等差数列常考题型归纳总结很全面

1、.等差数列及其前n 项和教学目标：1、熟练掌握等差数列定义；通项公式；中项；前n 项和；性质。2、能熟练的使用公式求等差数列的基本量，证明数列是等差数列，解决与等差数列有关的简单问题。知识回顾：1定义：一般地，如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。用递推公式表示为 anan 1d(n2) 或 an 1and (n1) 。（证明数列是等差数列的关键）2通项公式：等差数列的通项为： ana1 (n1) d ，当 d0 时， an 是关于 n 的一次式，它的图象是一条直线上自然数的点的集合。推广：

2、an am(nm) d3中项：如果 a ， A ， b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项；其中 Aab 。24等差数列的前 n 项和公式Snn(a1an )na1n( n 1) d 可以整理成 Sn d n2 ( a1d )n 。当 d0时是 n 的一个常数2222项为 0 的二次函数。5等差数列项的性质（1）在等差数列 an中，若 m ， n ， p ， qN且 m np q ，则 am an apaq ；特别的，若 m ， p ， qN 且 2mpq ，则2ama paq 。（2）已知数列nn为等差数列，nnanS2n1a , bS , T为其前 n 项和，则T2nbn1

3、（3）若等差数列的前 n 项和为 Sn ，则 Sn , S2 nSn , S3nS2n ,也成等差数列，公差 d n2 d ；anS1, (n 1)SnSn 1 , (n2) ；（4）（5）若数列 an 是公差为 d 的等差数列，则数列Sn也是等差数列，且公差为 _。n .考点分析考点一：等差数列基本量计算例 1、等差数列 an 中， a13a8a15 120 ，则 3a9 a11 的值为练习（1）设 Sn 是等差数列 an的前 n 项和已知 a2 3， a6 11，则 S7 等于A13B35C49D63（2）数列 an为等差数列，且 a72a41 ， a3 0 ，则公差 d11A2B2C 2

4、D2（3）在等差数列an 中，已知 a32 ，则该数列的前 5 项之和为A10B16C20D32（ ）若等差数列an的前5项和S5 ，且 a2 ，则a7 等于()4253A12B13C14D151（5）记等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，若 a1 2，S420，则 S6 等于 ()A16B24C36D48（6） an的前n 项和为 Sn ，若 a12 ，S3 12，则 a6 等于 ()A 8B10C12D14考点二：等差数列性质应用例 1、等差数列 an 中， 3( a3a5 )2(a7a10a13) 24，则该数列前13 项的和是 ()A13B26C52D156练习1、在等差数列an

5、中， a1a910 ，则 a5 的值为A 5B6C8D642、在等差数列 an 中, a12, a3a5 10 ，则 a7（）A 5B8C 10D14、设数列n 是等差数列，若 a3 a4a5 12，则 a1 a2 a7 等于 ()3 a .A14B21C28D35例 2、设等差数列 an的前n项和为SnS3S6 36，则a7a8a9等于()，若9，A63B45C36D27练习、已知等差数列an的前 n 项和为 Sn ，且 S10，S20，则 S30_.1030S2 014S2 008例 3、已知 Sn 是等差数列 an 的前 n 项和，若 a1 2 014 ，2 014 2 008 6，则

6、S2 016 _.练习、已知等差数列S3S2an的公差是an 的前 n 项和为 S，n且满足 ，则数列()(1)3211A. 2B1C 2D 3例 4、设 Sn ,Tn 分别是等差数列 an 、 bn 的前 n 项和，Sn7n2，则a5。Tnn3b5例 5、已知等差数列 an 的公差为 2，项数是偶数，所有奇数项之和为 15，所有偶数项之和为 25，则这个数列的项数为 _。练习 1、若一个等差数列前3 项的和为 34，最后 3 项的和为 146，且所有项的和为390，则这个数列有（）A13 项B12 项C11 项D10 项2、等差数列 an的公差 d2 ， a1a4a7a9750 ，那么 a3

