求随机变量的分布律（或分布密度）、分布函数VIP

1、求随机变量的分布律（或概率密度）、分布函数杨 兰【关键词】分布律 概率密度 分布函数【摘要】本文紧紧抓住求随机变量的分布律（或概率密度）、分布函数的关键：（1）把握分布函数的定义（2）熟练掌握常见的分布。对离散型，连续型随机变量，分情况讨论了一维，二维随机变量以及随机变量函数的分布律（或概率密度）、分布函数的求解方法。引言 求随机变量的分布律（或概率密度）、分布函数是概率论与数理统计中的重点、难点，但对这类问题也有一定的规律可循，其中最重要的两点：（1）把握分布函数的定义（2）熟练掌握常见的分布。本文仅就一维、二维的随机变量进行讨论。一、求一维随机变量的分布律（或概率密度）、分布函数1、离散型

2、随机变量X可能取值为 (k=1,2,)，X取各个可能值的概率:PX=, k=1,2, (*1)这里满足:(1) 0 , k=1,2, (2) =1(*1)式即为离散型随机变量X的分布律,函数F(x)=PXx=即为X的分布函数,这是一个跳跃函数,它在每个处有跳跃度。对于一个离散型随机变量，若能判定它符合某一种特殊的分布。可以根据已有的结论直接写出它的分布律、分布函数。否则，可先找出可能取的值(k=1,2,n或k=1,2,)然后计算出诸的值，可得的分布律、分布函数。例1: 一袋中装有5只球,编号为1, 2, 3, 4, 5, 在袋中同时取3只,以X表示取出的3只球中的最大号码,求X的分布律,分布函

3、数.解: 设在袋中任取3只的编号为(),则由题意,有X=max=3, 4, 5 且 故X的分布律为: X345PX的分布函数为: 2、连续型随机变量的分布函数:F(x)=pXx是一个连续函数,存在非负可积函数f(x)使:, f(x)为X的密度函数这里f(x)满足:(1)、 f(x)0 (2)、 且F(x)和f(x)有如下关系: (3)、xF()F()= ()若f(x)在点x连续，则:(4)、 (*2)对于一个连续型随机变量，若能判定它符合某一种特殊的分布，可据已有结论写出它的概率密度、分布函数。否则，可据分布函数的定义计算pXx,得到F（x），再据(*2)式可得f(x)。例2：一个靶子是半径为

4、2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以X表示中弹点与圆心距离。求X的分布函数。解：若x0，则PXx是不可能事件，于是 PXx=0 若0x2，由题意,= , 是某一常数，为了确定的值，取，有，但已知，故得，即= 于是 PXx= 若由题意是必然事件，于是 PXx=综合上述，即得的分布函数为的概率密度函数为 3、有的随机变量既不是离散型，又不是连续型。这时仍把握分布函数的定义F(x)= pXx,先计算pXx,可得F(x)。例3：一个均匀陀螺，在其圆周的半圈上都标有刻度1，另外半圆上均匀地刻上0,1诸数字，旋转停下时其圆周上触及桌面的刻度是随机变量X，

5、求的概率密度。解：X可能取值是0,1上诸数字，p触点的刻度为1=,p触点刻度在0,1内=,记为p0,1。由陀螺的均匀性及刻度的均匀性知:0x1时 ， pXx=p X0+ p0Xx=0+. p0,1= x1时， pXx=1F(x)= pXx=这种分布既非离散型，又非连续型，可称为混合型分布。二、求二维随机变量的分布律（或概率密度）、分布函数(X,Y)为二维随机变量，二元函数即为(X,Y)的分布函数。1 (X,Y)为离散型，所有可能取值为 i,j=1,2, i,j=1,2,为(X,Y)的分布律。这里 i,j=1,2,通常用表格来表示X、Y的联合分布律。(X,Y)的分布函数:,其中的和式是对一切满足

