第四章振动和波PPT

1、12 振动可分为机械振动和电磁振动（电磁振荡）振动可分为机械振动和电磁振动（电磁振荡）两大类。两大类。 一、机械振动：物体在某个位置附近来回往一、机械振动：物体在某个位置附近来回往复的运动叫做机械振动。复的运动叫做机械振动。 波（波动）是振动状态的传播过程。波（波动）是振动状态的传播过程。 二、机械波：机械二、机械波：机械 振动在媒质中的传播形振动在媒质中的传播形成机械波成机械波 3 物体或物体的某一部分在一定位置物体或物体的某一部分在一定位置附近来回往复的运动附近来回往复的运动 实例实例: 心脏的跳动，心脏的跳动，钟摆，乐器，钟摆，乐器， 地震等地震等1 机械振动机械振动平衡位置平衡位置 4

2、.1 4.1 简谐振动简谐振动一一 简谐振动的特征及其表达式简谐振动的特征及其表达式4 简谐运动简谐运动 最简单、最基本的振动最简单、最基本的振动谐振子谐振子 作简谐运动的物体作简谐运动的物体简谐运动简谐运动复杂振动复杂振动合成合成分解分解2 简谐振动简谐振动5kl0 xmoAA 弹簧振子的振动弹簧振子的振动00Fx6振动的成因：振动的成因：回复力回复力+惯性惯性7mk2令令 xxFm3 弹簧振子的运动分析弹簧振子的运动分析xtx222dd得得2ax 即即omakxF简谐运动的特征：简谐运动的特征：加速度加速度 与位移的大小与位移的大小x成正比，方向相反成正比，方向相反a8mk2令令 xxFm

3、3 弹簧振子的运动分析弹簧振子的运动分析xtx222dd得得2ax 即即omakxF简谐运动的特征：简谐运动的特征：加速度加速度 与位移的大小与位移的大小x成正比，方向相反成正比，方向相反a9简谐运动的微分方程简谐运动的微分方程积分常数，根据初始条件确定积分常数，根据初始条件确定)cos(tAx解方程解方程设初始条件为设初始条件为:解得解得xtx222dd00txx0 vv 时时，简谐运动方程简谐运动方程其确定通解的积分常数。其确定通解的积分常数。10)cos(dd222tAtxa)cos(tAx由由得得dsin()dxvAtt 其中其中220000()arctan()vAxvx简谐运动方程简

4、谐运动方程11简谐运动方程简谐运动方程)2cos()cos(tTAtAx 1 1 振幅振幅maxxAtx图图AA xT2Tto -表示振动在空间的限度或更一般地表示振动在空间的限度或更一般地讲振动中物理量出现的最大值（质点离讲振动中物理量出现的最大值（质点离平衡位置平衡位置 的最大值）的最大值）二二 简谐振动的特征量简谐振动的特征量12)cos(tAx2 2 周期、频率周期、频率kmT2弹簧振子周期弹簧振子周期2T 周期周期)(cosTtA注意注意tx图图AA xT2Tto1321T 频率频率T22 圆频率（角频率）圆频率（角频率） 周期和频率仅与振动系统周期和频率仅与振动系统本身本身的的物理

5、性质有关物理性质有关tx图图AA xT2Tto)cos(tAx)(cosTtA14频率为频率为Hz33.1/1T例如，例如，心脏的跳动心脏的跳动80次次/分分s 75. 0) s (8060(min801）T周期为周期为大象大象 0.40.5 马马 0.70.8猪猪 11.3 兔兔 1.7松鼠松鼠 6.3 鲸鲸 0.13动物的心跳频率动物的心跳频率(参考值参考值,单位单位:Hz) 15 昆虫翅膀振动的频率（昆虫翅膀振动的频率（Hz） 雌性蚊子雌性蚊子 355415 雄性蚊子雄性蚊子 455600 苍苍 蝇蝇 330 黄黄 蜂蜂 22016 相位的意义相位的意义: 表征任意时刻（表征任意时刻（t

6、）物体振物体振动状态动状态. 物体经一周期的振动，相位改变物体经一周期的振动，相位改变 2 . 3 3 相位和初相相位和初相)cos(tAx相相 位位tt)()(0tt时，初相位初相位1722002vAx00tanvx三三 常数常数 和和 的确定的确定A000txxvv初始条件初始条件sin()vAt )cos(tAx 对 给 定 振 动对 给 定 振 动系统，周期由系系统，周期由系统本身性质决定，统本身性质决定，振幅和初相由初振幅和初相由初始 条 件 决 定始 条 件 决 定 . .18cos0A2 00,0,0txv已知已知 求求讨论讨论)2 cos(tAxxvotx图图AA xT2Tto

7、0sin0vA 0sin取取219 （2）一谐振动状态决定其振幅）一谐振动状态决定其振幅A、频率、频率 （或（或T或或 ）初相）初相 。这三者称为振动。这三者称为振动三要素。三要素。理解注意：理解注意： （1）周期、圆频率都是决定系统本身的物理）周期、圆频率都是决定系统本身的物理量，量， 称为称为固有周期、固有频率。固有周期、固有频率。20)cos(111tAx)cos(222tAx（3）在比较同频率的谐振动时，往往用到）在比较同频率的谐振动时，往往用到相位差的概念。相位差的概念。1212)()(tt121221振动振动“2”超前超前“1”振动振动“2”落后落后“1”振动振动“1”和振动和振动

8、“2”同相；同相；规定：规定：21tx 图图vt图图ta 图图TAA2A2AxvatttAAoooT)cos(tAx0取取2T)2cos(tAsin()vAt )cos(2tA)cos(2tAaT位移、速度、加速度的相位关系位移、速度、加速度的相位关系22例：如图为物体作简谐振动时的例：如图为物体作简谐振动时的xt曲线，已曲线，已知振幅为知振幅为0.1m,周期周期0.5s。求初相位和简谐振动。求初相位和简谐振动的运动方程。的运动方程。解：分析，从图可知解：分析，从图可知t=0 时：时：20Axx设振动方程为设振动方程为)cos(tAxx2At23以以t=0代入：代入：3;2cos0AAx ?

