(课标通用)高考数学一轮复习第十二章推理与证明、算法、复数12.5复数学案理

1、 12.5 复数考纲展示？1.理解复数的根本概念，理解复数相等的充要条件.2 .了解复数的代数表示法和几何意义，会进行复数代数形式的四那么运算.3 .了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.考点1复数的有关概念第亀步顾根底熟番教材固根基复数的有关概念(1) 复数的定义形女口 a+ bi( a,b R)的数叫做复数，其中实部是，虚部是复数的分类实数b0,复数z = a +纯虚数 a0,虚数b0,bi a, b Rb0非纯虚数az 0,b0 .(3)复数相等a + bi = c + di ?(a, b, c, d R).(4) 共轭复数a + bi 与 c+ di 共轭?(a, b, c, d R

2、).(5) 复数的模向量6Z的模叫做复数z= a + bi的模，记作 或，即|z| = | a+ bi| =.a2 + b2(a, b R .答案：(1) a b (2)= 工=工(3) a= c 且 b= d (4) a= c 且 b=- d(5)| z|a+ bi|链接教材教材习题改编假设复数z=1 + (m- 1)i为虚数，那么实数 m的取值范围是答案：(汽 1) U (1 ,+)解析：当虚部不等于0,即ml时，复数z为虚数复数有关概念的误区：纯虚数；虚部；共轭复数.(1) 复数z=卅一1 + ( n 1)i是纯虚数，那么实数 m=,复数3 2i的虚部为.(3)复数2 + 3i的共轭复数

3、是 .答案：(1) 1(2) 2(3)2 3i解析：(1)由 m 1 = 0 且 n 1工0,得 np 1.实部为3,虚部为2.(3)复数2 + 3i的共轭复数是2 3i.第因步自主练透典题1(1)2021 江西九江模拟设复数z =宇，那么z的共轭复数为(A丄3i2 2B.1 + 3i2 2C. 1 3iD. 1 + 3i答案解析3132i，: z = 2+2i是虚数单位假设复数a 31十(a R)是纯虚数，那么 a的值为()A. 3 B. 1C. 1D. 3答案D解析 复数 a= a 10_3 i一 = (a 3) i 为纯虚数，二 a 3 = 0,3 i10a= 3.假设复数z满足(3 4

4、i) z= |4 3i|，那么z的虚部为()4A. 4B.-54C. 4 D.-5答案D53+ 4i4解析(3 4i) z=|4 3i| = 5,.z =, z 的虚部为-.3 4i 55(4)2021 江苏卷复数z = (1 + 2i)(3 i)，其中i为虚数单位，那么z的实部是 .答案5解析(1 + 2i)(3 i) = 3 + 5i 2i 2= 5+ 5i，所以 z 的实部为 5.点石成金求解与复数概念相关问题的技巧复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a+ bi( a, b R)的形式，

5、再根据题意求解.考点2复数的几何意义第四步顾根底 II复数的几何意义(1) 复平面的概念建立来表示复数的平面叫做复平面.(2) 实轴、虚轴在复平面内，x轴叫做,y轴叫做，实轴上的点都表示;除原点以外，虚轴上的点都表示(3)复数的几何表示对应对应复数 z a + bi 复平面内的点平面向量答案：(1)直角坐标系(2) 实轴虚轴实数纯虚数 Z(a, b) OZ(1)教材习题改编在复平面内，O是原点，向量OA寸应的复数为2+ i，假设点B是点A关于实轴的对称点，点 C为点B关于虚轴的对称点，那么点 C对应的复数是 答案：2-i解析：点C是点A关于原点的对称点，故其对应的复数是一2 i.5(2) 教材

6、习题改编一-的共轭复数是z,那么| z 3i| =i 2答案：2 ；2解析：55 i 2= 2 ii 2i 2 i 2所以 z= 2+ i ,所以 | z 3i| = | 2 2i| = 22第应步自主练透 根底送分型考点1 i典题2 (1)2021 吉林长春质检复数 的共轭复数对应的点位于( )2 iA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案A1 i3131解析=i，所以其共轭复数为i.2 i5555所以对应的点位于第一象限.(2)在复平面内与复数z=浮牙所对应的点关于虚轴对称的点为A,那么A对应的复数为 ( )A. 1 + 2i B. 1 2iC. 2+ i D . 2+ i答案

