2021年人教版高中数学必修第二册第6章《单元质量测评》(含解析)

1、第六章单元质量测评本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟第卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1()()化简后等于()A BC D答案C解析原式.2设点A(1,2)，B(2,3)，C(3，1)，且23，则点D的坐标为()A(2,16) B(2，16)C(4,16) D(2,0)答案A解析设D(x，y)，由题意可知(x1，y2)，(3,1)，(1，4)，所以232(3,1)3(1，4)(3,14)，所以所以3若向量a(1,1)，b(2,5)，c(3，x)，满足条件(8

2、ab)c30，则x()A6 B5 C4 D3答案C解析a(1,1)，b(2,5)，8ab(8,8)(2,5)(6,3)又(8ab)c30，(6,3)(3，x)183x30.x4.4设非零向量a，b，c满足|a|b|c|，abc，则向量a，b的夹角为()A150 B120 C60 D30答案B解析设向量a，b的夹角为，则|c|2|ab|2|a|2|b|22|a|b|cos，则cos.又0，180，所以120.5在ABC中，已知b2bc2c20，a，cosA，则ABC的面积S为()A B C D6答案A解析由b2bc2c20可得(bc)(b2c)0.b2c，在ABC中，a2b2c22bccosA，

3、即64c2c24c2.c2，从而b4.SABCbcsinA42 .6向量(4，3)，向量(2，4)，则ABC的形状为()A等腰非直角三角形 B等边三角形C直角非等腰三角形 D等腰直角三角形答案C解析(4，3)，(2，4)，(2，1)，(2,1)(2,4)0，C90，且|，|2，|.ABC是直角非等腰三角形7在ABC中，若|1，|，|，则()A B C D答案B解析由向量的平行四边形法则，知当|时，A90.又|1，|，故B60，C30，|2，所以.8.如图，已知等腰梯形ABCD中，AB2DC4，ADBC，E是DC的中点，点P在线段BC上运动(包含端点)，则的最小值是()A B0 C D1答案A解

4、析由四边形ABCD是等腰梯形可知cosB.设BPx(0x)，则CPx.所以()1x(x)x(1)x2x.因为0x，所以当x时，取得最小值.故选A9甲船在湖中B岛的正南A处，AB3 km，甲船以8 km/h的速度向正北方向航行，同时乙船从B岛出发，以12 km/h的速度向北偏东60方向驶去，则行驶15分钟时，两船的距离是()A km B kmC km D km答案B解析如图，设行驶15分钟时，甲船到达M处，由题意，知AM82，BN123，MBABAM321，所以由余弦定理，得MN2MB2BN22MBBNcos1201921313，所以MN(km)10设向量a与b的夹角为，定义a与b的“向量积”：

5、ab是一个向量，它的模|ab|a|b|sin，若a(，1)，b(1，)，则|ab|()A B2 C2 D4答案B解析cos，sin，|ab|222.11设00，点P在线段AB上，且t(0t1)，则的最大值为()Aa B2a C3a Da2答案D解析(0，a)(a,0)(a，a)，t(at，at)又(a,0)(at，at)(aat，at)，a(aat)0ata2(1t)(0t1)当t0时，取得最大值，为a2.第卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分将答案填在题中的横线上)13设向量a，b满足|a|2，b(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为_答案(4，2)

6、解析设a(x，y)，x0，y0，则x2y0且x2y220，解得x4，y2.即a(4，2)14在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若1，那么c_.答案解析由题知，2，即()22c|.15如图，在正方形ABCD中，已知|2，若N为正方形内(含边界)任意一点，则的最大值是_答案4解析|cosBAN，|cosBAN表示在方向上的投影，又|2，的最大值是4.16若等边三角形ABC的边长为2，平面内一点M满足，则_.答案2解析以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A，B，C三点的坐标分别为(，0)，(，0)，(0,3)设M点的坐标为(x，y)，则(x

7、，y3)，(，3)，(，3)，又，即(x，y3)，可得M，所以，所以2.三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且bsinBasinA(ca)sinC(1)求B；(2)若3sinC2sinA，且ABC的面积为6，求b.解(1)由bsinBasinA(ca)sinC及正弦定理，得b2a2(ca)c，即a2c2b2ac.由余弦定理，得cosB.因为B(0，)，所以B.(2)由(1)得B，所以ABC的面积为acsinBac6，得ac24.由3sinC2sinA及正弦定理，得3c2a，所以a6，

8、c4.由余弦定理，得b2a2c22accosB36162428，所以b2.18(本小题满分12分)如图，平行四边形ABCD中，a，b，H，M分别是AD，DC的中点，F为BC上一点，且BFBC(1)以a，b为基底表示向量与；(2)若|a|3，|b|4，a与b的夹角为120，求.解(1)由已知，得ab.连接AF，ab，bab.(2)由已知，得ab|a|b|cos120346，从而|a|2ab|b|232(6)42.19(本小题满分12分)如图，在OAB中，P为线段AB上一点，且xy.(1)若，求x，y的值；(2)若3，|4，|2，且与的夹角为60，求的值解(1)若，则，故xy.(2)若3，则()，

9、()224242cos60223.20(本小题满分12分)已知向量m，n，函数f(x)mn.(1)若f(x)1，求cos的值；(2)在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足acosCcb，求f(B)的取值范围解由题意，得f(x)sincoscos2sincossin.(1)由f(x)1，得sin，则cos2cos212sin21.(2)已知acosCcb，由余弦定理，得acb，即b2c2a2bc，则cosA，又因为A为三角形的内角，所以A，从而BC，易知0B，0，则，所以1sin0)(1)求a与b的数量积用k表示的解析式f(k)；(2)a能否和b垂直？a能否和b平行？若不能，则说明理由；若能，则求出相应的k值；(3)求a与b夹角的最大值解(1)由已知|a|b|1.|kab|akb|，(kab)23(akb)2，k2|a|22kab|b|23(|a|22kabk2|b|2)，8kab2