9、;0sin0Av由由3所以所以由题意知由题意知4,5.0sT所以振动方程为所以振动方程为)cos(tAx)(34cos(1 .0mtx设振动方程为设振动方程为)cos(tAx0sin 所以所以24例：一弹簧振子，重物的质量为例：一弹簧振子，重物的质量为m，弹簧的劲度系，弹簧的劲度系数为数为k，该振子作振幅为，该振子作振幅为A的简谐振动当重物通过的简谐振动当重物通过平衡位置且向规定的正方向运动时，开始计时则平衡位置且向规定的正方向运动时，开始计时则其振动方程为：其振动方程为：)21/(cos) 1 (tmkAx)21/cos()2(tmkAx)21/(cos) 3(tkmAx1(4)cos(/)

10、2xAm kt 2 251、角速度、角速度 物体在转动时，角位移与所经历的时间的比值物体在转动时，角位移与所经历的时间的比值叫做角速度，即叫做角速度，即 = =/t t。在国际单位制中，。在国际单位制中，它的单位是弧度它的单位是弧度/ /秒。当所取时间秒。当所取时间t t较长时，这一比较长时，这一比值是平均角速度；当所取时间值是平均角速度；当所取时间t0t0时，这一比值的时，这一比值的极限就是即时角速度。极限就是即时角速度。 角速度是描述物体转动的快慢物理量。一般不角速度是描述物体转动的快慢物理量。一般不考虑角速度的方向性，而将它作为标量来处理。绕考虑角速度的方向性，而将它作为标量来处理。绕固

11、定转轴转动的物体，任意点的角速度固定转轴转动的物体，任意点的角速度和线速度和线速度v v的关系为的关系为v= rv= r。如果物体每秒转动周数为。如果物体每秒转动周数为n n或者或者它转动一周所需时间为它转动一周所需时间为t t，则有，则有 = 2n =2/t = 2n =2/t 。 262、角频率、角频率 在简谐振动中，在单位时间内物体完成在简谐振动中，在单位时间内物体完成全振动的次数叫频率，用全振动的次数叫频率，用f表示，频率的表示，频率的2倍叫角频率，即倍叫角频率，即 =2f。在国际单位制中，。在国际单位制中，角频率的单位也是弧度角频率的单位也是弧度/秒。频率是描述物体秒。频率是描述物体

12、振动快慢的物理量，所以角频率也是描述物振动快慢的物理量，所以角频率也是描述物体振动快慢的物理量。频率、角频率和周期体振动快慢的物理量。频率、角频率和周期的关系为的关系为 = 2f = 2/t。在简谐振动中，。在简谐振动中，角频率与振动物体间的速度角频率与振动物体间的速度 v 的关系为的关系为v =Asin( t + )。 27若以一质点作匀速圆周运动和一个弹簧振子作简谐振动，若以一质点作匀速圆周运动和一个弹簧振子作简谐振动，比较角速度比较角速度 与角频率与角频率的异同的异同 匀速圆周运动的匀速圆周运动的 简谐振动中的简谐振动中的 名名 称称 角速度角速度 角频率角频率 定定 义义 单位时间内转

13、动的角度单位时间内转动的角度 单位时间内完成全振动次数的单位时间内完成全振动次数的2倍倍 单单 位位 弧度弧度/秒秒 弧度弧度/秒秒 性性 质质 描述转动的快慢描述转动的快慢 描述振动的快慢描述振动的快慢 与与n或或 的关系的关系 = 2n = 2 与周期的关系与周期的关系 = 2/t = 2/t 与哪些因素有关与哪些因素有关 与物体所受向心力有关与物体所受向心力有关 只由振动系统本身性质决定只由振动系统本身性质决定 与速度的关系与速度的关系 = v/r ( v为线速度为线速度) v = Asin( t + ) 28附：二阶常系数微分方程的解附：二阶常系数微分方程的解022r其特征方程为其特征

14、方程为xtx222dd解之解之，即0 ir于是方程的通解为于是方程的通解为12e(cossin)xxCtCt)sincos( )sincos(2221222211222121tCCCtCCCCCtCtCx)cos(tAx29Ax2AtobavA四四 简谐振动的旋转矢量表示法简谐振动的旋转矢量表示法问题：若图中振动质点的振动周期为T,则质点从A点到B的最短时间为多少？30 xoAcos0Ax 0t0 x旋转矢量旋转矢量 自自Ox轴的原点轴的原点O作一矢量作一矢量 ，使使它的模等于振动的它的模等于振动的振幅振幅A，并使矢量并使矢量 在在 Oxy平面内绕点平面内绕点O作作逆时针逆时针方向的方向的匀角

