人大微积分104对面积的曲面积分课件

1、人大微积分104对面积的曲面积分第四节对面积的曲面积分第四节对面积的曲面积分一、概念的引入一、概念的引入二、对面积的曲面积分的定义二、对面积的曲面积分的定义三、计算法三、计算法人大微积分104对面积的曲面积分 若若曲曲面面 是是光光滑滑的的, 它它的的面面密密度度为为连连续续函函数数),(zyx , 求求它它的的质质量量.实例实例 所谓曲面光滑所谓曲面光滑即曲面上各点处都即曲面上各点处都有切平面有切平面, ,且当点在且当点在曲面上连续移动时曲面上连续移动时, ,切平面也连续转动切平面也连续转动. .一、概念的引入人大微积分104对面积的曲面积分 设曲面设曲面 是光滑的是光滑的, , 函数函数)

2、,(zyxf在在 上有界上有界, , 把把 分成分成n小块小块iS （iS 同时也表示同时也表示第第i小块曲面的面积）小块曲面的面积）, ,设点设点),(iii 为为iS 上上任意取定的点任意取定的点, ,作乘积作乘积 ),(iiif iS , ,并并作作和和 niiiif1),( iS , , 如如果果当当各各小小块块曲曲面面的的直直径径的的最最大大值值0 时时, , 这这和和式式的的极极限限存存在在, ,则则称称此此极极限限为为函函数数),(zyxf在在曲曲面面 上上对对面面积积的的曲曲面面积积分分或或第第一一类类曲曲面面积积分分. .1.1.定义定义二、对面积的曲面积分的定义人大微积分1

3、04对面积的曲面积分即即 dSzyxf),(iiiniiSf ),(lim10 记记为为 dSzyxf),(. dSzyxf),( 21),(),(dSzyxfdSzyxf.2.2.对面积的曲面积分的性质对面积的曲面积分的性质则则及及可可分分为为分分片片光光滑滑的的曲曲面面若若,21 叫叫被被积积函函数数，其其中中),(zyxf.叫积分曲面叫积分曲面 人大微积分104对面积的曲面积分;1),(,22dxdyzzyxzyxfxyDyx dSzyxf),(),(:. 1yxzz 若曲面若曲面则则按照曲面的不同情况分为以下三种：按照曲面的不同情况分为以下三种：三、计算法人大微积分104对面积的曲面积

4、分;1),(,22dxdzyyzzxyxfxzDzx dSzyxf),(则则.1,),(22dydzxxzyzyxfyzDzy dSzyxf),(),(zyxx ：若若曲曲面面3 3. .则则),(zx ：2.若曲面人大微积分104对面积的曲面积分 计计算算 dszyx)(, 其其中中 为为平平面面5 zy被被柱柱面面2522 yx所所截截得得的的部部分分. 例例1 1积分曲面积分曲面 ：yz 5 ,解解投影域投影域 ：25| ),(22 yxyxDxy人大微积分104对面积的曲面积分 dszyx)(故故 xyDdxdyyyx)5(2 xyDdxdyx)5(2rdrrd 5020)cos5(2

5、.2125 dxdyzzdSyx221 dxdy2)1(01 ,2dxdy 人大微积分104对面积的曲面积分例例 2 2 计算计算dSxyz |,其中其中 为抛物面为抛物面 22yxz （10 z）.解解依对称性知：依对称性知：被被积积函函数数| xyz关关于于xoz、yoz 坐标面对称坐标面对称轴轴对对称称，关关于于抛抛物物面面zyxz22 有有 14成立成立，(1 为为第第一一卦卦限限部部分分曲曲面面)xyz人大微积分104对面积的曲面积分dxdyzzdSyx221 dxdyyx22)2()2(1 原式原式dSxyz |dSxyz 14dxdyyxyxxyxyD2222)2()2(1)(4

6、 其其中中1| ),(22 yxyxDxy, 0, 0 yx人大微积分104对面积的曲面积分 利利用用极极坐坐标标 trxcos , trysin ,rdrrrttrdt 102222041sincos4 drrrtdt21050412sin22 令令241ru duuu251)41(41 .42015125 人大微积分104对面积的曲面积分 计计算算 xdS, 其其中中 是是圆圆柱柱面面 122 yx,平平面面2 xz及及0 z所所围围成成的的空空间间立立体体的的表表面面.例例3 3人大微积分104对面积的曲面积分解解 321 其其中中1 ：0 z,2 ：2 xz,3 ：122 yx.投投影

7、影域域1D：122 yx显然显然 011 DxdxdyxdS, 01112 DdxdyxxdS人大微积分104对面积的曲面积分讨讨论论3 时时, 将将投投影影域域选选在在xoz上上.（注意：注意：21xy 分为左、右两片分为左、右两片） 3xdS 31xdS 32xdS（左右两片投影相同）（左右两片投影相同） xzDzxdxdzyyx2212xoz人大微积分104对面积的曲面积分 xzDdxdzxxx22112 1120212xdzdxxx, xdS 00.人大微积分104对面积的曲面积分 计计算算dSzyx)(222 , 其其中中 为为内内接接于于球球面面2222azyx 的的八八面面体体azyx |表表面面.例例4 4被被积积函函数数 ),(zyxf222zyx ,解解关关于于坐坐标标面面、原原点点均均对对称称 , 积积分分曲曲面面 也也具具有有对对称称性性 , 故故原原积积分分 18, (其其中中1 表表示示第第一一卦卦限限部部分分曲曲面面)人