第四章：扭转

1、第四章：扭第四章：扭 转转材力篇之扭转材力篇之扭转余余 辉辉 材力篇之扭转材力篇之扭转一、静矩与形心一、静矩与形心dzASy A1.截面图形对截面图形对z轴的静矩：轴的静矩：dyASz A截面图形对截面图形对y轴的静矩：轴的静矩：yzOdACACzCyzy说说明明截面图形的静矩是对某轴而言的截面图形的静矩是对某轴而言的,轴不同，静矩就不同轴不同，静矩就不同 ； 静矩可正，可负，也可能等于零；静矩可正，可负，也可能等于零； 静矩的单位静矩的单位m3。6-2 截面的几何性质截面的几何性质静矩：即面积（对轴）矩静矩：即面积（对轴）矩（与力对轴与力对轴之矩类似），是面积与其坐标之积。之矩类似），是面积

2、与其坐标之积。材力篇之扭转材力篇之扭转yzOdACAzyCzCydAzCy ASyAAdyACz ASzAA2.截面图形的形心截面图形的形心 yCSAz,zCSAy说说明明 若某坐标轴通过截面形心，则截面图形对该轴若某坐标轴通过截面形心，则截面图形对该轴 的静矩必为零的静矩必为零 ； 若截面图形对某坐标轴的静矩为零，则该坐标若截面图形对某坐标轴的静矩为零，则该坐标 轴必通过截面图形的形心轴必通过截面图形的形心;截面图形对形心轴的静矩等于零。截面图形对形心轴的静矩等于零。材力篇之扭转材力篇之扭转例例6-1 矩形截面如图所示，试求阴影部分面积对矩形截面如图所示，试求阴影部分面积对z轴、轴、y轴的静

3、矩，图中轴的静矩，图中b、h为已知。为已知。4hAb解解:( (1) )计算静矩计算静矩Sz 13244Chhhy12334416zChhbhSAyb( (2) ) 计算静矩计算静矩Sy y轴通过阴影部分图形面积的形心轴通过阴影部分图形面积的形心C10yS y1C2h2hC4h4hzb材力篇之扭转材力篇之扭转3.组合截面图形的静矩组合截面图形的静矩1nziCiiSA y1nyiCiiSAz 组合截面图形对某轴的静矩就等于其各组成部分组合截面图形对某轴的静矩就等于其各组成部分图形对同一轴静矩的代数和。图形对同一轴静矩的代数和。 其中其中Ai为其中第为其中第i个组成部分图形的面积；个组成部分图形的

4、面积；为其中第为其中第i个组成部分图形的形心坐标。个组成部分图形的形心坐标。,CiCizy 由几个简单图形组成的截面称为组合截面。由几个简单图形组成的截面称为组合截面。材力篇之扭转材力篇之扭转例例6-2某梁的截面图形如图所示，试求其对图示某梁的截面图形如图所示，试求其对图示坐标轴的静矩（图中单位尺寸为坐标轴的静矩（图中单位尺寸为mm）。）。( (2) ) 计算静矩计算静矩Sz 此截面可以看作由两个矩形此截面可以看作由两个矩形1、2组成组成0yS 5050201401220zOy3343100 20 150m140 20 70m4.96 10m解：解：( (1) ) 计算静矩计算静矩Sy y轴为

5、对称轴轴为对称轴 1212zCCSA yA y材力篇之扭转材力篇之扭转yzO二、惯性矩、极惯性矩、惯性积与惯性半径二、惯性矩、极惯性矩、惯性积与惯性半径zdAy1. 惯性矩惯性矩 （与转动惯量类似）（与转动惯量类似） 是面积与它到轴的距离的平方之积。是面积与它到轴的距离的平方之积。 2dzAIyA截面图形对截面图形对y轴惯性矩轴惯性矩 2dyAIzA截面图形对截面图形对z轴惯性矩轴惯性矩 2. 极惯性矩极惯性矩是面积与它到坐标原点距离的平方之积。是面积与它到坐标原点距离的平方之积。 2PdAIA说说明明 截面图形的惯性矩是对某轴而言的，轴截面图形的惯性矩是对某轴而言的，轴 不同，惯性矩就不同不

