杨旭光142正余弦函数的图像及其性质

1、1.4.2 正、余弦函数的图像和性质正、余弦函数的图像和性质 1.正弦、余弦函数的图象和性质 y=sinx (x R) y=cosx (x R) 定义域值域周期性x Ry - 1, 1 T = 2 xyO1-1222222222222y=y=cosxcosxy y- -1xO12 23 34 45 56 6-2-2-3-3-4-4-5-5-6-6- -y=y=sinxsinx2.2.周期函数的定义周期函数的定义 一般地，对于函数一般地，对于函数f( (x) )，如果存在一个，如果存在一个非零常数T ，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有f( x+T )=f(x) , 那么函数f(x)就叫做

2、周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。 对于一个周期函数f(x) ,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。sin(cos( 2yAwxyAwxxRT 及的最小正周期为sin(cos(yAwxyAwx及( )sin()sin()222sin()()f xAxAxAxf x 例例1 1 求下列函数的周期：求下列函数的周期：（1）y=3cosx; xRxR（2）y=sin2x，xR R； 1(3)2sin(),26yxxR3.例题讲解例题讲解241sin3123sin24yxxRyxxR课堂练习：求下列函数的周期（），（ ）（），1y=cos2x+si

3、n2x练：求证( ) 的周期为()cos2()sin2(f xxx 证明：()fx的 周 期 为cos(22 ) sin(22xx cos2sin2( )xxf x44(2sincos2yxx) 的周期为44()sin (cos222fxxx证明：)（)44cossin( )xx f x=( )2f x的周期为(3) sincos2yxx的周期为()sin(cos222cossin( )( )2f xxxxxf xf x证明：) （) =的周期为 。 例例1 1、已知定义在、已知定义在R R上的函数上的函数f(xf(x) )满满足足f(xf(x2)2)f(xf(x)=0)=0，试判断，试判断f

4、(xf(x) )是否是否为周期函数？为周期函数？4.周期函数应用周期函数应用 结论：定义在结论：定义在R R上的函数上的函数f(xf(x) )满足满足f(xa)f(x)=0或或f(xa) =-f(x) 则则f( (x) )是周期为是周期为的周期函数的周期函数. . 例例2 2、已知定义在、已知定义在R R上的函数上的函数f(xf(x) )满足满足f(xf(x1)=1)=f(xf(x1)1)，且当，且当x0 x0，22时，时，f(xf(x)=x)=x4 4，求，求f(10)f(10)的值的值. .结论：定义在结论：定义在R R上的函数上的函数f(xf(x) )满足满足f(xa)-f(x-b)=0

5、或或f(xa) =f(x-b) 则则f( (x) )是是周期为周期为的周期函数的周期函数. . 正弦函数的单调性 y=sinx (x R)xyo-1234-2-312 23 25 27 2 23 25 x0 sinx-1 0 1 0 -122322,2,()22kkkZ增区间为32,2,()22kkkZ减区间为 余弦函数的单调性 x0cosx-1 0 1 0 -1yxo-1234-2-312 23 25 27 2 23 25 222,2,()kkkZ增区间为2,2,()kkkZ 减区间为单调性y=cosx在每一个闭区间(2k-1),2k (kZ)上都是增函数,其值从-1增大到1；在每一个闭区间

6、2k，(2k+1) (kZ)上都是减函数，其值从1减小到-1.y=sinx在每一个闭区间 +2k, +2k (kZ）上都是增函数，其值从-1增大到1；在每一个闭区间 +2k， +2k (kZ)上都是减函数，其值从1减小到-1. 223 2 2 例例3 3 求下列函数的最大值和最小值，并求下列函数的最大值和最小值，并写出取最大值、最小值时自变量写出取最大值、最小值时自变量x x的集合的集合 （1 1） y=y=cosxcosx1 1，xRxR； （2 2）y=y=3sin2x3sin2x，xRxR. . 例例4 4 比较下列各组数的大小比较下列各组数的大小: :(1)sin()sin();181

7、0与2317(2)cos()cos().5与 例例5 5 求函数求函数 ，xx22，22的单调递增区间的单调递增区间. .1sin()23yx21cos2(2)sin() 14(3)2cos5sin4xyxyxyxx2、求下列函数的最大值，并找出最大值时 的集合（）1cos(2)3sin(3)lgsinyxyxyx 练习1、求下列函数的定义域、值域（）当 cosx=1 即 x=2k （kZ) 时 ， y 取到最大值 3 . 由 cosx0 得：- +2k x +2k （kZ) 函数定义域为- +2k， +2k 2 2 2 2 由 0cosx1 12 +13 函数值域为 1 ， 3xcos求函数

8、y = 2 +1 的定义域、值域，并求当x为何值时，y取到最大值，最大值为多少？xcos 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 奇函数偶函数 +2k , +2k ,k Z2 2 单调递增 +2k , +2k ,k Z2 23 单调递减 +2k , 2k ,k Z单调递增2k , 2k + , k Z单调递减函数余弦函数正弦函数求函数的单调区间：1. 直接利用相关性质2. 复合函数的单调性3. 利用图象寻找单调区间奇偶性 单调性（单调区间）单调性（单调区间） 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 求下列函数的单调区间： (1) y=2sin(-x )解：解： y=2sin(-x ) = -2sinx函数在函

9、数在 上单调递减上单调递减 +2k , +2k ,k Z2 2 函数在函数在 上单调递增上单调递增 +2k , +2k ,k Z2 23 (2) y=3sin(2x- )4 222242kxk838 kxk2324222 kxk8783 kxk单调增区间为单调增区间为83,8 kk所以：所以：解：解：单调减区间为单调减区间为87,83 kk 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 解：解： (4) )431cos(2121log xy解：解： 定义域定义域2243122 kxk (3) y= ( tan )89 sin2x189tan0 单调减区间为单调减区间为4,4 kk单调增区间为单调增区间为43,4 kk kxk243122 Zkkxk ,436496 当当即即为减区间。为减区间。22432 kxk3366,44kxkkZ 当当即即为增区间。为增区间。Zkkxk ,436496 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 (5) y = -| sin(x+ )|4 解：令x+ =u , 4 则 y= -|sinu| 大致图象如下：y=sinuy=|sinu|y=- |sinu|u2O1y-12222323减区间为Zkkku ,2 增区间为Zkkku ,2, 即：Zkkkx ,4,43 y为增函数Zkkkx ,4,4 y为减函数y y