6、的i,j来求和。例4：将一硬币抛掷三次，以表示在三次中出现正面的次数，以表示三次中出现正面次数与出现反面次数差的绝对值，试写出与的联合分布律。解： 令为三次中出现反面的次数，则有于是，有 故(X,Y)的分布律的表格形式为：YX0300102030 2 若(X,Y)为连续型，对于其分布函数存在非负函数使 ，即为(X,Y)的密度函数，满足： 1 23若在点(X,Y)连续，则有。4G是x0y平面上的一个区域;点(X,Y)落在G内的概率:例5： 求(x,y)的联合分布函数F(x,y)。解：3. (X,Y)有分布函数，求(X,Y)关于X、关于Y的边缘分布和条件分布(1)若(X,Y)为离散型,分布律：则

7、X的分布律：Y的分布律：也是(X,Y)关于X，关于Y的边缘分布律 。 为在条件下随机变量的条件分布律。 为在条件下随机变量Y的条件分布律。 例6：以X记某医院一天出生的婴儿的个数，Y记其中男婴的个数，设X和Y的联合分布律为：求边缘分布律； 求条件分布律解：有联合分布律与边缘分布律之间的关系知：X的分布律为：这说明：X服从参数为的泊松分布这说明：Y服从参数为的泊松分布。由条件概率公式，有这说明：在X=n的条件下，Y的条件分布是参数为n,p=0.51的二项分布。 在Y=m的条件下，X的条件分布是参数为的泊松分布。 (2)若(X,Y)为连续型，密度函数为 故 ,同理 在Y=y条件下X的条件概率密度函

8、数：在X=x条件下Y的条件概率密度函数： 例7：设随即变量(X,Y)的概率密度为： 求条件概率密度。解： (X,Y)的概率密度为：故当0x1时，Y的概率密度为：当时，X的概率密度为：当-1y0时，有当0y1时，有 故当时，有 当0x1中，有三、求随机变量的函数的分布1、求一个随机变量的函数Y=g()的分布律(概率密度)，分布函数(1)若X为离散型 ， pX = k=1,2, 则Y可能取值g() , k=1,2 且py=g()= pX =若有g()=g() , 则将,作和，即pY=g()=+为Y取g()的概率。反复用这种方法使g()各不相同，即得Y的分布率，从而可得分布函数。例8：设随机变量X的

9、分布律的表格形式为X-2-1013P求Y=的分布律解：因Y=的所有可能的取值为：0，1，4，8，且 故Y=的分布律为：Y0149P(2)若x为连续型,有密度函数f(x)i 若g(x)严格单调，其反函数h(y)有连续导函数，则Y= g(x)具有密度函数: fh(y)|h(y)|ii若g(x)在不相重叠的区间,上逐段严格单调，其反函数分别为, ,且, ,均为连续函数，则Y=g(X)的密度函数为: f|+f|+例9：设随机变量服从正态分布N(0，1)，求的密度函数P(X)。解：的概率密度函数P(X)有：P(X)=的分布函数为F(X)，则： F(X)=PX=的概率密度为： f(X)=F(X)=2、两个

10、随机变量的函数的分布(1)和的分布: Z=X+Yi连续型:(X,Y)的概率密度f(x,y)则 Z的分布函数: (z)=P(Zz)=化为累次积分，得(z)=dy=duz的密度函数:(z)= f(z-y,y)dy=f(x,z-x)dx当x,y相互独立时:(z) =(z-y)(y)dy=(x)(z-x)dx例10：为相互独立的分别服从0,1的均匀分布的随机变量,试求S=的概率密度函数。解：相互独立服从U0,1分布的联合密度函数f(x,y)为： f(x,y)=令S=的概率密度为G(Z)则： G(Z)=P()=当Z0时，=0当0Z1时，=当1Z0时Z=X+Y的概率密度为当z0时，于是Z=X+Y的概率密度为。(4)更一般的情况：（随机变量的变换）若的密度函数为，求的分布。若对存在唯一的反函数，（i=1,n），且的密度函数为，那么则： 其中J为坐标变换的雅可比行列式例15：若为相互独立的随机变量，且具有相同的指数概率密度函数试求与的密度函数。解：对作变换u=x+y,因此， 所以， 3、利用已有结论：例如：(1)也服从正态分布，(2)且X、Y相互独立，则这一结果也可推广到个独立正态随机变量之和的情况。(3)X、Y相互独立则。小结求随机变量分布律（密度函数）分布函数关键就是把握分布律（或密度函数）、