管道线路布置的优化设计

1、管道线路布置的优化设计摘要管道运输是输送石油的一个重要途径，设计合理的管线铺设方案，不仅可以节省铺设的费用，还可以减少后期运输的成本，提高经济效益。本文针对题目中给出的不同情况，设计了不同情况输油管线的详细方案。针对问题一：根据两个炼油厂到铁路线距离和两个炼油厂间的不同距离以及共用管线与非共用管线的两种不同情况，对不共用管线时进行的分析，对共用管线时进行，的分析。最终可以将模型归纳为：运用轴对称定理建立的非线性优化模型。在模型检验中运用费马点对模型进行检验，可以证明该模型的正确性。 针对问题二：在已经确定了两个炼油厂的地点一个在郊区一个在城区的情况下，由于在城区的管道铺设还需增加拆迁和工程补偿

2、等附加费，首先按照各级公司的各项数据运用进行综合评价法分析，得到甲，乙等级公司的评估可信度之比为1:0.426，从而得到拆迁和工程补偿等附加费用的期望值为万元/千米，。然后根据问题一中的模型三，运用编程的方法，得出将火车站建在点（4.427985,0) 时费用最少为502.6264万元，此时的城郊结合处坐标为(15，6.547257)，无共用管线，两厂管道交汇处坐标为(4.427985，0.4435016)。在用求解得到费用最小的线路后，控制变量，保持和的条件不变，对进行灵敏度分析，可以总结出如下结论：当的值大于4.427985时，随着值得增大，和的值都在小幅度的减小，以此来保证费用较小。针对

3、问题三：根据题中给出的数据，可以将火车站分为建立在城区和郊区两种情况，根据通用模型三，运用编程的方法，将已知数据代入，得到将火车站建在郊区坐标为（5.323864,0）时费用最少为458.6181万元。为了检验计算的准确性，利编程进行模拟，得到最小总费用为523.6968万元，火车站的坐标点位（14.9820,0），共用管道的坐标为（14.9820,0.0772）.由此可得，我们建立的模型是可行的。针对论文的实际情况，对论文的优缺点做了评价，文章最后还给出了其他的方法，以用于参考。关键词：轴对称定理 非线性优化模型 费马点 综合评价法 1、问题重述某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁

4、路线上增建一个车站，用来运送成品油，成品油由输油管线运往火车站。问题一，要针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形提出设计方案，并要考虑是否使用共用管线以及共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。问题二，对于一个具体实例，在所有管线的铺设费用均为每千米9.5万元时，但铺设在城区的那部分管线，还需增加拆迁和工程补偿等附加费用。为对此项附加费用进行估计，聘请了三家工程咨询公司进行了估算。三家工程咨询公司的资质分别为甲级、乙级、乙级，附加费用的估价分别为每千米24万元、21万元、25万元。要求给出管线布置方案及相应的费用。 问题三，在与问题二相同的实例中，为进一步节省费用，可以根

5、据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管，这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米7.6万元，输送B厂成品油的每千米8.0万元，共用管线费用为每千米11.2万元，拆迁等附加费用同上。要求给出管线最佳布置方案及相应的费用。2、问题分析本题中，某油田计划在铁路一侧建造两家炼油厂，同时在铁路上增建一个车站，用于运送成品油。针对问题一，根据两个炼油厂到铁路线距离和两个炼油厂间的不同距离以及共用管线与非共用管线的两种不同情况，在不共用管线时设一个炼油厂为A,一个炼油厂为B，从炼油厂A到火车站的管线费用为万元/千米，从炼油厂B到火车站的管线费用为万元/千米，对不共用管线时进行的分析；在共用管线时，设

6、共用管线的费用为万元/千米，对共用管线时进行的分析。最终可以将模型归纳为：运用轴对称定理建立的非线性优化模型。在模型检验中运用费马点对模型进行检验，可以证明该模型的正确性。针对问题二，在给定数据的条件下铺设管线时，因为所有管线均为9.5万元/千米，因此不考虑共用和非共用管线的价格不同的情况，但因为在城区的管线需增加拆迁和工程补偿等附加费用，设计学院聘请了三家不同资质的咨询公司，得到3个估价，因此需要对着3个估价进行数据处理，得到一个加权后的附加费用估计值。确定在郊区和在城区的管道长度，就能得到费用的最低值。针对问题三，对于问题二这个实例，为了进一步节省费用，选用相适应的的油管，这就存在有共用管

