导数知识点总结

1、知 识 要 点1.导数(导函数的简称)的定义：设X0是函数y f(x)定义域的一点，如果自变量X在X0处有增量X，贝U函数值y也引起相应的增量y f (X0 x) f(Xo);比值丄 竺_x) f(X0)称为函数y f(X)在点xo到Xox之间的平均变化率；如果极XX限lim丄lim竺X) f(X0)存在，则称函数y f(x)在点xo处可导，并把这个x 0 x x 0x极限叫做y f(x)在Xo处的导数，记作f(Xo)或ylxxo ，即、_” y. f(XoX)f(Xo)f (xo) = limlimx0 xx0x注：X是增量，我们也称为“改变量”，因为X可正，可负，但不为零已知函数y f(x

2、)定义域为A，y f(x)的定义域为B，则A与B关系为A B.2.函数y f (x)在点xo处连续与点xo处可导的关系：函数y f(x)在点xo处连续是y f(x)在点xo处可导的必要不充分条件可以证明，如果y f(x)在点xo处可导，那么y f (x)点xo处连续.事实上，令x xox，则x xo相当于x o .于是 lim f (x) lim f (x0xxx 0x) limf(x xo) f(Xo)f(Xo)x 0f (xox)f(xo)lim x 0xf(x0x) f (x0)x f (xo)lim- lim lim f (xo) f (xo) 0 f (xo)f (xo).x 0xx

3、 0x 0如果y f(x)点xo处连续，那么y f(x)在点x。处可导，是不成立的例：f(x) |x|在点xo 0处连续，但在点xo 0处不可导，因为 Li1，当x x x0时，卫1 ；当x V 0时，丄 1，故lim卫不存在.xxx 0 x注：可导的奇函数函数其导函数为偶函数.可导的偶函数函数其导函数为奇函数3. 导数的几何意义：函数y f (x)在点xo处的导数的几何意义就是曲线y f(x)在点(xo, f(x)处的切线的斜率，也就是说，曲线y f(x)在点P(xo,f(x)处的切线的斜率是f(xo)，切线方程为 y yf (x)(x Xo).4、几种常见的函数导数：c o ( C为常数)

4、I(sin x) cosx(In x)1xx x(e ) e5. 求导数的四则运算法则：III(u v) u v y f1(x) f2(x)IIIII(uv) vu v u (cv) c v cvn n 1 z、(x ) nx ( n R)I(cosx) sin x1(log a x) -lOga ex(ax) ax In aIIIIfn (x)y f1 (x) f2(X) . fn(x)cv ( c为常数)vuv20)注：u,v必须是可导函数.若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它 们的和、差、积、商不一定不可导.例如：设f(x) 2sinx -， g(x) c

5、osx ，则f(x),g(x)在x 0处均不可导，但它们 xx和 f (x) g(x) sinx cosx在 x 0处均可导. 6. 复合函数的求导法则： fx( (x) f (u) (x) 或 yx yu ux 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形 .7. 函数单调性：函数单调性的判定方法：设函数y f(x)在某个区间内可导，如果f(x) 0,则y f (x)为增函数；如果f(x) V0,则y f(x)为减函数.常数的判定方法；如果函数y f(x)在区间I内恒有f(x)=0,则y f(x)为常数.注：f(x) 0是f (X)递增的充分条件，但不是必要条件，如y 2x3在(，)上并不是

6、都有f (x) 0 ,有一个点例外即x=0时f (x) = 0 ,同样f (x) 0是f (x) 递减的充分非必要条件 .一般地，如果f (x)在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正(或负)， 那么f (x)在该区间上仍旧是单调增加(或单调减少)的.8. 极值的判别方法：(极值是在X0附近所有的点，都有f(x) V f(X0),则f(x0)是 函数f (x)的极大值，极小值同理)当函数f (x)在点X0处连续时， 如果在X。附近的左侧f(x) 0,右侧f(x) V 0,那么f(X。)是极大值； 如果在X0附近的左侧f (X) V 0,右侧f(X) 0,那么f(X0)是极小值.也就是说X0是

7、极值点的充分条件是X0点两侧导数异号，而不是f(x)=0.此 外，函数不可导的点也可能是函数的极值点. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的， 即有可能极大值比极小值小 (函数在某一点附近的 点不同) .注：若点X0是可导函数f (X)的极值点，贝U f (X) =0.但反过来不一定成立.对于可导函数，其一点X0是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.例如：函数 y f(x) x3， x 0使 f (x) =0，但 x 0不是极值点 .例如：函数y f(x) |x|，在点X 0处不可导，但点X 0是函数的极小值点.9. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较

8、，最值是在整体区间上 对函数值进行比较 .注：函数的极值点一定有意义 .2.3.4.5.6.导数练习、选择题设函数f(x)在R上可导,其导函数f (x),且函数f(x)在x2处取得极小值,设a0,b0,e是自然对数的底数A.B.C.D.若 ea+2a=e+3b,则 ab若 ea+2a=e5+3b,则 ab若 ea-2a=eb-3b,则 a0,b0.()A.若 2a 2a 2b 3b ,则 abB.若 2a 2a 2b 3b,则 abD.若 2a 2a 2b9.设函数f (x)在R上可导,其导函数为f (x),且函数y 的图像如题(8)图所示,则下列结论中一定成立的是A. 函数f (x)有极大值

9、f(2)和极小值f (1)B. 函数f (x)有极大值f( 2)和极小值f(1)C. 函数f(x)有极大值f(2)和极小值f( 2)D. 函数f(x)有极大值f( 2)和极小值f(2) 10 .设函数f(x) xex,则A. x 1为f (x)的极大值点C. x 1为f (x)的极大值点B . x 1为f(x)的极小值点D. x 1为f(x)的极小值点11 .设a 0且a 1 ,则“函数f(x) ax在R上是减函数”,是“函数g(x) (2 a)x3在R上是增函数”的A.充分不必要条件C.充分必要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件12.已知函数y x33x c的图像与x轴恰有两个公

10、共点,则cA.2 或 2B.9或 3C.1 或 1D.3或 1、填空题13.曲线yx(3lnx 1)在点(1,1)处的切线方程为 14. 曲线y x3 x 3在点1,3处的切线方程为三、解答题15. 已知函数f (x) ax3 bx c在x 2处取得极值为c 16(1) 求a、b的值;(2)若f(x)有极大值28,求f(x)在3,3上的最大值.16 .已知 a R,函数 f (x) 4x3 2ax a(1) 求f(x)的单调区间(2) 证明：当 OW x0.17. 已知函数 f (x)- x3 - a x2 ax a(a 0)32 求函数f (x)的单调区间；(II) 若函数f(x)在区间(2,0)内恰有两个零点,求a的取值范围；(III) 当a 1时,设函数f(x)在区间t,t 3上的最大值为 M