高中数学二轮专题复习——数形结合思想

1、思想方法专题数形结合思想【思想方法诠释】一、数形结合的思想所谓的数形结合，就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来，并充分利用这种“结合” ，寻找解题思路使问题得到解决，数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽 了解题思路，是数学的规律性与灵活性的有机结合.数形结合的实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可

2、以使代数问题几何化，几何问题代数化.二、数形结合思想解决的问题常有以下几种：1 .构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；2 .构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；3 .构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；4 .构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；5 .构建立体几何模型研究代数问题；6 .构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；7 .构建方程模型，求根的个数；8 .研究图形的形状、位置关系、性质等。三、数形结合思想是解答高考数学试题的一种常见方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥奇特功效，具体操作时，应注意以下几点：1 .准确画出函

3、数图象，注意函数的定义域；2 .用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图）然后作出两个函数的图象，由图求解。四、在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点：1 .要清楚一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；2 .要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；3 .要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；4 .精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解【核心要点突破】要点考向1:利用数学概念或数学式的几何意义解题例1:

4、实系数一元二次方程 x2+ax+2b=0有两个根，一个根在区间(0, 1)内，另一个根在区间(1, 2)内，求:(1)点(a,b )对应的区域的面积；r (2)也i的取值范围；(3) (a-1) 2+(b-2) 2的值域.思路精析：列出a,b满足的条件一画出点 范围一根据(a-1) 2+(b-2) 2的几何意义求值域.(a,b)对应的区域一求面积一根据1的几何意义求解析：方程x2+ax+2b=0的两根在区间(0,1)和(1,2)上的几何意义分别是：函数y=f(x)= x2+ax+2b与x轴的两个交点的横坐标分别在区间( 0, 1)和(1, 2)内,由此可得不等式组a j f+2=0,解得a (

5、-3 , 1).由,解得c (-10).，在如图所示的aob坐标平面内，满足条件的点(a,b)对应的平面区域为 abc(不包括边界).(1) abc的面积为? (h为a到oa轴的距离).几何意义是点(a,b)和点d(1,2)边线的斜率.,2-1 i l 2m由图可知= i书一彳*匕iti一丁一-1.即-j).1 a_1 a _ 1 i(3) (a-1) 2+(b-2) 2表示的区域内的点(a,b)与定点(1,2)之间距离的平方,a (a-i)-+ct -2)-e (k j7) .注：如果等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要考虑用数形结合的思想方法来解题, 即所谓的几何法求解，比较常见的

6、对应有:(1)(2);n) + (力一加 ( di b) j 加之间的距离;(3)。力”为直角三角形的三边;(4)/( a- g= b g j* 皿)图象的对称轴为x= 2.只要具有一定的观察能力,连线的斜率;再掌握常见的数与形的对应类型，就一定能得心应手地运用数形结合的思想方法.要点考向2:用数形结合求方程根的个数，解决与不等式有关的问题例2:(1)已知：函数f(x)满足下面关系：f(x+1)=f(x-1); 当xc-1,1时，f(x)=x 2,则方程 f(x)=lgx解的个数是(a)5(b)7(c)9(d)10(2)设有函数f(x)=a+；3c和 g(x)=，已知 x -4,0时，恒有 f

7、(x) wg(x),求实数a的范围.思路精析：(1)画出f(x)的图象一画出y=lgx的图象一数出交点个数.(2) f(x) & g(x)变形为一画出工 的图象一画出-1成立的位置的图象一寻找解析：(1)选c.由题间可知，f(x)是以2为周期，值域为0, 1的函数.又f(x) =lgx ,则xc (0, 10,画出两函数图象，则交点个数即为解的个数.由图象可知共9个交点.变形得2为半径的圆的上半圆;,即表示以(-2,0)为圆心,(2) f(x) wg(x)表示斜率为；，纵截距为1-a的平行直线系.设与圆相切的直线为at,其倾斜角为，则有一 u 11、- 一1位tan = ,4. 2c i h-

8、 -7)sle1q _i 八4 i n 辑a事yv t (01要使f(x) wg(x)在x -4,0时恒成立，则成立所表示的直线应在直线at的上方或与它重合，故有 1-a 6, a -5 .注：(1)用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解 的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式 (不熟悉时，需要作适当变形转化为两熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数.(2)解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个) 函数，利用两个函数图象的上、下位