7、道和没有共用管道的两种情况，对模型进行比较，就可以得到最优解，最后利用编写模拟程序进行模拟，得出模拟值与其比较，检验计算的准确性。3、模型假设与符号说明3.1模型假设假设一：城区和郊区地形良好，管道在城区与郊区都能直线铺设；假设二：在铺设管道过程中，不考虑由于河流、山坡等障碍而增加费用；假设三：共用管道与非共用管道接口处的长度忽略不计；假设四：管道铺设在边界线上时不算入拆迁和工程补偿等附加费用；假设五：不考虑由于在铺设管道时造成的意外事故所赔偿的费用；假设六：管道铺设后不会对周围的环境造成污染；3.2符号说明符号解释炼油厂的地点炼油厂的地点铁路上的火车站点共用管线的起点炼油厂点的纵坐标炼油厂的

8、横坐标炼油厂的纵坐标铁路上的火车站点横坐标铁路上的火车站点纵坐标管线建设的总费用通往炼油厂的管线每千米的费用通往炼油厂的管线每千米的费用共用管线每千米的费用最终估计的附加费用公司可信度估计权重4、模型的准备在已经确定了两个炼油厂的地点一个在郊区一个在城区的情况下，由于在城区的管道铺设还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，对此项附加费用进行估计。在得到三家工程咨询公司的估算价格之后，由于三家公司的资质情况和估算费用结果不经相同，如下表所示：工程咨询公司公司一公司二公司三 附加费用（万元/千米）242125因公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质，我们在查阅中国工程咨询公司资格认定6方法后，按

9、照各级公司的各项数据运用进行法分析，得到二者的与最优方案接近程度比为1:0.426为我们将附加费用按此照权重进行再次估计：根据公司不同赋予不同权重：计算可得拆迁和工程补偿等附加费用的期望值为（万元/千米）。5、模型的建立于求解.1问题一：5.1.1.1模型一的建立： 不共用管线的情况 首先考虑没有共用管线的方案，管线铺设总费用主要包括两部分： 首先设点A的坐标为，点B的坐标为，A厂到车站的管线铺设费用万元每千米、B厂到车站管线铺设费用。在没有共用管线情况下，我们应该将车站建铁路线上，不妨令该点的坐标为。因为不共线时C点在轴上面，即C点的坐标为，所以我们有，从而总建设费用为：图（5.1.1）那我

10、们的问题转化为求点的位置（求的值），使得管线建设费用最少。为此我们可以得到模型一： (5.1.1) 对于模型一： (5.1.2) 下面确定车站位置使得总建设费用最小。利用费尔马极值原理，考虑其导数 (5.1.3) 讨论：Step1、当，即两炼油厂的每千米的管线铺设费用相等，则(5.2)式可转化为： 令，即：(5.1.4)当时，如图5.1.2所示。图(5.1.2)由于每千米的管线建设费用相同，且不考虑拆迁和工程补偿等附加费用，只需建设车站使得A厂和B厂到车站的管线总长度最小即可。由光的反射定理，可知将火车站建在直线与轴的交点处（其中点是点关于轴的对称点）。解得： 讨论这两个解：在没有共用管线的情

11、况下，且炼油厂A与炼油厂B的每千米管线建设费相等时，即。图(5.1.3) 如图5.1.3所示：由于炼油厂A与B的管道建设费用相等，即=，则连接车站到炼油厂A的距离与车站到炼油厂B的距离之和最短，为最优。在平面直角坐标系中，以x轴为对称轴，找一点使得点与点关于x轴对称。连接点，与x轴相交于点C。故有：,根据两点间直线距离最短可得出点C到点A的距离加上点C到点B的距离为最短。故点C必须在X轴上。根据两炼油厂都在铁路一侧，有且，首先考虑第一个解：，故有意义。将代入(5.1.1)式，则最省的费用为：其中车站应建在点处。其次考虑第二个解，特别的，当时，点C的坐标为；当时，(a)、如果，则，(b)、如果，

12、则。故解无意义。Step2、当，则其导数为： (5.1.5)令可得的符号解。5.1.2.1模型二的建立：共用管线的情况a.当两炼油厂的连线所在直线垂直于铁路线时，如图5.1.4所示（A，B上下位置可互换）： A (51.4) B O 铁路线明显的，从远油厂铺设非共用管道到近油厂，再从近油厂铺设共用管道到增建的车站，费用最少（注：通过相关资料查得安全距离大致应在1000米以上,所以 AB的距离 ）。 此时，总费用为：() 当时：=+ 当时： b.当两炼油厂的连线所在直线不垂直于铁路线时，建立模型二，如图5.1.6所示（其中大小不确定）： 由于两种管道的单位造价相同，要使总铺设费用最小，则应使铺设

