现代数学概览

1、现代数学概览一、微分流形（manifold）微分流形，也称为光滑流形，是拓扑学和几何学中一类重要的空间，是带有微分结构的拓扑流形。微分流形是微分几何与微分拓扑的主要研究对象，是三维欧式空间中曲线和曲面概念的推广，可以有更高的维数，而不必有距离和度量的概念。 1.微分流形（M）=拓扑空间+微分结构 Mn f R f=f-1 (局部坐标系) 定义：若映射f=f-1：(U)R，x1,x2,xnfx1,x2,xn可微：fxi(i=1,2,n)存在，则称f可微。 我们知道对于一维空间中的映射f有：RR可导：limx0fx+x-f(x)x存在f可微:fx+x-fx=Axx+o(x)对于多维空间中的映射f有

2、:RnRn,(x1,x2,xn)f(x1,x2,xn)，要证明其可导，没法从一维可导推广到多维可导，因此我们从其可微入手，证明其可导性。 fx+x-fx=fx1fxnx1x2+o(x) 若要f在点x0点的可微， 则f=f-1=f-1(-1)可微 f=f-1=f-1(-1)可微 通过以上分析我们可知，存在流行空间到Rn的同肧映射、；-1：UVUV,-1：UVUV 例1.（R,idRn),Sn=(x1,x2,xn)Rn+1|x12+xn+12=1(n维球面） 有：（S2-N,1)R2 （S2-S,2)R2 2.流形空间中“直线”：Mn上连续A、B最短曲线称为A、B之间的“测地线”。 “曲率”K：与

3、欧式空间差别的一种度 欧式空间：K=0 罗巴切夫斯基空间：K=-1黎曼空间：K=1 3.微分拓扑：用微积分方法研究拓扑 我们需要找到“标准”对微分流形全体进行分类，其中一个就是按照是否微分同胚这一标准： 若要M1mM2n，则有：f:M1mM2n同胚 f：可微（无穷次） f-1：可微（无穷次） 2维拓扑紧致流形了可用亏格进行分类：当两个紧致流形亏格一样时，它们就是一样的。 球面的亏格是0；环面是1；双环面是2。 3维紧致流形的分类： 庞加莱猜想：3维单连通流形同胚于3维球面S3； 几何化猜想:美国数学家瑟斯顿（Thurston)认识到3维流形可以用几何构造来分类，任意一个三维一定是8种基本3维流

4、形的拓扑和； 俄罗斯数学家佩雷尔曼证明了3维单连通流形微分同胚于球面S3；（现在数学家门正致力于证明4维单连通流形微分同胚于球面S4） 4维流形的分类较为复杂，没有人提得出关于4维光滑的紧流行的分类，但是可以在一定条件下进行分类，英国数学家唐纳森给出：R4上有无穷多种微分结构。二、微分方程 1.背景引入 惠特尼定理：n维流形一定可以嵌入位数不超过2n+1维的欧式空间中，即存在微分同胚f：MnRn。 我们在研究流形时需要将流形放入更高一维的欧氏空间中进行研究： 研究一维流形时，我们将它嵌入二维欧式空间进行研究。 重要的几何问题时常可以归结为求特定的偏微分方程的解，如著名的阿蒂亚-辛格指标定理是用

5、流形上的线性偏微分方程的一个特殊的类来陈述的，而这一类偏微分方程则是与狄克拉方程的欧几里得形式相关的。 如果存在一个“二阶偏微方程”有解，那么我们就能将n维流形等距嵌入到n维欧氏空间中。 2.微分方程：核心、有主导世界的作用 对世界、宇宙变化过程，对时间、空间最好的刻画就是微分方程。 （1）由牛顿第一定律：F=ma，取xt：t时刻的位移 牛顿第二定律：d2xdt2=F(t,xt,xt)m 例如：水流中，F=-kv2=-k(dxdt)2 （2）电磁学麦克斯韦、薛定谔方程：t=2t2+V 3.复杂网络 复杂系统中的各部分是相互影响的，宏观上看有统计力学。GDP、小世界理论（通过六次联结可以认识世界

