直线与双曲线位置关系

1、直线与双曲线的位置关系和抛物线及其标准方程知识点1:直线与双曲线的位置关系1. 直线与双曲线的位置关系的判断x2 y2设直线 y=kx+b，双曲线 一;2= 1 （a0 , b0）联立消去 y 得 Ax2+Bx+C=0 （a丸）， a2 b2=B2 4AC。若A=0即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若厶0,直线与双曲线相交，有两个交点；若4=0 ,直线与双曲线相切，有一个交点；若40,k2 2 丸，=(2k)2 8(k2 2)0 ,1UK，(L)呃“”Ii2xa -10S为”-2二一工一2)a 4暂里得* 一仮+勒=0小.1.所求宜线不存在k22 0.解得k的取值范围是一2

2、k2 (其中 O为原点)，求k的取值范围.x2 y2解(1)设双曲线C2的方程为2 = 1 ,a2 b2贝U a2 = 4 1 = 3 , C = 4，由 a2+ b2 = C，得 b2= 1,x2故C2的方程为一y2= 1.3(2)将 y = kx + - 2代入y2 = 1，得(1 3k2)x2 6 2kx 9 = 0.3由直线I与双曲线C2交于不同的两点，得1 3宀0.A= ( 6 2k)2+ 36(1 3k2)=36(1 k2)0.1k2 工一且 k22，得 X1X2+ y1y22 ,3k2+ 73k2 12，即3k2 + 93 k2 11,解得 3 0)y2=- 2px(p0)图形彭

3、1 1范围x0 , y Rx0 , b0)的离心率为2若抛物a2 b2线C2： x2 = 2py (p0)的焦点到双曲线 C1的渐近线的距离为 2 ,则抛物线C2的方程为()A. x2 = 8、3y3B. x216 ：3C. x2 = 8yD . x2 = 16y(2012 四川高考)已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2 , yo).若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM | =()C. 4x2y2自主解答双曲线C1：爲一二=1(a0, b0)的离心率为a2b2ca2+ b22 , b =3a,双曲线的渐近线方程为 .3xy = 0,.抛物线C2: x2 = 2py

4、(p 0)的焦点0, ?至U双:- p，:3 X0 2曲线的渐近线的距离为 P = 8. 所求的抛物线方程为x2= 16y.p(2)依题意，设抛物线方程是y2= 2px(p0)，则有2 + 2 = 3，得p = 2，故抛物线方程是 y2 = 4x,点 M 的坐标是(2，土2,2) , |OM | = “ ：22 + 8 = 2 ；3.答案(1)D(2)B练习2 :若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点且|AM |17,| AF | 3，求此抛物线的方程解析设点A是点A在准线上的射影，则| AA| 3，由勾股定理知| MA| 2.2，点a的横坐标为(2

5、2,3 p)，代入方程X2 2py得p 2或4，抛物线的方程X2 4y或X2 8y题型3 :直线与抛物线的位置关系1 .设抛物线方程为 y2= 2px(p 0)，直线Ax + By+ C = 0 ,将直线方程与抛物线方程 联立，消去x得到关于y的方程my2 + ny + q = 0.(1) 若m丸，当A 0时，直线与抛物线有两个公共点；当0时，直线与抛物线只有一个公共点；当Av 0时，直线与抛物线没有公共点.(2) 若m = 0，直线与抛物线只有一个公共点，此时直线与抛物线的对称轴平行.2 .与焦点弦有关的常用结论.(以右图为依据)2(1)y1y2=- p2,p2X1X2 =4 |AB| =

6、X1+ X2 + p =2psin2 Saqb =P22sin 0(0为AB的倾斜角).(1)求抛物线E的方程;(2)设动直线I与抛物线E相切于点P,与直线自主解答依题意，|OB| =8 ;3 , ZBOy = 30 1 1 2(4)阳+函为定值p.(5)以AB为直径的圆与准线相切.以AF或BF为直径的圆与y轴相切. /CFD= 90 例3 :(2012 福建高考)如图，等边三角形且其三个顶点均在抛物线E： x2= 2py(p0) 上.证明以PQ为直径的圆恒过 y轴上某定点.设 B(x, y)，贝U x = |OB|sin 30 =4p , y =|OB|cos 30 =12.因为点B(4 -

7、 ,：3 , 12)在 x2 = 2py 上，所以(43)2= 2p X12，解得 p = 2.故抛物线E的方程为x2 = 4y.(2)证明:1 1 由(1)知 y = ；x2, y，=x.设 P(xo,1y yo=；xo(x xo)，即11y = _ X0X _ x22411y = X0X _x0, 由24x2 4x= 2X0 ，y=-1,y=- i.x2 4所以Q为盂，-1设 M(0, yi)，令=0对满足1y=x2(X0工0)的 X0, y0恒成立.41yo)，则xoO, yo=x0，且I的方程为4由于mP = (X0, y0 y1),x6 4K， 1 y1，由l的方程;B是以点F为x2

8、 4=0，得 y0 y0y1 + y1 + y1 = 0 ,2即(y1+ yi - 2) + (1 - yi)yo= 0.(*)1由于(*)式对满足y 0 = _x0(x0工0)的y0恒成立,41 y1 = 0,所以解得y 1 = 1.y2 + y1 2 = 0,故以PQ为直径的圆恒过 y轴上的定点 M (0,1).练习3 : (2012 泉州模拟)如图，点O为坐标原点，直线I经过抛物线1C： y2= 4x的焦点F.(1)若点O到直线I的距离为，求直线(2)设点A是直线I与抛物线C在第一象限的交点点圆心，|FA|为半径的圆与x轴的交点，试判断 AB与抛物线C的位置关系,并给出证明.解：(1)抛