13、距离最短，为求得最小距离，则必须确定两种管道的结合点O。 于是问题转化为在四边形内找一点，使最小。据实际情况判断，应界定在矩形AEDO内。铁路线 E 图（5.1.5）如图5.1.5所示，设车站建在点处，由于两种管道的单位造价相同，要使总铺设费用最小，则应使铺设距离最短，为求得最小距离，则必须确定两种管道的结合点,连接尺寸CC垂直于铁路线，炼油厂与炼油厂的管线相交于点处，使最小。 炼油厂的管线建设费用为，炼油厂的管线建设费用为，共用管线建设费用为。则总建设费用为：在此情况下，我们的问题实际上可以转化为模型二：对于模型二： 讨论:Step1、当时，即所有管道价格一样 则其对的偏导数：对的偏导数令=

14、0，=0 有方程组：解方程组得：把其结果代入目标函数有： Step2、当时.即共管线，且共用管线费用与非共用管线费用不同，其目标函数为： 其对的偏导数：对的偏导数令=0，=0 有方程组：利用解方程组得： Step3、当，即所有费用都不相同的情况下，管道费用为：对它求的偏导数：求对的偏导数：令， 有方程组：，对于给定的数值，可以求出,然后可以求出目标的最优值。5.1.3模型三的建立综合以上的模型一与模型二可以建立一个综合模型三：当时：当时：根据上述思路编写程序，流程图如下所示。5.问题二：5.2.1模型四的建立在此种情况下两炼油厂位置分别处于郊区和城区，所以我们分别讨论车站建在郊区和车站建在城区

15、的情况，分别计算出两种方案管线所需要的费用。最终确定方案的费用Z为车站位于郊区的费用和车站位于城区的费用二者的最小值。按照问题1所简历的模型，我们以铁路为x轴，A点与铁路的垂线为y轴做出如下图：郊区城区郊区城区S（x1,0）S（x1,0）ab 图（5.21）当火车站位于郊区时（如上图a），位于城区的管道线路就只有段，：当火车站位于城区时（如上图b），位于城区的管道有、和三段，所以对于模型四为5.2.2模型四求解：由题目可求得(万元/千米)。根据题意，。带入题目可得当火车站建在郊区时： 当火车站建在城区时： 运用软件编程求解（程序见附录）可以得到以下两种情况下的结果如下表：车站建在郊区车站建在城

16、市总费用（万元）502.6264 568.4405城郊结合处坐标（x,y）(15，6.547257) (15,0)铁路坐标(x,y)(4.427985,0)(15,0)两厂管道交汇处坐标（x,y）(4.427985，0.4435016) 无共用管线则有所以最优方案总花费为502.6264万元，车站建在距离坐标远点4.427985千米的火车道上。，两油厂的管线在坐标(4.427985，0.4435016)处交接，然后使用公共管线垂直到达铁路线上的车站。用做出其准确图形如下：5.3问题三5.3.1 模型五的建立在问题二中，我们已经建立了近似情况下的一般模型。本问题和问题二相比，正好是管线铺设费用的

17、数值不一样了的情况，根据问题2模型具有的推广性质，我们完全可以用问题二的模型来解决问题三。5.3.2模型五的求解根据题意，我们将数据，代入模型得将火车站建立在郊区时：将火车站建立在城区时：用编程求解（程序见附件）可解出结果如下：车站建在郊区车站建在城市总费用（万元）458.6181520.1667管线的城郊处坐标（x,y）（15，6.561749）（15，0.2040007E-07）铁路坐标(x,y)（5.323864,0）（15,0）两厂管道交汇处坐标（x,y）无共用管线无共用管线所以最优方案总花费为458.6181万元，车站建在距离坐标远点5.323864千米的火车道上。，两厂无共用管道。

18、用做出其准确图形如下：6、模型结果分析与检验对于问题一，当管线费用相同我们出了用以上方法证明之外，我们也可以根据费马点来来证明此点为管线交接的最优点有且仅有此点三角形的内角都小于120的情况：首先证明三条线交于一点。 设为线段和的交点。注意到三角形和三角形是全等的，三角形可以看做是三角形以点为轴心顺时针旋转60度得到的，所以角等于60度，和相等。因此，四点共圆。同样地，可以证明四点共圆。于是：从而。于是可以得出：四点共圆，即,三点共线。也就是说 三条线交于一点。接下来证明交点就是到三个顶点距离之和最小的点。 在线段上选择一点，使得。由于，所以等腰三角形是正三角形。于是。同时、，于是可以得出三角