9、置关系转化数量关系来解决不等式的解的问题，往往可以避免 繁琐的运算，获得简捷的解答.(3)函数的单调性经常联系函数图象的升、降；奇偶性经常联系函数图象的对称性；最值(值 域)经常联系函数图象的最高、最低点的纵坐标.要点考向2:数形结合在解析几何中的应用例3:已知椭圆c的中心在原点，一个焦点f(0,且长轴长与短轴长的比是j2：1 .(i )求椭圆c的方程；(n)若椭圆c在第一象限的一点 p的横坐标为1,过点p作倾斜角互补的两条不同的直线pa,pb分别交椭圆c于另外两点a, b,求证：直线 ab的斜率为定值；(出)求 pab面积的最大值.22当1(a b 0)解析：()设椭圆c的方程为a b.2.

10、 22a b c ,a: b .2:1,c 2.八由题息 2分所以椭圆c的方程为(n)由题意知，两直线pa,pb的斜率必存在，设pb的斜率为k ,则pb的直线方程为y ，2 k(x 1),2 k(x1),1.(2 k2 *)x2 2k( .2 k)x ( , 2 k)20 6 分1k2 272k 2设 a(xa, ya) , b(xb,yb),则 b b 2 k2k2 2,2k 2同理可得2 k24、, 2k8kr ya y k(xa 1) k(xb 1) 2 k2 kya所以直线ab的斜率(出)设ab的直线方程为y j2x m.m,1.,2得4x此时(2 .2m)2xaxb16(m2一 2m

11、p到ab的距离为s pab则abd4) 0,得m2 810分ab(xa xb)2 (ya yb)21m2( m2 8)1213分所以pab面积的最大值为j2.注：1.数形结合思想中一个非常重要的方面是以数辅形，通过方程等代数的方法来研究几何问题，也就是解析法，解析法与几何法结合来解题，会有更大的功效.2.此类题目的求解要结合该类图形的几何性质，将条件信息或结论信息结合在一起，观察图形特征，转化为代数语言，即方程（组）或不等式（组），从而将问题解决.要点考向2:数形结合在立体几何中的应用例4：如图1,在直角梯形abcd中，adc 90,cd/ab,ab 4，ad cd 2, m为线段ab的中点.

12、将adc沿ac折起，使平面adc平面abc,得到几何体d abc,如图2所示.（i）求证：bc平面acd ；（n）求二面角a cd m的余弦值.解析：（i）在图1中，可得acbc 2衣，从而 ac2 bc2 ab2,故 ac bc取ac中点。连结do,则doac,又面 adc 面 abc ,面 adc i 面 abc ac , do面acd ,从而od 平面abc .od bc,.又 acbc aci od o,：,bc平面acd.（h）建立空间直角坐标系o xyz如图所示,则 m (0,72,0) , c( 72,0,0) , d(0,0,我)uuuu cm( x2, . 2,0) cd(

13、.2,0, , 2)ur设口（x,y,z）为面cdm的法向量，ur n1 ur则n1uuuu cm uur cd即ur2x . 2yj2x 2z0,解得1，可得(1,1,1)uu又n2（0,1,0）为面acd的一个法向量，ur uu cos n1, r2ur uum 11n21二面角a cd m的余弦值为3 .注：1.应用空间向量可以解决的常见问题有空间角中的异面直线所成的角、线面角、二面角;位置关系中的平行、垂直及点的空间位置.其一般思路是：尽量建立空间直角坐标系，将要证、要 求的问题转化为坐标运算.结合该类图形的几何性质,2 .立体几何问题的求解往往将题目所给信息先转换成几何图形性质,将条