15、速转动匀角速转动，其角其角速度速度 与振动的角与振动的角频率相等频率相等，这个矢这个矢量就叫做量就叫做旋转矢量旋转矢量. AA31 以以 为原为原点旋转矢量点旋转矢量 的端点在的端点在 轴轴上的投影点的上的投影点的运动为简谐运运动为简谐运动动. .xAooAtt t)cos(tAxx32)cos(tAx 以以 为原为原点旋转矢量点旋转矢量 的端点在的端点在 轴轴上的投影点的上的投影点的运动为简谐运运动为简谐运动动. .xAo33)cos(2tAa2 tmvvxyOAt)cos(tAxnaamvAsin()vAt2nAa 速率速率在在ox方向的投影：方向的投影：在在ox方向的投影：方向的投影：向

16、心加速度向心加速度 各象限的速度各象限的速度方向很好确定。方向很好确定。34用旋转矢量图画简谐运动的用旋转矢量图画简谐运动的 图图tx 反相反相35讨论讨论 相位差：表示两个相位之差相位差：表示两个相位之差 （1）对对同一同一简谐运动，相位差可以给出简谐运动，相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间两运动状态间变化所需的时间)()(12tt12ttt)cos(11tAx)cos(22tAx36Ax2Atobaat3TTt61232AvAxAoAbt37 （2）对于两个对于两个同同频率频率的简谐运动，相位的简谐运动，相位差表示它们间差表示它们间步调步调上的上的差异差异（解决振动合成（解决振动合成

17、问题）问题）. .12)cos(111tAx)cos(222tAx)()(12tt380 xto同步同步xto为其它为其它超前超前落后落后12txo反相反相39 例：一简谐振动曲线如图所示则振动周例：一简谐振动曲线如图所示则振动周期是期是 (A) 2.62 s (B) 2.40 s (C) 2.20 s (D) 2.00 s 答案：答案： B x (cm) t (s) O 4 2 1 56xAoA3040 例例 一质量为一质量为0.01 kg的物体作简谐运动，的物体作简谐运动，其振幅为其振幅为0.08 m，周期为周期为4 s，起始时刻物体在起始时刻物体在x=0.04 m处，处，向向ox轴负方向

18、运动（如图）轴负方向运动（如图）. .试求试求 （1）t=1.0 s时，物体所处的位置和所时，物体所处的位置和所受的力；受的力； o08. 004. 004. 008. 0m/xv41o08. 004. 004. 008. 0m/xm 04.00 xt，代入代入)cos(tAxA303v0解解1s 22Tm 08. 0As 4,m 08. 0,kg 01. 0TAm已知已知0,0.04 m,0txv0求（求（1）Fxt, s 0 . 1342o08. 004. 004. 008. 0m/xvkg 01. 0ms 0 . 1t代入上式得代入上式得m 069. 0 xxmkxF2)32cos(08

19、. 0txN 1070. 13可求（可求（1）Fxt, s 0 . 1343 （2）由起始位置运动到由起始位置运动到x = -0.04 m处所需处所需要的最短时间要的最短时间. . 法一法一 设由起始位置运动到设由起始位置运动到x= -0.04 m处所处所需要的最短时间为需要的最短时间为to08. 004. 004. 008. 0m/xv4423)21(arccosts 667. 032o08. 004. 004. 008. 0m/xv)32cos(08. 0tx)32cos(08. 004. 0t45o08. 004. 004. 008. 0m/x法二法二3起始时刻起始时刻 时刻时刻tt3t

20、s 667. 032t1srad 2346lsinmgmgFmgmgsxllsin5，时时动力学分析：动力学分析：222d0dxxtAQ 五五 单摆的振动单摆的振动转转动动正正向向即：单摆在摆动角度很小时，其作简谐运动。即：单摆在摆动角度很小时，其作简谐运动。OTmgFs2,=mgkglml令k则此时，回复力此时，回复力F可看作与位移可看作与位移x成正比成正比。47lg2由由glT2gllTmgOAm转转动动正正向向它的角频率为它的角频率为它的振动周期为它的振动周期为48 3 3 简谐运动的方程和特征简谐运动的方程和特征 xtx222dd （2）简谐运动的动力学方程简谐运动的动力学方程kxF

21、（1）物体受线性回复力作用物体受线性回复力作用 平衡位置平衡位置0 xsin()vAt )cos(tAx （3）简谐运动的运动学方程简谐运动的运动学方程xa2 （4）加速度与位移成正比而方向相反加速度与位移成正比而方向相反491、谐振动的能量、谐振动的能量 在简谐振动过程中，由于回复力作功，在简谐振动过程中，由于回复力作功，必然伴随着能量形式的转化。简谐振动必然伴随着能量形式的转化。简谐振动系统系统的能量，包括动能和势能两部分。以弹簧振的能量，包括动能和势能两部分。以弹簧振子为例。子为例。)cos(tAx)sin(tAdtdxv六六 简谐振动的能量简谐振动的能量50（1） 动能动能( (以弹簧

22、振子为例以弹簧振子为例) ) O x Xmk2m22k22211sin()221sin ()2EmvmAtmAt)(sin2122tkA51（2） 势能势能 线性回复线性回复力是力是保守力。保守力。O x Xm)(cos2121222ptkAkxE（3） 机械能机械能222pk2121AmkAEEE振动过程机械能守恒说明了什么？振动过程机械能守恒说明了什么？52简简 谐谐 运运 动动 能能 量量 图图tkAE22pcos21tAmE222ksin214T2T43T能量能量otTtx vt, x vtoTtAxcossinvAt 221kAE 053简谐运动势能曲线简谐运动势能曲线kEpExAA