6、同，惯性矩就不同 ； 惯性矩值恒为正惯性矩值恒为正 ； 惯性矩单位为惯性矩单位为m4 。显然有显然有zyPIII材力篇之扭转材力篇之扭转4. 惯性半径惯性半径（与回转半径类似）（与回转半径类似）zzIiAyyIiA2zzIAi2yyIAi3. 惯性积惯性积是面积与其两坐标乘积之积。是面积与其两坐标乘积之积。 AyzAyzId 惯性积的性质惯性积的性质如果如果 y或或 z轴是图形的对称轴，则轴是图形的对称轴，则Iyz =0。材力篇之扭转材力篇之扭转yzhCb例例6-3 试计算图示矩形截面对其对称轴试计算图示矩形截面对其对称轴z轴和轴和y轴轴的惯性矩。的惯性矩。dyy解解:( (1) )计算计算I

7、z 22232112hzAhIy dAby dybhddAb y取平行于取平行于z轴、高度为轴、高度为dy的狭长矩形的狭长矩形为微元面积为微元面积dA 3112yIhb( (2) )计算计算Iy 同样的方法同样的方法 材力篇之扭转材力篇之扭转例例6-4 计算图示圆形截面对其形心轴的惯性矩。计算图示圆形截面对其形心轴的惯性矩。 解解:圆形截面对圆心的极惯性矩圆形截面对圆心的极惯性矩 由于圆形是中心对称图形，且由于圆形是中心对称图形，且yzCd4P132Id4P11264zyIIIdPzyIII则则材力篇之扭转材力篇之扭转yzCdD例例6-5计算图示圆环形截面对其形心轴的惯性矩。计算图示圆环形截面

8、对其形心轴的惯性矩。 44P132IDd44P11264zyIIID解解:圆环形截面对圆心的极惯性矩圆环形截面对圆心的极惯性矩 由于圆环形是中心对称图形，且由于圆环形是中心对称图形，且PzyIII则则其中其中 为圆环的内外径比。为圆环的内外径比。d D材力篇之扭转材力篇之扭转三、惯性矩平行移轴公式三、惯性矩平行移轴公式 yadAOCzbyzCyCzCyCz 2CzCAIy dA2zAIy dA,Cyya2222zCCCAAAAIyadAydAay dAadA22CCzzIaSa A材力篇之扭转材力篇之扭转22CCzzzIIaSa A0CzS2CzzIIa A2CyyIIb A惯性矩的平行移轴公

9、式惯性矩的平行移轴公式 abAIIcczyyz惯性积的平行移轴公式惯性积的平行移轴公式 材力篇之扭转材力篇之扭转例例6-6计算图示计算图示T字形截面对其形心轴字形截面对其形心轴zC的惯性矩的惯性矩 。 CzI该截面图形可视为由矩形该截面图形可视为由矩形1、2组合而成组合而成解解:( (1) )确定形心确定形心C位置位置 截面关于截面关于y轴对称，所以形心轴对称，所以形心C必在对称轴必在对称轴y轴上，故只需求出轴上，故只需求出形心的形心的y坐标即可。坐标即可。11221210020 15014020 701002014020103.33mmCCCA yA yyAA1Cz1C2Cz2CCzC505

10、0201401220zOyCy材力篇之扭转材力篇之扭2010m126.67 10 mCzI1(1)211284124646.67 10 m150 103.33100 20 10m4.423 10 mCCzzIIa A ( (2) )分别计算矩形分别计算矩形1、2对对zC轴的惯性矩轴的惯性矩2312464120 14010m4.57 10 m12CzI2(2)222264124644.57 10 m70 103.33140 20 10m6.586 10 mCCzzIIa A1Cz1C2Cz2CCzC5050201401220zOyCy材力篇之扭转材力篇之扭转 ( (3)

11、 ) 计算整个图形对计算整个图形对zC轴的惯性矩轴的惯性矩 126464644.423 10 m6.586 10 m11.009 10 mCzzCCzIII材力篇之扭转材力篇之扭转工程实际中，有很多承受扭转的构件，例如：工程实际中，有很多承受扭转的构件，例如：以横截面绕轴线作相对转动为主要特征的变形。以横截面绕轴线作相对转动为主要特征的变形。扭转变形扭转变形:4-1 引引 言言材力篇之扭转材力篇之扭转扭转变形的特点：扭转变形的特点： 受力特点：受力特点： 变形特点：变形特点：圆杆受到一对大小相等、转向相反、圆杆受到一对大小相等、转向相反、作用面垂直于杆的轴线的外力偶作用作用面垂直于杆的轴线的外