6、上任意一人）。 假设影响因素为n个点：ait(i=1,2,n) 则daidt=fa1,a2,an+gt 将上式简化成微分方程组：daidt=j=1nbijaj+g(t),（其中bij是影响因素） 4.2阶偏微分方程 i,j=1naijx2uxixj+i=1nuxi+fx1,x2,xn=0 令Ax=a11a1nan1ann 将2阶偏微分方程分为： 椭圆型：对任意x，Ax正定， 如：拉普拉斯方程，2ux2+2uy2=0； 双曲型：对任意x，Ax非奇异，非正定, 如：波动方程，2ut2=a22ux2； 抛物性：对任意x，Ax退化， 如：热传导方程，ut=a22ux2。 对2阶微分方程的求解方法主要有

7、： （1）达朗贝尔方法（行波法） 令=x-at=x+at 2u=0,u=0 u=f() u=fd+f1=f1+f2 =f1x-at+f2(x+at) （2）傅里叶方法（分离变量法） Ux,t=Xx+Tt XxTt=a2XxTt XxX(x)=Tta2Tt=-（常数） Xx+Xx=0Tt+a2Tt=0 得到2个2阶常微分方程（化繁为简） Ux,t=n=1An(x)sin(nt+n)（任意一个复杂振动是简单振动的叠加） 5.令Fx=f(x)dx 求解：dFdx=f(x) （1）约翰贝努利 1696年瑞士数学家约翰贝努利提出了这样一个问题：设想一个质点沿连接A点和一个低一点B点之间的曲线，仅在重力的

8、作用下无摩擦的下滑。那么，沿怎样的一条路径运动才会使质点下滑所需的时间最少？这就是著名的“最速降线”问题。毫无疑问，直线应该是两点间最短的连线。然而，直线却不是耗时最少的路径。经过思考和运算，约翰贝努利发现：“直线旋轮线”就是连接两点间所需的时间最少的滑动路径。这条线我们现在将其称为“最速降落线”。直线旋轮线还有另外一个特点：17世纪的荷兰科学家惠更斯发现：一个理想的质点，在没有摩擦的情况下，受重力的影响在铅直的旋轮线上振动时，其振动的周期和振幅无关。而一个普通的钟摆，由于其振动的路径是圆弧，因而其振动周期和振幅的无关性只是一个近似的结论。这是用摆制造精确钟表的缺憾。因而旋轮线又被誉为“等时性

9、曲线”和“摆线。 简述“最速降线”问题就是：重力场中小球从A到B，哪条轨道所花时间最短？ 建模：维元法+物理定律 选择合适的y(x)使T总达到最小 T总=x1x21+y2(x)2g(y1-yx)dx 费马定理：光程最短。 （2）变分问题 变分法 微分方程 求解 少 存在性唯一性稳定性 （泛函极值） 转化成 注：稳定性中，对于建立的参数方程U(x,y,z,t,c1,c2,c3),|ci|0,|U|0,其中c1,c2,c3来自现实的测量，存在误差，由拉普拉斯的机械决定论，现实中参数的改变容易造成混沌，因此要确定参数的改变对实际没有太大影响。 （3）偏微分方程的一个最简单的例子就是拉普拉斯方程：u=

10、0.这里的是拉普拉斯算子，它是一个微分算子，而把R3上的函数u=ux1,x2,x3按下面的规则映到R中 ux1,x2,x3=2ux1,x2,x3x12+2ux1,x2,x3x22+2ux1,x2,x3x32， 对于拉普拉斯方程的弱解的存在性的证明比古典解简单，可先求弱解，在通过附加条件证明找到的解是古典解。 （4）弦振动方程：2ut2=a22ux2 弦振动方程描述的是拨动弦后，弦在t时刻偏离x轴位置的位移，因此解U(x,t)一定存在。弦振动方程是U(x,t)的2阶连续偏导，由索伯列夫给出了其弱解。通过这一例子我们可以看到，现实世界的物理量可以通过微分方程建立联系，并通过微分方程的解明晰各物理量

11、之间的关系。 （5）求解（欧拉）：常系数n阶微分方程 andnydxn+a1dydx+a0=0 取yx=ex，则dkydxk=kex 得到代数方程：(ann+a1+a0)ex=0 注：通过yx=ex的代换，做到化繁为简。 可以将这一代数方程推广到Rn、Mn中去，用微分方程来研究流行几何，丘成桐将微分方程和流行几何很好地联系起来创立了几何分析这一数学分支，哈密尔顿为了证明庞加莱猜想，将拓扑问题、几何问题以及微分方程相互联系起来，最后在“小圈猜想”上遇阻，这一猜想后由几何学家佩雷尔曼解决。 （6）泛函微分方程 泛函空间：(R,) 对于xR,F:(X,1)F:(X,2) 有变分推广：Fx+x-Fx=