23、pExOEBC222p11cos ()22EkxkAt54能量守恒能量守恒简谐运动方程简谐运动方程导出导出222111222EmvkxkA22d11()0d22mvkxtdd0ddvxmvkxtt0dd22xmktx解之得：解之得：)cos(tAx结合初始条件可求出运动方程结合初始条件可求出运动方程.55 例例 质量为质量为 的物体，以振幅的物体，以振幅 作简谐运动，其最大加速度为作简谐运动，其最大加速度为 ，求：求：kg 10.0m 100 . 12（1）振动的周期；振动的周期； （2）通过平衡位置的动能；通过平衡位置的动能；（3）总能量；总能量；（4）物体在何处其动能和势能相等？物体在何处

24、其动能和势能相等？2sm 0 . 456Aamaxs 314. 02T1s 20J 100.23（2）222maxmax,k2121AmmEv解（解（1）2maxAa已知已知2max2sm 0 . 4m 100 . 1kg 10. 0aAm，T；( (2) )maxk,E求求:( (1) )57（4）pkEE 时时 J 100 . 13pE由由222p2121xmkxE2p22mEx 24m 105 . 0总能量总能量E；（3）max, kEE J 100 . 23解解( (4) )何处动势能相等何处动势能相等? ?求求:( (3) )cm 707. 0 x已知已知2max2sm 0 . 4m

25、 100 . 1kg 10. 0aAm，58 一弹簧振子作简谐振动，当其偏离平衡一弹簧振子作简谐振动，当其偏离平衡位置的位移的大小为振幅的位置的位移的大小为振幅的1/4时，其动能时，其动能为振动总能量的（）为振动总能量的（） ( (A）1/2 ( (B）11/16 ( (C）13/16 ( (D）15/16 解解Ax41sum22psumk16151612121EkAkAEEE22p1612121kAkxE59 当质点以频率当质点以频率 作简谐振动时，它的动能作简谐振动时，它的动能的变化率为的变化率为242/( (A) )( (B) )( (C) )( (D) )222k211sin ()22

26、11cos(2222EmvkAttkA）222解解60一一 两个同方向同频率简谐运动的合成两个同方向同频率简谐运动的合成 设一质点同时参与两独立的设一质点同时参与两独立的同方向、同频率的简谐振动：同方向、同频率的简谐振动：)cos(111tAx)cos(222tAx两振动的位相差两振动的位相差 =常数常数12 4.2 4.2 简谐振动的合成简谐振动的合成61 代数方法：设两个振动具有相同频率，代数方法：设两个振动具有相同频率，同一直线上运动，有不同的振幅和初相位同一直线上运动，有不同的振幅和初相位)cos()(111tAtx)cos()(222tAtx)()()(21txtxtxtAAcos)

27、coscos(2211tAAsin)sinsin(2211tAtAsinsincoscos)cos(tA合振幅合振幅62 两个两个同同方向方向同同频率简谐运动频率简谐运动合成合成后仍后仍为为同同频率的频率的简谐简谐运动运动)cos(212212221AAAAA)cos(tAx11A1xxOAx21xxx2x2A222112211coscossinsintanAAAA 几何方法几何方法)cos()(111tAtx)cos()(222tAtx63too212k)cos()(21tAAxA21AAA1A2AT（1）相位差相位差212k), 2 1 0( ，kxx同方向同方向特殊情况特殊情况64xto

28、)cos()(12tAAxT2A21AA（2）相位差相位差) 12(12k) , 1 0( ，k21AAA)12(12kox反方向反方向65（3）一般情况一般情况2121AAAAA21AAA21AAA加强加强减弱减弱小结小结（1）相位差相位差212k) 1 0( ， k（2）相位差相位差) 12(12k) 1 0( ， k（4）合振动的初相与振幅较大的分振动相同。合振动的初相与振幅较大的分振动相同。66 二二 两个同方向不同频率简谐运动两个同方向不同频率简谐运动的合成的合成67 频率频率较大较大但频率之但频率之差很小差很小的两个的两个同方同方向向简谐运动的合成，其合振动的振幅时而简谐运动的合成

29、，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫加强时而减弱的现象叫拍拍. .tAtAx111112coscostAtAx222222coscos21xxx讨论讨论 , , 的合成情况的合成情况 21AA 2112假设两振动的振幅相等。假设两振动的振幅相等。68合振动频率合振动频率振幅部分振幅部分振幅振幅 振动频率振动频率tAtAxxx2111212cos2costtAx22cos)22cos2(12121tAA22cos21212)(211max2AA0minA69拍频拍频（振幅变化的频率）（振幅变化的频率）121T12ttAx22cos)22cos2(12121由于余弦函数的绝对值以由于余弦函数的

30、绝对值以为周期，所以为周期，所以212111211212cos 22cos(2)221 = 2cos 2()2vvvvAtAtvvAtvv即：合振幅变化的周期为即：合振幅变化的周期为具体应用放在后面的章节学习。具体应用放在后面的章节学习。70 例题例题 一质点同时参与两个同方向的简一质点同时参与两个同方向的简谐运动，其运动方程分别为：谐运动，其运动方程分别为： 画出两运动的旋转矢量图，并求合运画出两运动的旋转矢量图，并求合运动的运动方程动的运动方程m)314cos(10521txm)614sin(10322tx71x/cmo532 33解解)324cos(103)21614cos(103)61

