2017-2018学年人教B版选修1-2合情推理学案

1、高中数学 第二章 推理与证明2.1.1合情推理课堂探究新人教B版选修1-2探究一归纳推理归纳推理是发现新事物的推理方法，归纳的方法是获得数学结论的一条重要途径，运用不完全归纳推理，通过观察、试验、从特例中归纳出一般结论，哥德巴赫猜想就是典型归纳推理的应用，它能在某种程度上推动数学的发展.【典型例题1】 已知数列an满足an+i= an-an i( n2), ai = a, a2=b,设S=ai + & + an,则下列结论正确的是()A.a1oo= a,Sioo= 2b aB.a1oo= b,Soo=2baC.a1oo= 一 b,S00 =b ad.a100= a,Sioo= b a解析：-

2、a1 = a, a2=b, a3=b a, a4=a3 a2= a, a5 = a4一a3= b, a6=a5 a4 = a b, a7=a, a8 = b,可得数列具有周期性，每连续 6项为一个周期.1. a1oo= a4= a, Soo= &=2b a.答案：A点评 解答选择题时，根据题干提供的条件， 用演绎推理或计算很难确定选项时， 我们 可以通过考查符合条件的某个 (或某些)特殊情形，并归纳猜想出一般性结论的选项， 从而否 定另一些结论的选项，轻松确定正确选项.探究二类比推理进行类比推理，关键是明确出两类事物在某些方面的类似特征，类比推理也是获得数学结论的一条重要途径，尤其在学习过程中

3、，学习新知识，要充分联系以前学过的旧知识，具有共性的知识是一脉相承的，这其实就是类比推理在实践中的运用.【典型例题2】 已知椭圆具有性质：若 M N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线 PM PN的斜率都存在，并记为 kPM, kPN时，那么kP内kPN之积是 与点P的位置无关的定值.试对双曲线 x2-y2=1写出具有类似特性的性质，并加以证明.a b思路分析：充分运用类比推理可知在双曲线中kPM- kPN为定值，然后利用解析法证明即可. 22解：类似的性质为：若 M, N是双曲线x2七=1上关于原点对称的两个点，点Pi是双a b曲线上任意一点，当直线PiM, PN1的

4、斜率都存在，并记为kRM, kRN时，那么kPM与kPN 之积是与点Pi的位置无关的定值.设点 M, Pi 的坐标为(mi n), (x, y),则 N( m n).因为点M( m n)在已知的双曲线上，所以 n=2m-b2.x2- m2 b22m2=02（ 7E 值）.同理，y2=，2_ b2.y n y + n y2 n2 b2则 kPiM , kPNi = x- = -22=2点评 在学习双曲线这节内容时，要注意与椭圆的知识进行类比，以便找出它们之间的 共性.探究三推理的综合应用合情推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某

5、些结果的推理过程，归纳、类比是合情推理常用的思维方法.在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养.当然对于结论正确与否，要进行严格证明才行.【典型例题3】 有一个雪花曲线序列，如图:5其产生规则是：将正三角形P0的每一边三等分，并以中间的那一条线段为一底边向外作等边三角形，再擦去中间的那条线段，便得到第1条雪花曲线Pi；再将R的每条边三等分，按照上述规则，便得到第2条雪花曲线F2;；把Pn1的每条边三等分，按照上述规则，便得到第n条雪花曲线 R(n= 1,2,3,4，).(1)设R的周长为L。，求R的周长；(2)设R的面积为S。，求Pn的面积.4

6、解：(1)雪花曲线序列中，前后两条曲线之间的基本关系如下图所示，易得Ln=-Ln 1,3nC N+,4所以 Ln=-Ln 1 =3(2)由雪花曲线的构造规则比较R和P,易得R是R在每条边增加了一个小等边三角形, SSoSo其面积为了，而P。有3条边，故有 S = So + 3 - -2=So+-.333再比较P2与R,可知P2是R在每条边上增加了一个小等边三角形，其面积为J 30，而R有3X4条边，故有 S = S + 3X4XSo8 4s34=8+百 十丁 2So类似地，有 Ss=& + 3X4 X 36So 4So 42So =& +m+ 可 十年，一So 4So 42So故可猜想 Sn=

7、 Sj+ + -T3-433354394n 1So卜丁 +钎=S0 +4n90-S0 = 1-9探究四易错辨析易错点:在进行类比推理时，由于类比的相似性少或被一些表面现象所迷惑从而导致类比结论的错误.解决此类问题的关键是先充分认识两个系统的相同（或相似）之处，充分考虑其中的本质联系，再进行类比.平囿空间三角形的面积等于任边的长度与该边上 1局的乘积的2三棱锥的体积等于任一底面的面积与该底面 , 1上高的乘积的3三角形的面积等于其内切圆半径与三角形周，一一 ，1长乘积的2【典型例题4】请用类比推理完成下表:错解一：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥各棱长之和的乘积的13错解二：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥各面面积之和的乘积的12.错因分析：错解一 “三角形周长”的类比错误，错解二i一”2的类比错误.三角形的周13.我们可以从不长“a+b+c”应类比为三棱