12、Axx+o(x) 其中ox=o(x)2x10 赋范线性空间+代数结构=算子代数 LX,Y=F:XY线性算子 线性空间 F1,F2LX,Y, F1+F2x=F1x+F2x 若考虑(X,X),F1F2x=F1F2x 左分配率：F1F2+F3=F1F2+F1F3 右分配率：(F1+F2)F3=F1F3+F2F3 满足：F1F2F1F2三、近世代数 近世代数作为数学的一门学科，主要研究对象是代数结构，比如群、环、域、模、矢量空间和代数。这些代数结构中，有的在19世纪就已经被给出了正式的定义。事实上，对近世代数的研究是应数学更严格化的要求而发展起来的。对近世代数的研究还使人们形成了对全部数学和自然科学的

13、基础性逻辑假设（的复杂性）的整体认识，现今，几乎没有那一个数学分支用不到代数学的结论。此外，随着抽象代数的发展，代数学家们发现：明显不同的逻辑结构通过类比可以得到一个很简练的由公理构成的核心。这对深入研究代数的数学家是有益的，并赋予他们更大的本领。 1.代数对象=集合+代数结构 （1）群结构（G，） 封闭性：a,bG,abG 群 结合律：abc=a(cb) 有幺元：eG, ea=ae=a 有逆元：aG, bG,s.t. ab=ba=e n元对称群：Sn=:一一映射（其中=1,2,，n） 例：S3=1,1213,23,(123)(132) （2）通过已知来构造未知 若G1,G2为群，则G1G2也

14、为群，即(V,+)构成群，称为交换群或Abel群； 由G1,G2为群，推不出G1G2为群； 例：G1=1,（12），G2=1，（13）是群，G1G2=1，12，(13)不是群； 若G为群，“HG是群”a,bH,ab-1H,H为G的子结构，称H为子群，记作：HG. 证明：“”是显然的， 下证“”，对a,b,cH，i.e=aa-1H（有幺元）； ii. ea-1H（有逆元）；iii. ab= a(b-1)-1H； iv.a,b,cH,a,b,cG,H满足结合律. （3）商结构 A为集合，“”表示A上的等价关系，令A=a（无交并） A关于等价关系的商集合：A=A/=a|aA 例1：（商空间）UV，在

15、V上定义等价关系“”：V1V2指的是V1-V2U，V=V/U=v|vV=v+u|vV称为V的商空间。 商空间+加法：V1+U+V2+U=V1+V2+U乘法：kV+U=kV+kU 就构成了线性空间。 例2.（商群）NG，G上定义“”，g1g2指的是g1g2-1N. G= G/=G/N=g|gG=Ng|gG（右陪集） gggg,gg-1N,gNg 定义G乘法：Ng1Ng2=Ng1g2 Ng1Ng2=Ng1g2 希望对g1,g2G,g1Ng1,g2Ng1,Ng1=Ng1,Ng2=Ng2Ng1g2=Ng1g2（乘法的well-defined） （4）拉格朗日定理：G为有限群，NGG=NG:N 推论：N

16、GN | G，（G表示G中元素的个数） 例：|S3|=6，HS3，|H|=1,2,3,6 |H|=1时，H=(1) |H|=2时，H=1,(12), 1,(13),1,(23) |H|=3时，H=1,123,(132) |H|=6时，H=S3 G1G2=1,12,13,(132),两个群的乘法不一定是群。 （5）同态基本定理 f:GG群同态：fab=faf(b) fIG=IG , fa-1=f-1(a)； 群同态下的像:Imf=fa|aG:f的像G kerf=aG|fa=IG:f的核G（正规子群） 定义：gG,g-1gN=g-1Ng称N为正规子群 gG,nN,g-1ngN,N=g-1Ng共轭运算 证：kerfG，gG,nkerf fg-1ng=fg-1fnfg=f-1gIGf(g)= IG g-1ngkerf 定理：f:GG群同态，f:GkerfImf，使得f群同构。 例1.G=GL(n,c) C*=G0 AdetA det(AB)=detAdetB 一般线性群GL(n,c)/kerdetC* 特殊线性群SL(n,c),AGLn,c|detA=1=kerdet 例2.G=Z,+Zn,+ f:mm G/kerfZn，kerf=mZ|fm=0=m=nZ Z|nZZn