12、力偶作用圆杆各横截面绕杆的轴线作相对转动圆杆各横截面绕杆的轴线作相对转动实际构件工作时除发生扭转变形外，还常伴随有弯实际构件工作时除发生扭转变形外，还常伴随有弯曲、拉压等其他变形。以扭转变形为主的杆件称为曲、拉压等其他变形。以扭转变形为主的杆件称为轴轴eMeM材力篇之扭转材力篇之扭转一、传动轴的外力偶矩的计算一、传动轴的外力偶矩的计算 已知：传动轴的转速已知：传动轴的转速n ，所传递的功率所传递的功率P (kW) ；则；则eeM ddWPMdtdt kWeN mr min9549PMn 外力偶矩为：外力偶矩为： 电机每秒输入功：电机每秒输入功：310WP外力偶每秒作功外力偶每秒作功：602nM

13、We4-2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图材力篇之扭转材力篇之扭转主动轮上的外力偶矩转向与传动轴的转向相同，主动轮上的外力偶矩转向与传动轴的转向相同，从动轮上的外力偶矩转向与传动轴的转向相反。从动轮上的外力偶矩转向与传动轴的转向相反。Me1 Me2 Me3 n从动轮主动轮从动轮材力篇之扭转材力篇之扭转二、扭矩与扭矩图二、扭矩与扭矩图 圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩，用圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩，用符号符号T表示。表示。求法：截面法求法：截面法eMeMeMeM0 xMe0TMeTM得：得：取左端，由于矩平衡取左端，由于矩平衡符号：用右手螺旋法则用矢量表示

14、扭矩，若矢量方向与符号：用右手螺旋法则用矢量表示扭矩，若矢量方向与横截面外法线方向一致时扭矩为正，反之扭矩为负。横截面外法线方向一致时扭矩为正，反之扭矩为负。扭矩图扭矩图横截面上扭矩沿杆轴线变化规律情况的图线横截面上扭矩沿杆轴线变化规律情况的图线材力篇之扭转材力篇之扭转解：（解：（1）计算外力偶矩）计算外力偶矩例例4-1 图示传动轴，转速图示传动轴，转速 ，主动轮，主动轮A输输入功率入功率 ，从动轮，从动轮B 与与C ，输出功率分别为，输出功率分别为 、 。试作轴的扭矩图。试作轴的扭矩图。500 /minnr10kWAP 6kWBP 4kWCP ABCeBMeAMeCMeBMeAMeCMeBM

15、1TeCM2TT/Nm76.4114.6xe9549191.0N mAAPMne76.4N mBMe114.6N mCM（2）分段计算扭矩）分段计算扭矩1e0BTM2114.6N mT2e0CTM176.4N m T（3）画扭矩图）画扭矩图材力篇之扭转材力篇之扭转解：（解：（1）计算外力偶矩）计算外力偶矩例例4-2 所示，钻探机的输入功率所示，钻探机的输入功率 ，转速，转速 ，钻杆钻入土层的深度，钻杆钻入土层的深度 。如土壤。如土壤对钻杆的阻力是均匀分布的力偶，试作钻杆的扭矩图。对钻杆的阻力是均匀分布的力偶，试作钻杆的扭矩图。12kWP 180r minn 50ml x636.6T /NmeM

16、lemem( )T xxe9549636.6N mPMn（2）计算分布力偶矩集度）计算分布力偶矩集度ee636.6N m m12.7N m m50Mml（3）作扭矩图）作扭矩图 eT xm x 扭矩扭矩 T 与与 x 为线性关系为线性关系材力篇之扭转材力篇之扭转一、薄壁圆筒的扭转切应力一、薄壁圆筒的扭转切应力 薄壁圆筒薄壁圆筒通常指通常指 的空心圆轴的空心圆轴110R（1）圆周线的形状、大小不变；圆周线的形状、大小不变；两相邻圆周线的距离不变，只是两相邻圆周线的距离不变，只是发生相对转动。发生相对转动。（2）各纵向线仍都倾斜了相同各纵向线仍都倾斜了相同角度角度 ；由纵向线和周向线构成；由纵向线

