必修5_第一章_正弦定理和余弦定理_知识点及典型例题

1、必修 5_第一章_正弦定理和余弦定理_知识点及典型例题-作者 xxxx-日期 xxxx【精品文档】【精品文档】正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理要点梳理要点梳理1正弦定理正弦定理其中其中 R 是是三角形外接圆的半径由正弦定理可以变形为：三角形外接圆的半径由正弦定理可以变形为：(1)abcsin Asin Bsin C；(2)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；(3)sin Aa2R，sin Bb2R，sin Cc2R等形式，以解决不同的三角形问题等形式，以解决不同的三角形问题2三角形面积公式三角形面积公式SABC12absin C12bcsin A12acsin Babc4

2、R12(abc)r(r 是三角形内切圆的半径是三角形内切圆的半径)，并，并可由此计算可由此计算 R、r.3余弦定理：余弦定理：222222222abc2bccos Abac2accos Bcab2abcos C ， ， .余弦定理可以变形为：余弦定理可以变形为：cos A222bca2bc，cos B222acb2ac，cos C222abc2ab.4在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角已知两边及一边的对角，求其它边或角情况情况(2)中结果可能有

3、一解、二解、无解，应注意区分中结果可能有一解、二解、无解，应注意区分余弦定理可解决两类问题：余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角或两边及一边对角的问题；已知两边及夹角或两边及一边对角的问题；(2)已知三边问题已知三边问题基础自测基础自测1在在ABC 中，若中，若 b1，c 3，C23，则，则 a 1.2已知已知ABC 的内角的内角 A，B，C 的对边分别为的对边分别为 a，b，c，若，若 c 2，b 6，B120，则，则 a_.3在在ABC 中，若中，若 AB 5，AC5，且，且 cos C910，则，则 BC 4 或或 5 .4已知圆的半径为已知圆的半径为 4，a、b、c 为该圆的内

4、接三角形的三边，若为该圆的内接三角形的三边，若 abc16 2，则三角形的面积为，则三角形的面积为(C)A2 2B8 2C. 2D.222sinsinsinabcRABC2【精品文档】【精品文档】题型分类题型分类深度剖析深度剖析题型一题型一利用正弦定理求解三角形利用正弦定理求解三角形例例 1 1在在ABCABC中，中，a a 3 3，b b 2 2，B B4545. .求角求角A A、C C和边和边c c. .思维启迪思维启迪 已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注意已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注意解的判断解的判断解解:由

5、正弦定理得由正弦定理得asin Absin B，3sin A2sin 45，sin A32.ab，A60或或 A120.当当 A60时，时，C180456075，cbsin Csin B6 22；当当 A120时，时，C1804512015，cbsin Csin B6 22.探究提高探究提高(1)(1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可(2)(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时

6、要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意点，应引起注意变式训练变式训练 1 已知已知 a，b，c 分别是分别是ABC 的三个内角的三个内角 A，B，C 所对的边，若所对的边，若 a1，b 3，AC2B，则则A6解析解析AC2B，B3.由正弦定理知由正弦定理知 sin Aasin Bb12.题型二题型二利用余弦定理求解三角形利用余弦定理求解三角形例例 2在在ABC 中，中，a、b、c 分别是角分别是角 A、B、C 的对边，且的对边，且cos Bcos Cb2ac.（1）求角求角 B 的大小；的大小；(2)若若 b 13，ac4，求，求ABC 的面积的面积解解(1)由余弦定理知：由余弦定理知：c

7、os Ba2c2b22ac，cos Ca2b2c22ab.将上式代入将上式代入cos Bcos Cb2ac得：得：a2c2b22ac2aba2b2c2b2ac，整理得：整理得：a2c2b2ac. cos Ba2c2b22acac2ac12.B 为三角形的内角，为三角形的内角，B23.(2)(2)将将b b 1313，a ac c4 4，B B2 23 3代入代入b b2 2a a2 2c c2 22 2acaccoscosB B，得，得b b2 2( (a ac c) )2 22 2acac2 2acaccoscosB B，13131616【精品文档】【精品文档】2 2acac1 11 12

8、2 ，acac3.3.S SABCABC1 12 2acacsinsinB B3 3 3 34 4. .探究提高探究提高(1)(1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键(2)(2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用. .变式训练变式训练 2 已知已知 A、B、C 为为ABC 的三个内角，其所对的边分别为的三个内角，其所对的边分别为 a、b、c，且，且2A2cos+cos A=02

9、. .(1)求角求角 A 的值；的值；(2)若若 a2 3，bc4，求，求ABC 的面积的面积解解(1)由由2A2cos+cos A=02，得，得 1cos Acos A0，即，即 cos A12.0A，A23.(2)由余弦定理得由余弦定理得，a2b2c22bccos A，A23，则则 a2(bc)2bc，又又 a2 3，bc4，有有 1242bc，则，则 bc4，故，故 SABC12bcsin A 3.题型三题型三正、余弦定理的综合应用正、余弦定理的综合应用例例 3. 在在ABC 中，中，a、b、c 分别是角分别是角 A、B、C 的对边的对边222 2(sinsin)()sin,ACabB已