14、件信息和结论信息结合在一起，观察图形特征，为代数法求解找到突破口.【跟踪模拟训练】一、选择题（每小题 6分，共36分）1 .方程lgx=sinx的根的个数（）(a)1 个(b)2 个(c)3 个(d)4 个2 .已知全集u=r集合a=x|x2-3x-103,则右图中阴影部分表示的集合为（）a. (3,5) b.(-2,+) c . (-2,5)d. (5,+3.在平面直角坐标系xoy中，已知平面区域a=(x,y)|x+yw 1,且 x 0,y 0,则平面区域b=(x+y,x-y)|(x,y) a的面积为（(a)2(b)1(c)(d)4.函数f(x)bx2cxd图象如图,则函数3 bxc-的单调

15、递增区间为（3a.2b.2,35.不等式组2a有解,则实数a的取值范围是（)dea. ( 1,3)b. (, 1)u(3,)c. ( 3,1)d. (, 3)u(1,)6.已知f(x)是定义在(-3 , 3)上的奇函数，当0x3时，f(x)的图象如图所示)那么不等式f(x) cosx0(c)(-3i-du(0j)u0则使a b成立的实数 m的取值范围是三、解答题(10、11题每题15分，12题16分，共46分)10.如图，已知四棱锥 p abcd的底面是正方形,pa,底面 abcd,且 pa ad 2 ,点 m、n分别在侧棱pd、pc上，且pm md(i)求证:am，平面 pcd ；uur p

16、n ()若1 ulirnc2,求平面amn与平面pab的所成锐.面角的大小11.如图，l1l2是通过某市开发区中心 0的两条南北和东西走向的道路，连接n两地的铁路2 km、4km ,是一段抛物线弧，它所在的抛物线关于直线l1对称. m到l1、l2的距离分别是n至ij l1、l2的距离分别是 3 km、9 kin .flf(1)建立适当的坐标系，求抛物线弧mn的方程；(n)该市拟在点 0的正北方向建设一座工厂，考虑到环境问题，要求.厂址到点0的距离大于5km而不超过8km,并且铁路上任意一点到工厂的距离不能小于76km.求 此厂离点0的最近距离.(注：工厂视为一个点)12.已知函数 f(x)=-

17、x 2+8x,g(x)=6lnx+m.求f(x)在区间t,t+1 上的最大值 h(t);(2)是否存在实数 m,使彳导y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，说明理由 .参考答案3.与y=sinx的图象，如图.其交点数为3.i u=工十y【解析】选民令由此i v= ar y 1/-= i 可得 go.所以 u!j jc y*x y)(工=(小 i tfc u+ u- .作出不等式组表示的平面区域b,如图所示，根据图形可知该区域为等腰直角三角形，可求出面积,所以平面区域 b的面积为1.s=- x 2x 1 = i4 .答案：d5 .答

18、案：a6【解析】选b.根据对称性画出f(x 在(-3,0), (0,3) 上函数值的正负，(易知不等式f(x)cosx0 的解集是f(x-2): 4 y7【解析】由题意知1廿。上的点及原点的直线斜率，作图如下：二岳3 又又.井0二月一色(nufo 昌.)在(-3,0 )上的图象如图， 结合y=cosx尸|-,-l)uc0.du,习 i=i、几皿 4322，设工，则k为过圆(x-2) +y =17t-11一冬0)5。, 二”由对称性，可得答案：3答案:8.【解析】令f(x)=x 2-4|x|+5=(|x|-2)2+1,其图象如图.画直线y=m,由图象知当1m0表示的平面区域内的点的集合,要使18

19、,则应使圆被平面区域所包含(如图，),即直线x+y+m=0应与圆相切或相离(在圆的下方)，而当直线与圆相切时有m + i.4 r3 支 m 3 j. j2 i，i |故m的取值范围是-1 -1.答案：m-110.解：（i）建立如图所示的空间直角坐标系a xyz,又pa=ad=2 则有 p (0, 0, 2), d (0, 2, 0)m (0,1,1),c(2,2,0).uurpcuuuu(2,2, 2). am (0,1,1)3 分(i)uuuir uulr q am gdduuur uuir0, am gpc 0 am cd, am pc又 pc i cd c,am 平面pcduuirn(x