17、和周向线构成的矩形变成了平行四边形。的矩形变成了平行四边形。1、变形现象观察：、变形现象观察：Dt20/ tD4-3 扭转圆轴横截面上的应力扭转圆轴横截面上的应力材力篇之扭转材力篇之扭转2、变形现象分析推断：、变形现象分析推断：（1 1）由两相邻圆周线的距离不变，说明横截面上）由两相邻圆周线的距离不变，说明横截面上无正应力，只有切应力。无正应力，只有切应力。（3 3）因壁很薄，近似认为筒内与筒表面的变形相同，）因壁很薄，近似认为筒内与筒表面的变形相同，即切应力沿壁厚方向均匀分布。即切应力沿壁厚方向均匀分布。（2 2）各纵向线仍互相平行，但都倾斜了相同角度）各纵向线仍互相平行，但都倾斜了相同角度

18、 ，说明沿圆周上各点的切应力相同；说明沿圆周上各点的切应力相同；材力篇之扭转材力篇之扭转3、薄壁圆筒横截面上切应力的计算公式：、薄壁圆筒横截面上切应力的计算公式：AdAR = T由静力学条件由静力学条件: :因薄壁圆环因薄壁圆环, ,横截面上各点处的切应力相等横截面上各点处的切应力相等T 0 xM eMT得：得：e2222MTRR2ARTARR材力篇之扭转材力篇之扭转二、切应力互等定理二、切应力互等定理取单元体如图取单元体如图由于微体处于平衡状态，则由于微体处于平衡状态，则ddddyxxy 纯剪切纯剪切单元体上只有切应力，而无正应力单元体上只有切应力，而无正应力。切应力互等定理切应力互等定理在

19、单元体两个互相垂直的平面上，在单元体两个互相垂直的平面上，切应力必然成对出现，其大小相等；方向垂直于两平切应力必然成对出现，其大小相等；方向垂直于两平面的交线，共同指向或背离此交线。面的交线，共同指向或背离此交线。 材力篇之扭转材力篇之扭转三、切应变与剪切胡克定律三、切应变与剪切胡克定律切应变切应变 直角的改变量又称角应变直角的改变量又称角应变Rl当切应力不超过材料的剪切比例极当切应力不超过材料的剪切比例极限，切应力与切应变成正比，即：限，切应力与切应变成正比，即：Gu 剪切胡克定律：剪切胡克定律：对各向同性材料，对各向同性材料，E, , G 之间关系：之间关系：)1 (2EGG 剪变模量剪变

20、模量 材力篇之扭转材力篇之扭转圆周线圆周线形状、大小、形状、大小、间距不变，各圆周线绕轴间距不变，各圆周线绕轴线相对转动了一个角度。线相对转动了一个角度。纵向线纵向线倾斜了同一倾斜了同一个角度，小方格变成了个角度，小方格变成了平行四边形。平行四边形。2、平面假设：圆轴扭转变形时，横截面仍保持为、平面假设：圆轴扭转变形时，横截面仍保持为 平面，形状、大小与间距均不变。平面，形状、大小与间距均不变。 据此假设，据此假设，横截面上横截面上无正应力，只有切应力无正应力，只有切应力且圆且圆周上各点处切应力的数值相等，方向与圆周相切。周上各点处切应力的数值相等，方向与圆周相切。四、圆轴扭转时的应力四、圆轴

21、扭转时的应力1、实验现象：、实验现象：MeMe材力篇之扭转材力篇之扭转l 变形几何关系变形几何关系3、横截面上切应力计算公式、横截面上切应力计算公式ddtandd ddadxx式中式中， 相对扭转角相对扭转角d取微段楔形体取微段楔形体相对扭转角沿杆长的变化率，对于给相对扭转角沿杆长的变化率，对于给定的横截面为常量。定的横截面为常量。xdd距圆心为距圆心为 处处材力篇之扭转材力篇之扭转l 物理关系物理关系ddGGx根据剪切胡克定律：根据剪切胡克定律： G切应力沿半径线性分布切应力沿半径线性分布横截面上任意一点处的切应力横截面上任意一点处的切应力 与与 成正比，方向垂直于半径。成正比，方向垂直于半

22、径。Tmaxmax材力篇之扭转材力篇之扭转pddGITx得得:l 静力学方面静力学方面xGdd令令:横截面的极惯性矩横截面的极惯性矩AdAI2pp IT dTAA22AAddGdAGdATdxdx即即xGdd切应力公式切应力公式材力篇之扭转材力篇之扭转4、圆轴扭转时横截面上的最大切应力、圆轴扭转时横截面上的最大切应力maxmaxpppTTRTIIIR maxtTW 抗扭截面系数抗扭截面系数pt/=I RW取取maxmax注意：注意： 以上公式只适合于扭转圆轴，以上公式只适合于扭转圆轴， 且材料服从胡克定律。且材料服从胡克定律。最大切应力：最大切应力： 发生在横截面周边上各点处发生在横截面周边上