31、4sin(1032222tttx) 314cos(10521txm) 314cos(102221txxx72 三三 两个相互垂直的同频率的简谐两个相互垂直的同频率的简谐运动的合成运动的合成质点运动轨迹质点运动轨迹 （椭圆方程）（椭圆方程）)cos(11tAx)cos(22tAy)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx73 附：运动方程的推导附：运动方程的推导设一个质点同时参与了两个振动方向相互设一个质点同时参与了两个振动方向相互垂直的同频率简谐振动，即垂直的同频率简谐振动，即11cos();xAt22cos()yAt111coscossinsinxttA222cosco

32、ssinsinyttA212112coscossinsin()xytAA74212112coscossinsin()xytAA212112sinsincossin()xytAA221222212sincos2AAxyAyAx)cos)(sin(sin)sinsincos(cos222122121221222212ttAAxyAyAx75（1） 或或2012xAAy12讨讨论论（2） 12xAAy12yxo1A2A1A2Aoxy)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx76tAxcos1)2cos(2tAy（3）2121222212AyAx)(sin)cos(2122122

33、1222212AAxyAyAx讨讨论论1A2Aoxy77 垂直方向、不同频率简谐振动的合成垂直方向、不同频率简谐振动的合成一般是复杂的运动轨道不是封闭曲线，一般是复杂的运动轨道不是封闭曲线，即合成运动不是周期性的运动。即合成运动不是周期性的运动。(1) 视为同频率的合成，不视为同频率的合成，不过两个振动的相位差在缓慢地变化，过两个振动的相位差在缓慢地变化，所以质点运动的轨道将不断地从下图所以质点运动的轨道将不断地从下图所示图形依次的循环变化。所示图形依次的循环变化。012120212当当 时是顺时针转；时是顺时针转； 时是逆时针转。时是逆时针转。下面就两种情况讨论下面就两种情况讨论780124

34、12431247452122379 (2) 如果两个互相垂直的振动频率成整如果两个互相垂直的振动频率成整数比，合成运动的轨道是封闭曲线，运数比，合成运动的轨道是封闭曲线，运动也具有周期。这种运动轨迹的图形称动也具有周期。这种运动轨迹的图形称为李萨如图形。为李萨如图形。用李萨如图形在无线电用李萨如图形在无线电技术中可以测量频率：技术中可以测量频率： 在示波器上，垂直方向与水平方向同时在示波器上，垂直方向与水平方向同时输入两个振动，已知其中一个频率，则可根输入两个振动，已知其中一个频率，则可根据所成图形与已知标准的李萨如图形去比较，据所成图形与已知标准的李萨如图形去比较，就可得知另一个未知的频率。

35、就可得知另一个未知的频率。2:1:yxTT80 用旋转矢量描绘振动合成图用旋转矢量描绘振动合成图81实验中很难得到稳定的利萨如图形，而只能得到实验中很难得到稳定的利萨如图形，而只能得到重复变化的某一组利萨如图形。为什么？重复变化的某一组利萨如图形。为什么？因为所用两个信号的位相差是变化的，而不是固定的。因为所用两个信号的位相差是变化的，而不是固定的。 实验中发现李萨如图形与理论预期情况有一定差别，实验中发现李萨如图形与理论预期情况有一定差别，比如本来应该是椭圆，但不是很规则的椭圆。为什么？比如本来应该是椭圆，但不是很规则的椭圆。为什么？因为小变压器输出的电信号不是非常规则的正弦波。因为小变压器

36、输出的电信号不是非常规则的正弦波。82一、一、 阻尼振动阻尼振动阻阻尼尼振振动动能量随时间减小的振动称阻尼振动或减幅振动。能量随时间减小的振动称阻尼振动或减幅振动。摩擦阻尼：摩擦阻尼：系统克服阻力作功使振幅受到摩擦力的系统克服阻力作功使振幅受到摩擦力的作用，系统的动能转化为热能。作用，系统的动能转化为热能。辐射阻尼：辐射阻尼：振动以波的形式向外传波，使振动能量振动以波的形式向外传波，使振动能量向周围辐射出去。向周围辐射出去。 4.3 阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动 共振共振83阻尼振动的振动方程阻尼振动的振动方程（系统受到弱介质阻力而衰减）（系统受到弱介质阻力而衰减）振子动力学方程振子动力

37、学方程22dtxdmdtdxkx 振子受阻力振子受阻力dtdxvfr 022022 xdtdxdtxd mk 0 系统固有角频率系统固有角频率m2 阻尼系数阻尼系数弱介质阻力是指振子运动速度较低时，弱介质阻力是指振子运动速度较低时，介质对物体的阻力仅与速度的一次方成正比介质对物体的阻力仅与速度的一次方成正比 阻力系数阻力系数84t弱阻尼弱阻尼)(tx弱阻尼弱阻尼 每一周期内损失的能量越小，振幅衰减越每一周期内损失的能量越小，振幅衰减越慢，周期越接近于谐振动。慢，周期越接近于谐振动。0 0cos()txA et220 0220222 T阻尼振动的振幅按指数衰减阻尼振动的振幅按指数衰减阻尼振动的准

38、周期阻尼振动的准周期85临界阻尼临界阻尼t)(tx临界阻尼临界阻尼系统不作往复运动，而是较快地系统不作往复运动，而是较快地回到平衡位置并停下来回到平衡位置并停下来0 te )tcc(x 21过阻尼过阻尼t)(tx过阻尼过阻尼系统不作往复运动，而是非常缓系统不作往复运动，而是非常缓慢地回到平衡位置慢地回到平衡位置0 t )(t )(ececx20220221 86二、二、 受迫振动受迫振动 受迫振动受迫振动 振动系统在周期性外力作用下的振动。振动系统在周期性外力作用下的振动。弱阻尼谐振子系统在策动力作用下的受迫振动的方程弱阻尼谐振子系统在策动力作用下的受迫振动的方程22cosPd xdxmkxH