9、物线的焦点F(1,0),当直线I的斜率不存在时，即 x= 1不符合题意.当直线I的斜率存在时，设直线I的方程为：y = k(x 1)，即kx y k = 0.所以，1解得k=$A 1 + k2 23故直线I的方程为：y =(x 1)，即x 3 y 1 = 0.3直线AB与抛物线相切，证明如下:设 A(X0, y0)，则 y0 = 4x0.因为 |BF| = |AF| = x+ 1，所以 B( X0,0).y。所以直线AB的方程为：y = (x + x0)，2xoy整理得：x = X0yo把方程代入 y2 = 4x 得：yoy2 8xoy+ 4xoyo= 0 ,A= 64 x0 16 xoy2

10、= 64 x6 64 x2 = 0,所以直线AB与抛物线相切.基础练习：x2 y21. （2012 济南模拟）抛物线的焦点为椭圆+一= 1的下焦点，顶点在椭圆中心，则抛49物线方程为（）A. x2 = 4 5yB. y2 = 45xC. x2 = 4 13yD . y2= 4 13 x解析：选A 由椭圆方程知，a2 = 9, b2 = 4，焦点在y轴上，下焦点坐标为（0， c）, 其中c= -，a2 b2= 5.二抛物线焦点坐标为（0， 5），二抛物线方程为x2= 4 5y.2. （2012 东北三校联考）若抛物线y2 = 2px（p 0）上一点P到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，贝

11、U p的值为（)A. 2B. 18C. 2 或 18D . 4 或 16pX0+_= 10 ,2解析：选C设P（X0, y0），则01 = 6, y2= 2 px0,P36 = 2p 10 ，即 P2 20 p + 36 = 0 ,解得 p = 2 或 18.3 .(2013大同模拟已知抛物线y2= 2px(p 0)的准线与曲线X2 + y2 6x 7 = 0相切，则p的值为()A 2B 11Ci1D. 一4P-+ 3 = 4.又 p 0，因解析：选A 注意到抛物线y2 = 2px的准线方程是x =-2，曲线X2 + y2 6x 7 = 0 ,即(x 3)2+ y2= 16是圆心为(3,0)，

12、半径为4的圆于是依题意有P此有2 + 3 = 4，解得p = 2.4 (2012 郑州模拟)已知过抛物线y2 = 6x焦点的弦长为12 ,则此弦所在直线的倾斜角n 5 nA.6 或 Tn 3 nB或44n 2 nC.3 或 TnD.2解析：选由焦点弦长公式2p6|AB|=亦得不=12，所以sin5 (2012唐山模拟)抛物线y2 = 2px的焦点为F,点A、B、C在此抛物线上，点 A坐标为(1,2) 若点F恰为ABC的重心，则直线 BC的方程为(A x+ y = 0C. 2x + y 1 = 0B x y= 0D 2x y 1 = 0解析：选C点A在抛物线上， 4 = 2p , p = 2，抛

13、物线方程为y2 = 4x，焦点F(1,0)设点 B(X1, y1),点 C(X2, y2),则有 y1= 4X1，y2 = 4X2，由一得(y1 y2)(y1 + y2)= 4(X1 X2)yi y24得 kBC=xi X2 yi + y2yi + y2 + 2又T= O,.yi + y2 = 2 ,.kBc= 2.3X1 + X2 + 1又= 1 x2 = 2，BC 中点为(1 , 1),则BC所在直线方程为 y +1 = 2(x 1)，即2x + y 1 = 0.6. (2013 湖北模拟)已知直线y= k(x m)与抛物线y2= 2px(p 0)交于A、B两点，且OA丄OB , OD丄A

14、B于D若动点D的坐标满足方程 x2 + y2 4x= 0 ,贝U m =()A. 1B. 2km则 b = _ _则 b1 + k2,C. 3D . 4解析：选D 设点D(a,b),则由OD丄AB于D，得b = k a m ,即 a2 + b2 4a = 0,将 a= bk 代入a= bk ；又动点D的坐标满足方程 x2 + y2 4x= 0,上式，得 b2k2+ b2 + 4bk = 0, 即卩 bk2+ b + 4k = 0,k3m1 + k2km丁 + 4k = 0，又k丸，则(1 + k2)(4 m) = 0,因此 m = 4.7. (2012 安徽模拟)已知椭圆C1：2 2x2 y2：+= 1(0 v b v 2)的离心率为j抛物线C2 :2x2 = 2py(p 0)的焦点是椭圆的顶点.(1)求抛物线C2的方程;过点M ( 1,0)的直线I与抛物线C2交于E, F两点，过E, F作抛物线C2的切线l1, 12,当11丄12时，求直线I的方程.: c4 b2 - 3解: (1)椭圆C1的长半轴长a = 2，半焦距C= 4 -汽由e = ； = = 丁得b2椭圆Ci的上顶点为(0,1)，即抛物线 C2的焦点为(0,1),故抛物线C2的方程为x2 = 4y.由已知可得直线l的斜率必存