23、各点处max材力篇之扭转材力篇之扭转极惯性矩极惯性矩Ip和抗扭截面系数和抗扭截面系数Wt都是截面图形的都是截面图形的几何性质，它们取决于截面的形状与大小。几何性质，它们取决于截面的形状与大小。 p23t/16dIWdAAId2p)d2(202dd2dA324d2/402 ()4d实心圆截面实心圆截面：Odd5. Ip， Wt值的计算值的计算材力篇之扭转材力篇之扭转空心圆截面空心圆截面：d2dADdOdDdDdDAIDdA其中44442232p13232 d2d34Pt(1)216IDWD注意：对于空心圆截面注意：对于空心圆截面 33t(1)16DW材力篇之扭转材力篇之扭转解：（解：（1）计算极

24、惯性矩）计算极惯性矩 IP与抗扭截面系数与抗扭截面系数Wt8363Pt360 10m24 10 m225 10IWD例例4-3 某扭转实心圆轴，已知直径某扭转实心圆轴，已知直径 ，扭矩，扭矩 。试求距圆心。试求距圆心 12.5mm 处处 A 点的切应力点的切应力 以及横截面上的最大切应力以及横截面上的最大切应力 。max1kN mT 50mmd A443484P50 10m61.3 10 m3232dI材力篇之扭转材力篇之扭转A点的切应力点的切应力 368P1000 12.5 10Pa20.4 10 Pa20.4MPa61.3 10AATI6max6t1000Pa41.7 10 Pa41.7M

25、Pa24 10TW横截面上的最大切应力横截面上的最大切应力 （2）求）求 与与maxA材力篇之扭转材力篇之扭转例例4-4 如图所示，圆轴如图所示，圆轴 AB的的 AC 段为空心，段为空心，CB段为实段为实心。已知心。已知 、 ；圆轴传递的功率；圆轴传递的功率 ，转速，转速 。试求。试求 AC及及CB段的段的最大与最小切应力。最大与最小切应力。3cmD 2cmd 7.5kWP 360r/minn dDeMACBeM解：（解：（1）计算扭矩）计算扭矩e7.595499549N m198.9N m360PTMnAC段：段：44444P148432cm32326.38cm6.38 10mIDd（2）计

26、算极惯性矩）计算极惯性矩材力篇之扭转材力篇之扭转（3）计算切应力）计算切应力2max8P11993 10Pa46.8MPa26.38 102ACTDICB段：段：44484P2 3cm7.95 10m3232DI2min8P11992 10Pa31.2MPa26.38 102ACTdI2max8P21993 10Pa37.5MPa27.95 102CBTDImin0CB材力篇之扭转材力篇之扭转一、强度失效一、强度失效塑性材料受扭时，先发生屈服，试样表面沿横向、塑性材料受扭时，先发生屈服，试样表面沿横向、纵向出现滑移线，最后沿横截面被剪断。纵向出现滑移线，最后沿横截面被剪断。脆性材料受扭时，变形

27、很小，最后沿脆性材料受扭时，变形很小，最后沿450螺旋面被拉断。螺旋面被拉断。4-4 扭转圆轴的强度计算扭转圆轴的强度计算材力篇之扭转材力篇之扭转 maxtmaxTW二、强度条件二、强度条件塑性材料塑性材料脆性材料脆性材料subu对等截面圆轴对等截面圆轴 maxmaxtTW许用切应力许用切应力 un圆轴强度计算可解决工程中的三类问题：圆轴强度计算可解决工程中的三类问题：强度校核强度校核；截面设计截面设计；确定许用载荷。确定许用载荷。材力篇之扭转材力篇之扭转例例4-5 如图阶梯轴，如图阶梯轴， 、 ；外力偶矩；外力偶矩 、 、 ； 材料的许用切应力材料的许用切应力 。试校核该轴强度。试校核该轴强度。15kN mM 23.2kN mM 180mmd 31.8kN mM 250mmd 60MPaABC1M2M3M1 8 0 05 0 0 0/N mTx解：（解：（1）计算）计算扭矩扭矩作扭矩图作扭矩图AB段：段：115000N mTM 231800N mTM BC 段：段：材力篇之扭转材力篇之扭转（2）校核强度）校核强度AB段：段： 311max3P116 5 10Pa49.7MPa 13