39、tdtdt 22022cosPd xdxxhtdtdt令令0,2kHhmmm周期性外力周期性外力策动力策动力cosPFHt87稳定解稳定解cos()PxAt(2)振幅振幅: :22222 1/20()4PPhA (3)初相初相: :2202tanPP 特点特点: :稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化0(cos)cos()tPxA etAt阻尼振动阻尼振动简谐振动简谐振动(1)频率频率: : 等于策动力的频率等于策动力的频率 P88三、三、共振共振在一定条件下在一定条件下, , 振幅出现极大值振幅出现极大值, , 振动剧烈的现象。振动剧烈的现象。1 1、位移

40、共振、位移共振(1)共振频率共振频率 : :2202P(2)共振振幅共振振幅 : :22002 fAr22222 1/20()4PPhA 892、速度共振、速度共振一定条件下一定条件下, , 速度振幅极大的现象。速度振幅极大的现象。速度共振时，速度与速度共振时，速度与策动力同相，一周期策动力同相，一周期内策动力总作正功，内策动力总作正功，此时向系统输入的能此时向系统输入的能量最大。量最大。 0P 20fvmr sin()PvpAt 0222220()4PmPPPfvA 90波动波动是一切微观粒子的属性，是一切微观粒子的属性，与微观粒子对应的波称为与微观粒子对应的波称为物质波物质波。各种类型的波

41、有其特殊性，但也有普遍的共性，各种类型的波有其特殊性，但也有普遍的共性，有类似的波动方程。有类似的波动方程。机械振动在介质中的传播称为机械振动在介质中的传播称为机械波机械波。声波、水波声波、水波 4.4 4.4 机械波机械波91振动和波动的关系：振动和波动的关系： 机械波、电磁波、物质波机械波、电磁波、物质波振动振动波动的成因波动的成因波动波动振动的传播振动的传播 波动的种类：波动的种类：4.4.1 波波的基本概念的基本概念92一一 机械波的产生和传播机械波的产生和传播 能传播机械振动的媒质能传播机械振动的媒质（空气、水、钢铁等）（空气、水、钢铁等）2 介质介质作机械振动的物体作机械振动的物体

42、（声带、乐器等）（声带、乐器等） 1 波源波源 波是运动状态的传播波是运动状态的传播，介介质的质点并不随波传播质的质点并不随波传播.注意注意机械波产生的条件：机械波产生的条件：93二二 横波与纵波横波与纵波1 横波横波94特点：特点： 波传播方向上各点的振动方波传播方向上各点的振动方向与波传播方向垂直向与波传播方向垂直2 纵波纵波（又称疏密波）（又称疏密波） 例如：弹簧波、例如：弹簧波、 声波声波95 纵波纵波 特点：质点的振动方向与波传播方向一致特点：质点的振动方向与波传播方向一致963 复杂波复杂波 （本章研究对象）（本章研究对象）特点：波源及介质中各点均作简谐振动特点：波源及介质中各点均

43、作简谐振动特点：复杂波可分解为横波和纵波的合成特点：复杂波可分解为横波和纵波的合成例如：地震波例如：地震波 简谐波简谐波97三三 波线波线 波面波面 波前（用于波的几何描述）波前（用于波的几何描述）不同波线上振动相位相同的点组成的面称为波面不同波线上振动相位相同的点组成的面称为波面1 波线波线2 波面波面沿波的传播方向画一些带有箭头的线。沿波的传播方向画一些带有箭头的线。3 波前（波阵面）波前（波阵面） 把某一时刻波动所到达的各点所连成的把某一时刻波动所到达的各点所连成的曲面叫做波前（最前面的波面）曲面叫做波前（最前面的波面）4 波场波场波传播到的空间。波传播到的空间。98波线波线波面波面波面

44、波面波线波线平面波平面波球面波球面波波面波面波线波线波线波线波波面面四四 球面波与平面波球面波与平面波99性质性质（3）各向同性介质中，波线垂直于波阵面各向同性介质中，波线垂直于波阵面.（2）波阵面的推进即为波的传播波阵面的推进即为波的传播.（1）同一波阵面上各点振动状态相同同一波阵面上各点振动状态相同.100五五 描述波的特性的几个物理量描述波的特性的几个物理量OyA A ux 波传播方向上相邻两波传播方向上相邻两振动状态振动状态完全相同完全相同的质点间的距离的质点间的距离（一完整波的长度一完整波的长度）. 1 波长波长101横波：横波：相邻相邻 波峰波峰波峰波峰 波谷波谷 波谷波谷 纵波：

45、纵波：相邻相邻 波疏波疏波疏波疏 波密波密波密波密 1022 周期周期 T 波前进一波长的距离所需的时间（波波前进一波长的距离所需的时间（波的周期等于波源的振动周期）的周期等于波源的振动周期）uT3 频率频率 单位时间内波向前传播的完整波的单位时间内波向前传播的完整波的数目数目. （1 内向前传播了几个波长）内向前传播了几个波长）s103决定于介质的性质（弹性模量和密度）决定于介质的性质（弹性模量和密度）振动状态（或相位）在介质中传播的速度振动状态（或相位）在介质中传播的速度 4 波速波速 u钢铁中钢铁中 水水 中中例如，声波在空气中例如，声波在空气中1sm3401sm50011sm00051