7、C5i 1 2i解析依题意，得复数z=1 + 2i 1 2i = i(1 2i) = 2+ i，其对应的点的坐标是(2,1)，因此点 A 2,1)对应的复数为一2+ i.(3) 复数Z1 = 1+ 2i , Z2= 1 i , Z3= 3 4i，它们在复平面上对应的点分别为A, B,C,假设 0C= X OAb 口 OB 入，口 R)，贝y 入+ 口 的值是.答案1解析由条件，得 Oc= (3 , 4) , 0A= ( 1,2) , 0B= (1 , 1),根据 oc= xOA+ 口 ob 得(3 , 4)=入(1,2) + 口 (1 , 1)=(入 +口，2 入一口 ),入+口 = 3,入=

8、一 1,解得2 入一口 =一 4,口= 2.入 + 口 = 1.点石成金对复数几何意义的理解及应用(1) 复数z、复平面上的点 Z及向量OZf互联系，即z= a+ bi( a, b R) ? Z(a, b) ? 6Z(2) 由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联 系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.考点3复数的代数运算第亀步回忆根底T urIZ1id.复数的运算加法:减法:乘法:Z1 乙=(a+ bi)( c + di)=除法:Z1 a+ bia+ bic 一 diac+ bd + bcadZ2c+ dic+ dic dicV孑齐孑i

9、( c+ di主0)-(1)复数的加、减、乘、除运算法那么设 Z1 = a+ bi , Z2= c+ di( a, b, c, d R，那么Z1 + Z2 = (a+ bi) + (c + di)=Z1 乙=(a+ bi) (c + di)= 复数的加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律,即对任何Z1, Z2,zs C,有 Z1 + Z2 =,(Z1 +Z2) + Z3 =(3) 复数的乘法的运算定律复数的乘法满足交换律、结合律、分配律，即对于任意Z1, Z2, Z3 C,有 Z1 Z2 = Z2 Z1,(Z1 Z2) Z3= Z1 ( Z2 Z3) , Z1( Z2 + Z3) = Z1

10、Z2+ Z1Z3.(ac bd) + (ad+ bc)i答案：(1)(a+ c) + (b+ d)i(a c) + (b d)i(2) Z2 + Z1Z1 + (Z2+ Z3)通M：通法掌握复数代数运算中常用的几个结论.在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度.(1)(1 i) 21 il+i(2)i4n4n+1. 4n+24n + 3. 4n . 4n +1. 4n+ 2. 4n+ 3=1, i = i , i = 1, i = i , i + i + i + i,n N.答案：(1) 2i i i (2)0第凤步自主练透2 2典题3(1)2021 吉林实验中学模拟设复数z =

11、1 + i(i是虚数单位)，那么z + z =)A. 1 + i B. 1 iC. 1 i D . 1 + i答案A2 2解析+ z2=+ (1 + i) 2= 1 i + 2i = 1 + i，应选 A.z 1 + i(2)2021 新课标全国卷川假设z= 1 + 2i，那么亠 =()z z 1A. 1 B . 1 C . i D . i答案C解析 zz = (1 + 2i)(1 2i) = 5,4i4i丄=i，应选C.zz 14(3)i是虚数单位，寸2 2 0161 i1 + i 61 i =.答案0解析原式=22 1 008 + 1 + i62! 0086.1 0086 4X2524+

12、2一 .2=+ i = i+ i = i+ i= 1 + i = 01 i1 i2i点石成金复数代数形式运算问题的解题策略(1) 复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四那么运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可.(2) 复数的除法：除法的关键是分子、分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幕写成最简形式第因步课堂归纳感悟提刃方法技巧1.设z= a+ bi( a, b R),利用复数相等和相关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法.2 在复数代数形式的四那么运算中，加、减、乘运算按多项式运算法那么进行，除法那么需分母实数化.3. 复数z= a+