20、, y, z),q pn (n)设同理可得y23,z4.3即得1 uu.rnc, x2 则有2 2 4n(3,3,3).10 2(2 x),uuruurpc an由0, pc an.uuir平面amn的法向量为pc（2,2，2）.而平面pab的法向量可为uurad(0,2,0),uur unr cos pc, aduur uurpc aduuruurpc ad故所求平面amnw pab所成锐二面角的大小为,3 arccos312分11.解析：（1）分别以l1、l2为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则m (24), n (3,9)4 4a c2设mn所在抛物线的方程为y ax c ,则有

21、9 9a c ,解得c2（说明:所求方程为y x (2wxw3)22分)若建系后直接射抛物线方程为x 2py（p 0）,代入一个点坐标求对方程，本问扣2(2)设抛物线弧上任意一点p (x, x)(2wxw3)2221厂址为点a (0, t) (5t07 分2令 u x , 2w x w3, 4w u w92 2，对于任意的u 4,9,不等式u (1 2t)u (t 6) 0恒成立(*)8分1 2t 159设 f(u) u2 (1 2t)u (t2 6), . 5 t8., 2 2 2要使(*)恒成立，需0,即(2t 1)4(t6) 4 , t的最小值为4所以，该厂距离点 o的最近距离为6.25

22、km12.【解析】(1) f(x)=-x 2+8x=-(x-4) 2+16.图当t+14即t4时，f(x)在t,t+1 上单调递减(如图)，h(t)=f(t)=-t2+8t.fflraf i 1- 6/ - 7 ：二三 擦上、风1(1i -rqxi r (2)函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，即函数()(x)=g(x)-f(x) 的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点.j (x)=x 2-8x+6lnx+m,。、7 电a2h二8工6一年1r1 1直 8 1m5当 x c (0,1)时 4 (x)0, 4 (x)是增函数;当 x c (1,3)时，4 (x)0

23、, 4 (x)是增函数;当 x=1 或 x=3 时，4 ( x) =0.1- 4 (x)极大值=4 (1) =m-7, 4 (x)极小值=4 (3) =m+6ln3-15.当x充分接近0时，4 ( x) 0,.，.要使4 (x)的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，1 以 j ) + rft m 7，i 城外小.=e + (hn3 jo* .1 即 7vm ；x-id1 【解析】选仁桑舍m的长度为1 .集合n的长度为1当m=o,n=时.集合man的长度超小为:十告一i13小川w . a( )/(c)cj mby /( r)n ti i2 11和函数1耳)1邢(小卜3凡日b 噌,一的大小关系是【解

24、析i选el p r) = inn h+ i，的 困总如困.包包.。可出 6 c着作是点(小fg . i h“ _ i卜1 1 (c.fi c)与点(0川)连线的斜率.以山/() a h e -士如图.fi fil卜 分别最帏imt1.- 2 = 6oi的两个但 b点.a和b是联o为一心以 。口为平书的圆与该肺网的两个交点，且eab是等边 jzj(b)ito八u i【解析】选1上依眶点如nf： aff)0zaf fi ?.alafj=4l fi f i = c.iaf-i- 曲捕圆定义群/ af j十i af： i = 2公* c 73 i 1) c- 2&r e- - = /it l a4 .

25、已知函数f(x)=|x 2+2x,若关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0 有7个不同的实数根，则 b, c的大小 关系是()(a)bc (b)b c或bwc中至少有一个正确(c)bc (d)不能确定【解析】选c.f(x)=|x 2+2x|的图象如图.要使关于x的方程f 2(x)+bf(x)+c=0 有7个不同的实数根，则关于f(x)的一元二次方程f2(x)+bf(x)+c=0有两个不同的根.且一个根在(0,1 )内，另一个根为1.则有(bc.5 .若直线y=kx-1与曲线丫=-4一工一一*-三有公共点，则k的取值范围是 的定义域为1,3,且其图象为圆(x-2) 2+y2=1的下半圆，如【解析】二.曲线丫=7- - 4氏-3图所示，则直线y=kx-1要与曲线有公共点，则直线只能处于l 1,1 2之间，且可与11、12重合，则k的取值范围是0, 1.答案：0, 16 .已知有向线段pq的起点p与终点q的坐标分别为p(-1,1),q (2,2).若直线1 :x+my+m=0与有向线段pq延长线相交，求实数 m的取值范围 【解析为mn时.八丁一k与燧竟不符，30时,直线的方程