46、04四个物理量的联系四个物理量的联系T1TuTuu注意注意因此因此 ，固体内横波和纵波的传播速度分别为，固体内横波和纵波的传播速度分别为 ( GEuu横波）（纵波）G切变模量一般比杨氏模量要大切变模量一般比杨氏模量要大105m m=Tu T为弦中张力，为弦中张力，为弦的线密度为弦的线密度在弦中传播的在弦中传播的横波横波波速为波速为: :在液体和气体中只能传播在液体和气体中只能传播纵波纵波，其波速为：，其波速为：/Kur r=K为介质的容变弹性模量为介质的容变弹性模量为密度为密度理想气体理想气体纵波纵波声速声速: :g gg gr r=pRTuM 为气体的摩尔热容比，为气体的摩尔热容比，M为气体

47、的摩尔质量，为气体的摩尔质量，T为热力学温度，为热力学温度， R为气体的普适常数，为气体的普适常数， 为气体的密度为气体的密度g gr r106物体的弹性形变物体的弹性形变弹性形变弹性形变：物体在一定限度的外力作用下形状和：物体在一定限度的外力作用下形状和体积发生改变，当外力撤去后，物体的形状和体体积发生改变，当外力撤去后，物体的形状和体积能完全恢复原状的形变。积能完全恢复原状的形变。(1)(1)长变长变FFSll 称称为为应应变变或或胁胁变变ll 称称为为应应力力或或胁胁强强SF在弹性限度范围内，应力与应变成正比在弹性限度范围内，应力与应变成正比llESF 称称为为杨杨氏氏弹弹性性模模量量E

48、107(2) 切变切变FFSbd S 相对面发生相对滑移相对面发生相对滑移切切变变的的应应变变或或胁胁变变 bdarctan 切切变变的的应应力力或或胁胁强强 SF在弹性限度范围内，应力与应变成正比在弹性限度范围内，应力与应变成正比 GSF 称称为为切切变变弹弹性性模模量量G108(3) 容变容变容容变变的的应应变变 VV VVBp pp ppp ppp ppp p在弹性限度范围内，在弹性限度范围内，压强的改变与容变应变压强的改变与容变应变的大小成正比的大小成正比称称为为容容变变弹弹性性模模量量B109一一 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数tAyOcos 设有一平面简谐波沿设有一平面简谐波

49、沿 轴正方向传播，轴正方向传播， 波速为波速为 ，坐标原点，坐标原点 处质点的振动方程为处质点的振动方程为xuOyxuAAOPx4.4.2 平面简谐波的波动方程平面简谐波的波动方程110 表示质点表示质点 在在 时刻离开平衡位置的距离时刻离开平衡位置的距离.OyyxuAAOPxtAyOcostO 考察波线上考察波线上 点点( (坐标坐标 ),), 点比点比 点的点的振动落后振动落后 , , 点在点在 时刻的位移是时刻的位移是 点在点在 时刻的位移，由此得时刻的位移，由此得uxt ttPxPOPtO考察考察P点的点的振动状态？振动状态？111( )cosPO ttyyA ttuxtA cos 由

50、于由于 为波传播方向上任一点，因此上为波传播方向上任一点，因此上述方程能描述波传播方向上任一点的振动，述方程能描述波传播方向上任一点的振动，具有一般意义，即为沿具有一般意义，即为沿 轴正方向传播的轴正方向传播的平平面简谐波的波函数，又称波动方程面简谐波的波函数，又称波动方程.Px即即:波函数实际上是波在传播过程中质点的振波函数实际上是波在传播过程中质点的振动方程。则波动方程还可以有其他形式。动方程。则波动方程还可以有其他形式。112可得波动方程的几种不同形式：可得波动方程的几种不同形式：利用利用c o sc o s2 xyAtutxATT22uT和和即：任意一点即：任意一点x处质点比已知点的相

51、位落后处质点比已知点的相位落后2x（因为余弦函数的周期为（因为余弦函数的周期为2）cos2xAt113波函数波函数)(cosuxtAy质点的振动速度，加速度质点的振动速度，加速度sin ()yxvAttu )(cos222uxtAtya114二二 波函数的物理含义波函数的物理含义（波具有时间的周期性）（波具有时间的周期性）()()x tx tTyy,tAycos 则则x2令令xtAy2cosOyt 1 一定，一定， 变化变化 xt表示表示 点处质点的振动方程（点处质点的振动方程（ 的关系）的关系）ty x115波线上各点的简谐运动图波线上各点的简谐运动图116Ct 令令（定值）（定值） xAy

52、2cos则则 y o xxtAy2cos 2 一定一定 变化变化xt 该方程表示该方程表示 时刻波传播方向上各质点时刻波传播方向上各质点的位移的位移, 即即 时刻的波形（时刻的波形（ 的关系）的关系）ttxy 117 方程表示在不同时刻各质点的位移，方程表示在不同时刻各质点的位移，即不同时刻的波形，体现了波的传播即不同时刻的波形，体现了波的传播.yxuO3 、 都变都变xt118tAyOcosyxuAAOPx如图，设如图，设 点振动方程为点振动方程为Ouxt 点振动比点振动比 点超前了点超前了PO4 沿沿 轴方向传播的波动方程轴方向传播的波动方程 x119从形式上看：从形式上看：波动是波形的传