19、形和三角形是全等三角形。所以。综上可得出：对于平面上另外一个点，以为底边，向下作正三角形。运用类似以上的推理可以证明三角形和三角形是全等三角形。因此也有：平面上两点之间以直线长度最短。因此 也就是说，点是平面上到点距离的和最短的一点。最后证明唯一性。 如果有另外一点使得，那么因此点和也在线段之上。依照和的定义，可以推出因此也是三条线的交点。因此点也就是点。因此点是唯一的。一内角大于120的情况。 如右图，大于120，为三角形内一点。以为底边，向上作正三角形；以为底边，向上作正三角形。于是三角形和三角形是全等三角形。所以. 延长交于点，则. 即. 所以A点到三顶点的距离比三角形内任意一点到三顶点

20、的距离都小，即A点为费马点。对于问题2的模型，我们使用的是赋权值进行机选取得加权平均数的方法来确定估计值，但是在实际的工程中，人们常使用其它经济学方法来进行分析讨论，例如乐观决策法（好中求好，附近费用为21万元/千米），悲观决策法（小中取大,附加费用为25万元/千米）等方法来确定附近费用的值，但由于存在较大的误差。所以我们选用了加权平均数来确定附加费用。有较强的说服力。在用求解得到费用最小的线路后，控制变量，保持和的条件不变，对进行灵敏度分析，可以总结出如下结论：当的值超过我们求出来的费用最小的值，即4.427985时，随着值得增大，和的值都在小幅度的减小，以此来保证费用较小。 对于问题三的模

21、型，虽然对于假设车站在城区的情况下计算出之后两厂有2CM的共用管道距离，但是在现实生活中，考虑到链接管道时需要的额外费用，此距离是可以忽略不计的，所以我们可以认为在问题三的第二种情况下是没有共用管道的，所以模型仍有其的合理性。7、模型推广与改进在此模型中，我们的假设条件在现实使用中有一定困难，在实际运用上的提高还有待提高。同时模型可以应用到在铁路线一侧建立多个炼油厂的设计中，若只在铁路线上建设一个车站，则依然设共用管线与非共用管线的交点，若建立多个车站就不适用了，应建立更好的模型。另外，考虑炼油厂建设在铁路线的两侧，则不需要考虑共用管线的问题，即只需假设出车站的位置即可。8、模型的优缺点模型的

22、优点：模型的可操作性强，运用我们提供的模型，在直接修改数据的情况下就可以计算出全局最优解，具有一定的普遍性；运用的模型和理论都很浅显易懂，且具有较强的说服力。模型的缺点：为了建模的方便，对一些非主要的因素做了合理的假设，这就造成结果上的一定误差；运用得方法较单一，可比性不强。参考文献1谢金星、薛毅编著；优化建模与LINDO/LINGO软件,北京：清华大学出版社,2005年7月。2姜启源、谢金星、叶俊；数学建模(第三版),北京：高等教育出版社,2004年。3赵静、但琦；数学建模与数学实验,高等教育出版社 施普林格出版社,2000年。4姜启源等编著；大学数学实验,北京：清华大学出版社,2005年2

23、月。5 皮耶德费马；费马点，6中华人民共和国国家发展和改革委员会令第29号工程咨询单位资格认定办法，附录问题二模型及结果：TOPISISa=500 60 18 9 6 5 2 10 200 30 9 5 3 5 2 8 50 15 3 2 2 5 1 5;m,n=size(a);b=;for i=1:m for j=1:n b(i,j)=a(i,j)/ sqrt(sum(a(:,j).2); endendc=;d=;for j=1:n for i=1:1 c(i,j)=max(b(:,j) ; d(i,j)=min(b(:,j); endende=;f=;g=;for i=1:m e(i,1)

24、=sqrt(sum(b(i,:)-c)2); f(i,1)=sqrt(sum(b(i,:)-d)2); g(i,1)=f(i,1)/(e(i,1)+f(i,1);endg:min=(sqrt(x2+(3-y)2)+y+sqrt(y1-y)2+(15-x)2)*9.5+(sqrt(25-15)2+(8-y1)2)*(9.5+23.54);x=0;x=0;y1=0;y1=15;x=0;y1=0;y1=0;x=0;y=0;y1=15;x=0;y1=0;y1=8; Global optimal solution found. Objective value: 520.1667 Objective bound: 520.1667 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 288 Total solver iterations: 52939 Variable Value Reduced Cost Y1 0.2040007E-07 0.000000