有限元第二讲杆单元

1、2 杆单元L 杆长A 截面积E 弹性模量（一）直接法导出单元特性杆单元伸长量：ijuu 应变位移关系：应力应变关系：dxduE)()()(xxxuu杆单元位移杆单元应变杆单元应力应变：L应力：LEE杆内力：kLEALEAAF则杆的轴向刚度：LEAk 轴向拉压变形模式下，该杆单元的行为与弹簧单元相同，因此杆单元的刚度矩阵为：比照弹簧元的刚度方程，写出杆单元的刚度方程为：jijijiuuLEAuukkkkff1111LEAk （二）公式法导出杆单元特性假设单元上近似位移函数位移模式一个单元上的位移假设为简单多项式函数。有限元中用插值法通过节点位移（待定参数）定义单元位移函数。 对杆单元，引入局部坐

2、标：则单元近似位移函数（线性位移模式）：定义2个节点的插值函数（形函数）：矩阵形式：NdjijiuuNNu单元应变：BddNdxddxdu单元应变矩阵 BLLNNdxdji/1/1)()(B单元应力：BdEE 下面应用弹性体虚位移原理导出单元刚度方程。q虚位移原理（虚功原理）弹性体受力平衡时，若发生虚位移，则外力虚功等于弹性体内的虚应变能。NdjijiuuNNu对于杆单元，定义虚位移如下：jiuud节点虚位移：单元虚位移分布：dNu节点力（外力）虚功：fdT单元虚应变能：dBBdBdBdTdVEdVEdVVVVTTTT则单元虚应变：dB)( udxd对杆单元应用虚位移原理，得：ddBBdfdT

3、dVEVTT考虑到 的任意性，立刻得到：kddBBfTdVEVVdVEBBkT这就是刚度矩阵的一般形式，可推广到其他类型的单元。杆单元刚度矩阵对于上面的杆单元：与前面直接法得到的公式相同！（三）关于杆单元的讨论1）在单元坐标系下，每个节点一个未知位移分量 一个自由度，单元共有2个自由度。2）单元刚度矩阵元素的物理意义：刚度方程中令： 则：所以，单元刚度矩阵的第i（i=1,2)列元素表示当维持单元的第i个自由度位移为，其它自由度位移为时，施加在单元上的节点力分量。（也可以用此方法直接导出杆单元的刚度矩阵元素，试练习）单元刚度矩阵对称、奇异、主对角元素恒正。01jiuu2111kkffjijiji

4、uukkkkff22211211单元刚度方程（四）举例例1 求图示段杆中的应力。解：分个杆单元，单元之间在节点铰接。刚度矩阵分别为：参考前面弹簧系统的方法，装配杆系统的有限元方程（平衡方程）如下：321321110132022FFFuuuLEA引入边界位移约束和载荷：方程化为：31200110132022FPFuLEA上述方程组中删除第，个方程，得到：解得：位移解：0103321EAPLuuu单元1应力：APEAPLLELuuELEE3031211131200110132022FPFuLEA单元2应力：APEAPLLELuuELEE33023222提示：1）本例中单元应力的计算采用了材料力学中

5、的方法,与采用有限元单元应力公式 的结果相同。2）对锥形杆，单元截面积用平均值。3）求应力之前需要求出节点位移有限元位移法。BdEE 例2：已知：求：杆两端的支反力解（一）2-D空间中杆单元1-D空间杆单元 2- D空间杆单元 坐标变换原来1-D空间中的杆坐标系作为局部坐标系）（，iivuiivu ,)(, yxYX,q向量的坐标变换：iidTd向量的坐标变换矩阵为：lmmlTTTT1显然是正交阵，即：单元节点位移向量的变换式如下：或Tdd T00TT单元节点力的变换为：Tff q刚度矩阵的坐标变换局部坐标系下杆单元的刚度方程为：扩充到4自由度形式：yjxjyixijjiiffffvuvuLE

6、A0000010100000101fdk写成矩阵符号形式：利用前面的向量坐标变换式，得：TfTdk考虑到变换矩阵的正交性，得：Tdd Tff fTdkTT则，总体坐标系中的单元刚度矩阵为：TkTkT用单元刚度矩阵装配结构（系统）刚度矩阵的方法与1-D情况相同。TfTdkfkd 单元应力：即：（二）例题平面桁架由2根相同的杆组成（E，A，L）。求：1）节点2位移2）每根杆应力解：求出每个单元在总体坐标下的刚度矩阵：单元12245ml，1111TkTkT111111111111111121100110000110011000001010000010111001100001100112222LEALEAT2211vuvu单元22222135ml，22T22TkTk111111111111111121100110000110011000001010000010111001100001100112222LEALEAT3322vuvu将单元1，2的刚度方程扩张到系统规模（6阶），相加后引入节点平衡条件：再引入边界约束和载荷：则上面6阶有限元方程凝