53、播波动是波形的传播.从实质上看：从实质上看：波动是振动的传播波动是振动的传播. 对波动方程的各种形式，应着重从对波动方程的各种形式，应着重从物理意义上去理解和把握物理意义上去理解和把握. 故故 点的振动方程（点的振动方程（实际是波动方程实际是波动方程）为：）为：P()cos ()o ttxyyAtu 求波动方程是否一定要波源的振动方程？求波动方程是否一定要波源的振动方程？120 xuOaXybdu)cos(tAyb)(costtAy)(cosudxtAy已知已知b点振动方程：点振动方程：任一点任一点a比比b点晚振动点晚振动udxt/)(其波动表达式方程：其波动表达式方程：即：即：若是左行波：若

54、是左行波：a点只不过比点只不过比b点早振动一段时间：点早振动一段时间：其波动表达式方程：其波动表达式方程：)(cosudxtAy121 例例1 一平面简谐波沿一平面简谐波沿 轴正方向传播，轴正方向传播， 已知振幅已知振幅 ， ， . 在在 时坐标原点处的质点在平衡位置沿时坐标原点处的质点在平衡位置沿 轴正向轴正向运动运动. 求：求： ( (2) ) 波形图；波形图；s0 .1t( (3) ) 处质点的振动规律并作图处质点的振动规律并作图. m5 . 0 x( (1) )波动方程；波动方程；m0 . 1A0tm0 . 2s0 . 2TOxOy解解 ( (1) ) 写出波动方程的标准式写出波动方程

55、的标准式)(2cosxTtAy12220,0tyyv00 xt)(2cosxTtAyyAO2)0 . 20 . 2(2cosxty(m)123 ( (2) )求求 波形图波形图s0.1t2cos0 .1xy波形方程波形方程s0.1t0m/ym/x2.01.0-1.0 时刻波形图时刻波形图s0.1t2)0 . 20 . 2(2cos0 . 1xtyxsin(m)124 ( (3) ) 处质点的振动规律并作图处质点的振动规律并作图 m5 . 0 x2)0 . 20 . 2(2cos0 . 1xty 处质点的振动方程处质点的振动方程m5 .0 xcos ty(m)0m/y1.0-1.0s/t2.0O

56、y*处质点的振动曲线处质点的振动曲线m5 .0 x123412341.0125111234例2 如图所示，有一平面0 5t. s简谐波在 时的波形， 此时P点振动速率14Pvm s ,求波动方程。解： 由图可知：14Am,m,且14PvA(m s)求得14 rad s ,且182um s126设波动方程为xyA costu111234图中，o点：000 5x, y,t. s,求得2 由下一瞬间o点处质点将向y轴正方向运动，则取2 故波动方程为：482xycostm127 例例3 一平面简谐波以速度一平面简谐波以速度 沿直线传播，波线上点沿直线传播，波线上点 A 的简谐运动方的简谐运动方 程程-

57、1sm20u)4cos(1032tyA求求: :( (1) )以以 A 为坐标原点，写出波动方程；为坐标原点，写出波动方程；( (2) )以以 B 为坐标原点，写出波动方程；为坐标原点，写出波动方程；( (3) )求传播方向上点求传播方向上点C、D 的简谐运动方程的简谐运动方程( (4) )分别求出分别求出 BC ，CD 两点间的相位差两点间的相位差. .uABCD5 m9 mxo8 m单位分别为单位分别为m，s).yt, ,; (128( (1) ) 以以 A 为坐标原点，写出波动方程为坐标原点，写出波动方程m10 uTm1032As5 . 0T0)(2cosxTtAyuABCD5 m9 m

58、xo8 m)105 . 0(2cos1032xty(m)129ABABxx 21052B)4cos(1032tyB( (2) ) 以以 B 为坐标原点，写出波动方程为坐标原点，写出波动方程)4cos(1032tyAuABCD5 m9 mxo8 m)105 . 0(2cos1032xty(m)130 ( (3) ) 写出传播方向上点写出传播方向上点C、D的运动方程的运动方程点点C 的相位比点的相位比点A 超前超前)24cos(1032ACtyCm10uABCD5 m9 mxo8 m)4cos(1032tyA)5134cos(1032t(m)131点点 D 的相位落后于点的相位落后于点 A )2c

59、os(41032ADtyDm10uABCD5 m9 mxo8 mm10)4cos(1032tyA(m)59cos(41032t132( (4) )分别求出分别求出 BC ，CD 两点间的相位差两点间的相位差4 . 4102222CDDCxx6 . 110822BCCBxxm10uABCD5 m9 mxo8 mm101331 1波动波动能量的传播能量的传播 波不仅是振动状态的传播，而且也是伴随着振波不仅是振动状态的传播，而且也是伴随着振动能量的传播。动能量的传播。有一平面简谐波有一平面简谐波cos ()xyAtuwjwj=-+质量为质量为在在x处取一体积元处取一体积元dVdmdVr r=质点的振

60、动速度质点的振动速度 sin()yxvAttuw ww wj j= -+4.4.34.4.3波的能量波的能量体积元内媒质质点动能为体积元内媒质质点动能为212kdEv dm=2221sin ()2xAtdVur rw ww wj j=-+134体积元内媒质质点的弹性势能为体积元内媒质质点的弹性势能为222111()()222pESdydEk dydyESdxdxdxxxOxdxOyyyd该体积元所受的弹性力为该体积元所受的弹性力为由由 FdyESdx得得 dyFESkdydx故体积元的弹性势能为故体积元的弹性势能为1352221sin()d2PxdEAtVu2211ddd ()22dpydEk