10、知ABC 外接圆半径为外接圆半径为2 .（1）求角）求角 C 的大小；的大小；（2）求）求ABC 面积的最大值面积的最大值.解解: （1）ABC 外接圆半径为外接圆半径为2，222 2(sinsin)()sin,ACabB且22(2 2sin)(2 2sin)()2 2sin,ACabB即由正弦定理得：由正弦定理得：22() ,acab b即即222,abcab由余弦定理得：由余弦定理得：222cos2abcCab2abab12，(0 , )C，.3C（2）max332S探究提高探究提高在已知关系式中，若既含有边又含有角通常的思路是：将角都化成边或将边都化成角，再结在已知关系式中，若既含有边又

11、含有角通常的思路是：将角都化成边或将边都化成角，再结合正、余弦定理即可求角合正、余弦定理即可求角【精品文档】【精品文档】变式训练变式训练 3 在在ABC 中，内角中，内角 A，B，C 所对的边长分别是所对的边长分别是 a，b，c.(1)若若 c2，C3，且，且ABC 的面积为的面积为 3，求，求 a，b 的值；的值；(2)若若 sin Csin(BA)sin 2A，试判断，试判断ABC 的形状的形状解解(1)c2，C3，由余弦定理由余弦定理 c2a2b22abcos C 得得 a2b2abABC 的面积为的面积为 3，12absin C 3，ab4. 联立方程组联立方程组a2b2ab4，ab4

12、，解得解得 a2，b2.(2)由由 sin Csin(BA)sin 2A，得，得 sin(AB)sin(BA)2sin Acos A，即即 2sin Bcos A2sin Acos A，cos A(sin Asin B)0，cos A0 或或 sin Asin B0，当当 cos A0 时时，0A，A2，ABC 为直角三角形为直角三角形；当当 sin Asin B0 时时，得得 sin Bsin A，由正弦定理得由正弦定理得 ab，即即ABC 为等腰三角形为等腰三角形ABC 为等腰三角形或直角三角形为等腰三角形或直角三角形思想方法思想方法感悟提高感悟提高方法与技巧方法与技巧1正、余弦定理和三角

13、形面积公式是本节课的重点，利用三角形内角和、边、角之间的关系，三角函数正、余弦定理和三角形面积公式是本节课的重点，利用三角形内角和、边、角之间的关系，三角函数的变形公式去判断三角形的形状，求解三角形，以及利用它们解决一些实际问题的变形公式去判断三角形的形状，求解三角形，以及利用它们解决一些实际问题2应熟练掌握和运用内角和定理：应熟练掌握和运用内角和定理：ABC，A2B2C22中互补和互余的情况，结合诱导公式可以中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数减少角的种数3正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正、余弦定理结合得正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正、余弦定理结合得 sin2A

14、sin2Bsin2C2sin Bsin CcosA，可以进行化简或证明，可以进行化简或证明4根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；化边为角；(2)化角为边，并常用正弦化角为边，并常用正弦(余弦余弦)定定理实施边、角转换理实施边、角转换失误与防范失误与防范在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解或无解，所以要进行分类讨论可能出现一解、两解或无解，所以要进行分类讨论【精

15、品文档】【精品文档】过关精练过关精练一、选择题一、选择题1在在ABC 中，中，A60，a4 3，b4 2，则，则 B 等于等于()A45或或 135B135C45D以上答案都不对以上答案都不对2ABC 中中，若若 a4b4c42c2(a2b2)，则角则角 C 的度数是的度数是()A60B45或或 135C120D303在在ABC中，中，ABCSbcABC, 35,20 的外接圆半径为的外接圆半径为3，则，则a（ ）A1B2C3D234在在ABC中，已知中，已知,45, 1,2 Bcb则则a等于（等于（ ）A226 B226 C21 D23 5在在ABC中中2,3,3,ABACBA AC 则则A

16、 等于（等于（ ）A120B60C30D1506在在ABC中，中，7:5:3: cba， 则这个三角形的最大角为（则这个三角形的最大角为（ ）A30B90C120D607在在ABC 中中,已知已知三边之比三边之比4:3:2:cba，则，则CBA2sinsin2sin（ ）A1B2C2D218ABC中，边中，边cba,的对角分别为的对角分别为 A、B、C，且，且 A=2B，32ab ，cosB （ ）A21B31C32D43二、填空题二、填空题9在在ABC 中中,已知已知 2sinAcosB=sinC,那么那么ABC 的形状是的形状是三角形三角形10在锐角在锐角ABC 中，中，a，b，c 分别为角分别为角 A，B，C 所对的边，且所对的边，且3a2csin A，则角，则角 C_.1111在在ABCABC 中，边中，边 a a，b b，c c 的对角分别为的对角分别为 A A、B B、C C，且，且BCACA222sinsinsinsinsin。则。则角角B=B=。【精品文档】【精品文档】三、解答题三、解答题12(12 分分)已知