13、 bi( a, b R)是由它的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法.4 .常见结论21 + i 1 i(1)(1 i)2= 2i ；百=i ；市 一 L(2) b+ ai = i( a+ bi).4n4n+ 14n+ 24n+ 3*、(3) i = 1, i = i , i = 1, i = i( n N).(4) i 4n+ i 4n+1+ i 4n+2+ i4n+3= 0( n N).易错防范1.判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义.2 .两个虚数不能比拟大小.3.注意复数的虚部是指在a+ bi( a, b R)

14、中的实数b,即虚部是一个实数.1. 2021 新课标全国卷n z = (m+ 3) + (m 1)i在复平面内对应的点在第四象限,那么实数m的取值范围是()A. ( 3,1)B. ( 1,3)C. (1 ,+s)D. ( g,3)答案：A30n 3解析：由，可得? 3nr1.应选 Am- 10nr12. 2021 山东卷假设复数z满足2z+ z = 3 2i，其中i为虚数单位，那么 z=()A. 1 + 2i B. 1 2iC. 1+ 2iD. 1 2i答案：B解析：设 z= a+ bi( a, b R)，贝U 2z+ z = 2( a+ bi) + a bi = 3a + bi = 3 2i

15、，二 a= 1,b= 2,. z = 1 2i，应选 B.3. 2021 四川卷设i为虚数单位，那么(x+ i) 6的展开式中含X4的项为()A. 15x4 B . 15x444C. 20i x D . 20i x答案：A解析：Ts= Cx4i 2= 15x4，应选 A.4. 2021 新课标全国卷I 设(1 + i) x = 1 + yi，其中x, y是实数，那么|x + yi| =()A. 1B. ：2C3D. 2答案：B解析：/ x, y R, (1 + i) x = 1 + yi , x+ xi = 1 + yi , x = 1y=1, |x + yi| = |1 + i|=；12+

16、12= ；;2.应选 B.5. 2021 天津卷a,b R,i是虚数单位，假设(1 + i)(1 bi) = a,那么詈的值为.答案：2b+ 1 = aa= 2解析：由(1 + i)(1 bi) = a 得 1 + b+ (1 b)i = a,贝U解得所1b=0,b=1,以 a= 2.b6. 2021 北京卷设a R,假设复数(1 + i)( a+ i)在复平面内对应的点位于实轴上，那么a答案：1解析：(1 + i)( a+ i) = (a 1) + (a+ 1)i , a R,该复数在复平面内对应的点位于实轴上， a+ 1 = 0,二a= 1.一课外拓展阅读利用共轭复数的性质解复数方程复数方

17、程是复数学习中的一个重要内容，解题时，不少学生总是迫不及待地将方程中的 复数z设为代数形式 a+ bi( a, b R)，将复数方程转化为实数方程解决.这种方法有时候是 非常费时费力的.有没有解决此类问题的更简单的方法呢？共轭复数的概念在复数学习中占有极其重要的地位，假设能在解复数方程时灵活运用，那么 可以大大减少运算量，起到事半功倍的效果.共轭复数的性质有很多，在此列举几条供大家(1) z R? z= z ;z是纯虚数？z工0且z + z = 0或z= |z| ；2 (3) 1 z| = z z ;(4) 1 z| = | z |.这些性质的应用非常广泛，下面以例题的形式展现上述性质在解复数

18、方程中的应用.典例1 在复数集中解以下方程：(1)2 z i z = 1;(2) z 入 z = 3 (入，3 C,且 | 入 | 工 1).解(1)将原方程两边同时取共轭复数可得2 z + i z = 1 ,联立方程得2z i z = 12 1 解得 z= 3 + 3i.将原方程两边同时取共轭复数可得z 入z =3 ，联立方程得z 入 Z = 3z 入 z = 3 ,从而(1 一入入)z =入3 +3 .因为|入|工1,所以1入丁工0,入 3 +3所以z=.1 入入方法探究求解此题(1)时，常设z= a+ bi( a, b R)，代入原方程，利用复数相等的充要条件建立方程组求 a, b.题(2)假设用上述方法求解那么非常繁琐