如果现在就出售，总收入为Ro，如果贮藏起来，t年后出售，收入为 R(t)Re。如果银行年利率为r，并且以连

33、续复利率计算，问贮藏多少年后出售可以使收入的现值最大。解由连续复利率计算公式,t年后的总收入R(t)的现值X(t)为X(t)R(t)ert2 trt由 x(t)0得，t亠(年)。故贮藏年出售，总收入的现值最大。25r225r2下面，我们再举一个其它应用题。例6.42某企业生产某型号仪器，年产量A台，分几批生产，每批生产准备费为B元,假设产品均匀投入市场，且上一批用完后立即生产下一批，平均库存量为批量的一半。设每年一台仪器的库存费为C元。问如何选择批量，使一年中库存费与准备费之和最小。XAA解设批量为X台，则库存费为C，每年生产的批数为，生产准备费为B，于2xx是总费用为f(x)ABx令f (x

34、)0 ,得到x因此，批量为x一年中库存费与准备费之和最小。多元函数的偏导数在经济学中也有非常广泛的应用。n元函数y f(xi,X2, ,Xn)的偏导数 f(Xi,X2 ,Xn)(i 1,2, ,n)称为对Xi的边际函数。我们可以类似一元函数引xi入边际成本函数、边际收益函数、边际利润函数等等。我们还可以类似一元函数引入函数的 偏弹性概念。这里不再一一详细叙述。下面我们举几个多元函数应用题。例6.43假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是Pi 18 2Qi, P212 Q2其中Pi和P2为售价，Qi和Q2为销售量。总成本函数为C 2(Qi Q2) 5(1 )如果

35、该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企 业获得最大利润；(2)如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和统一的价格，使该企业总利润最大化；并比较两种策略下的总利润大小。解（1）总利润函数是PlQ1P2Q22(Q1Q2 ) 52 22Qi Q2 I6Q1 IOQ254Q11602Q2 100PP0!得 Q14,Q25，这时 P110,P27。因为这是一个实际问题，一定存在最大值，且驻点唯一，因此当P110, P27 时，取得最大利润P 2Q12Q；16Q110Q25 Q14521212Q25（3） 若实行价格无差别策略，则P1 P2，即有约束条件

36、2Q1 Q26构造拉格朗日函数2 2L（Q1,Q2, ）2Q1 Q2 16Q1 10Q2 5（2Q1由Q26)丄Q1LQZL4Q116202Q2 1002Q1 Q260得 Q1 5,Q24,2，这时 P1 P2 8。最大利润P2Qi2 Q； 16Qi IOQ2 5 49因此，企业实行价格差别策略所得利润要大于实行价格无差别策略的利润。例6.44假设某企业通过电视和报纸作广告，已知销售收入为2 2R（x, y） 15 14x 32y 8xy 2x 10y其中x （万元）和y （万元）为电视广告费和报纸广告费。（1 ）在广告费用不限的情况下求最佳广告策略；（2）如果广告费用限制为 1.5 （万元）

37、，求相应广告策略。解（1 ）利润函数为2 2P R （x y） 15 13x 31 y 8xy 2x 10y由P13 8y 4x 0xP31 8x 20 y 0y得到唯一驻点x 1.5,y1。这时最大利润为P（1.5,1）41 （万元）（2）构造拉格朗日函数为2 2L（x, y, ）1513x31y 8xy 2x 10y （x y 1.5）13 8y 4x31 8x 20yx y 1.5得到唯一驻点x 0, y 1.5。这时最大利润为P(0,1.5)39 (万元)习题6.821 设某种产品生产 x个单位时的成本为 C(x) 40000300x X。求(1) 当生产产品1000单位时的边际成本和

38、平均成本；(2) 当生产产品数量为多少时平均成本最低。2 设某种产品生产x个单位时的成本为 C(x) 145036x x20.001x3，需求函数p(x) 600.01x。当生产产品数量要达到多大时可以取得最大利润？p3 设某种产品的需求函数为 Q e忘，求p 6时的需求弹性；4 设某种产品的需求函数为 Q 100 2p讨论其弹性的变化。5。某产品的总收益函数和成本函数分别是2 2R(x) 30x x2,C(x) x2 2x 1厂商追求最大利润，政府对产品征税，求：(1) 求产品产量和价格为多少时，厂商能取得税前最大利润；(2) 征税收益的最大值及此时的税率；(3) 厂商纳税后的最大利润。6

39、假设某厂家在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是Q1240.2p1 ,Q210 p2其中Pl和P2为售价，Qi和Q2为销售量。总成本函数为C 40(Q1 Q2) 35试确定两个市场上该产品的销售价格，使该企业获得最大利润。第九节曲率所谓曲率就是用来描述曲线的弯曲程度的.线有直线和非直线，如果一个人沿着直线行走，他不需要转动方向； 但如果他沿着一条非直线行走时，他在每一点行进的方向是曲线的切线方向.因而他在每一点行进的方向大多是不一样的.人移动时，他要转动方向.当曲线的弯曲程度大一点时， 人走相同的距离目光的转向要大一点.在直线上转向是没有的.因而我们就用曲线上单位距离切线方向(即目光方向)的转动角度来刻画曲线的弯曲程度.设光滑曲线方程为y f x , x a,b ,x1,x2 a,b ,P-fx1, fx1,P2x2, f