一线一圆,刍议解析几何的通性通法

1、线一圆 ,刍议解析几何的通性通法数学解题方法一般分为通法与巧法，通法着眼基础， 巧法着眼提高 .对学生来说， 前者是雪中送炭， 后者是锦上添 花.在目前的数学解题教学中，大多师生对通性通法推崇有 加，而对特技巧法敬而远之，甚至谈“巧”色变，久而久之， 我们的学生习惯于套用解题的固有套路与程式死算硬推，思 维毫无创新色彩， “韧”性有余而“灵”性不足 .这就违背了 数学教育根本价值 .尤其在解析几何方面这个问题尤为突出， 经常听数学老师说： “不繁就不叫解析几何” ，这里要给通性 通法“泼点冷水” ！在解题教学中我们既要着眼基础，守住 通法，雪中送炭，锤炼学生思维之“韧” ，更要适当提高， 催生

2、巧法，锦上添花，激发学生思维之“灵” 1.解析几何的通性通法是直线与圆锥曲线方程联立，得到 一元二次方程，在判别式 0的前提下，应用韦达定理、中 点坐标公式、 弦长公式等设而不求的方法解决相关问题.其思维方式本质上是定势思维，易于理解、易于掌握和运用，但 过分强调通法会束缚学生思维的发散性与创造性，久而久 之，他们只会拘泥于固有的套路和程式，不敢越雷池半步， 思维永远没有灵光！以上两种解法中，解法一按照以 D E为直径的圆的产生过程，顺藤摸瓜，思路自然流畅，但计算繁杂，容易出 错，尤其用通法求得圆的标准方程后，为了找到圆所过的定 点，还要把圆的标准方程化为一般方程，再利用Q(s， t)在圆上，

3、即 s2+t2=1 ，才能解决；而解法二中无论是发现QD丄QE (等同于Q是圆0上异于D, E的任意一点)，还是求 以D E为直径的圆0 的方程时充分利用了直径所对的 圆周角是直角这一性质，灵活、简洁、巧妙！图4例2如图4,已知O C : (x-3 ) 2+ (y-4) 2=4，直线 11过定点A (1, 0)与O C相交于P、Q两点，线段PQ的 中点为M，又11与12 : x+2y+2=0的交点为N ,判断AM?AN 是否为定值,若是求上述解析中, 解析 1 是通法 .要判断是否为定值, 就要看 怎么来的,显然 AM 可用勾股定理解决,而要求 AN ,就要 看 N 点的来历,是由直线与直线相

4、交得来.这样顺藤摸瓜,搞清点与直线的来龙去脉, 问题就得以解决 .顺藤摸瓜的思想 方法就是解析几何中直线与曲线相关问题的通性通法,易于 理解掌握, 只是计算量偏大 .尽管道路可能曲折, 我们坚信经 过艰辛的努力,有一股韧劲,持之以恒,一定能获得成功！ 这正是通法的教育价值之所在 .解析 2 是巧法 .由于 AM , AN 共线,联想到向量,思维 具有创造性,但更具思维含金量的是这种解法把 AM 拆成AC+CM，再利用CM丄AN , CM?AN=0，可为巧哉！如果只 讲解析（ 1）的通法而回避这种解法，显然失去了一次创造 性思维培养的绝佳机会！解析3是妙法.这种解法发现直线 BC与直线12垂直，

5、 CM丄PQ,充分利用这两个垂直，由三角形相似解决可谓妙法，妙就妙在这种解法牢牢地抓住了学生的知识的最近发展 区和本题的个性特点 （. 因为学生初中的三角形相似知识运用 非常熟练，甚至超过部分高中教师）以上例题意在说明解析几何中不要拘泥于通性通法，要 根据题目特点灵活解决 .但是，片面追求巧法会导致缺乏对基 本思想方法的挖掘和相应的训练，从而冲淡和掩盖了对基本 思想方法的渗透，有时会陷于对通法不屑一顾而巧法又一时 想不起的尴尬境界 .通法是巧法的基础，巧法是通法的升华.我们要“通” “巧”结合， “韧”“灵”并举 .既要注重基础， 守住通法，如山之稳重；在此基础之上，更要催生巧法，如 水之灵动 .脱离通法的巧法是空中楼阁，没有根基； 不谈巧法的通法更是死山一座，毫无生机！青山爱拂碧水，碧水滋润 青山，碧水围着青山转是我们数学人追求的理想境界 .参考文献1陈敏.就解题方法论学生思维的“灵”与“韧”J.教学月刊 ?中学版， 2013（8）：45.作者简介吴宝莹，男， 1970 年生，江苏徐州人，江苏省特级教师，中国奥数优秀教练员，中国管理科学研究院学术 委员会特约研究员， 发现杂志社副理事长、高级编审， 江苏省高考命题专家