7、a6 a9a99 =A78B82C 148D 182考点三：等差数列的证明例 1：在数列 an 中， a11， an 111 ， bn2，其中 nN * .4an2an1（1）求证：数列 bn 是等差数列；（2）求证：在数列 an 中对于任意的 nN * ，都有 anan 1练习 1、数列 an 满足 a11， a22， an 22an 1an2 。 .（1）设 bnan 1an ，证明 bn 是等差数列；（2）求数列an 的通项公式。、已知数列an31n ， n*，数列bn满足 bn 1n*中， a1 ，an (N)(N )2522a 1a 1nn求证：数列 bn 是等差数列；3、数列 an

8、 满足： a12 ， an 12an ， n N 。求证：1 是等差数列；an 2an小结与拓展：（1）定义法： an 1and （ nN ， d 是常数）an是等差数列；（2）中项法： 2an 1anan 2 ( nN )an 是等差数列；（3）通项公式法： anknb （ k , b 是常数）an 是等差数列；（4）前 n 项和法： Sn kn 2 bn （ k, b 是常数）an 是等差数列考点四：等差数列前n 项和的最值（1） a10 ， d0 时， Sn 有最大值； a10 ， d0 时， Sn 有最小值； .（2） Sn 最值的求法：若已知 Sn ，可用二次函数最值的求法（ n N

9、 ）；找到正负项分界的是第几项。例 1、数列 an 中， an2n49 ，当数列 an 的前 n 项和 Sn 取得最大值时， n练习 1、设等差数列an的前 n 项和为 Sn ，若 a111， a4a66 ，则当 Sn 取最小值时n 等于 ()A 6B 7C8D92、若等差数列 an满足 a7 a8a9 0， a8 a90 ，则当 n_时 an 的前 n 项和最大。例 2、在等差数列 an 中， a17 ，公差为 d，前 n 项和为 Sn ，当且仅当 n 8 时， Sn 取得最大值，则 d 的取值范围为 _。例 3、等差数列 an中， a1 0，前 n 项和为 Sn ，且仅当 S5S12 ,则

10、当 n时， Sn 取最大值。练习 1、设数列 an是等差数列，且 a28 ， a155 ， Sn 是数列 an的前 n 项和，则（ ）A S10S11B S10S11C S9S10D S9S102设 an ( nN ) 是等差数列， Sn 是其前 n 项的和，且 S5S6,S6S7S8 则下列结论错误的是（）A d0B. a70C S9S5DS6 与 S7 均为 Sn 的最大值考点五：等差数列和项转换 ana1( n1)SnSn1 (n 2)例 1、已知数列 an 的前 n 项和为 Snn21n ，求 an 。2练习 1、已知数列an 的前 n 项和为 Snn22 ，求 an 。 .2、设数列

11、 an 的前 n 项和 Snn2 ，则 a8 的值为（）A15B16C49D64习题 15.21、在等差数列an 中，（ 1）已知 a12, d3, n10, 求 an ；（ 2）已知 a13, an21, d2,求 n ；（ 3）已知 a112, a627, 求 d ；（ 4）已知 d1 ,a7 8,求 a1 。32、在等差数列 an 中，（1）已知 S848, S12168 ，求 a1, 和 d（2）已知 a610, S55 ，求 a8 和 S8（3）a120,an54,Sn599, 求d及 ；n（4） d1 , n37, Sn629, 求 a1及 an ；3（5） a15 , d1 , Sn5, 求 n及 an ；66（6） d2,n15, an10, 求a1及 Sn 。3、等差数列 an 的前 n项和记为 Sn ，已知 a10 30, a20 50 。（1）求通项公式 an ；（2）若 Sn242 ，求 n 。 .4、设 Sn 为等差数列 an 的前 n 项和，若 S33，S624 ，则 a95、等差数列 an 的前 n 项和 Sn ，若 a12, S312 ，则 a6 ()A 8B10C12D146、已知道单调递增的等差数列an 的前