第七章 平面电磁波

1、第七章第七章 平平 面面 电电 磁磁 波波27-1 理想电介质中的平面电磁波7-2 理想电介质中的正弦平面电磁波7-3 导电及半导电媒质中的平面电磁波、波的衰减与透入深度7-4 电流与磁通的趋肤效应、涡流 7-5 正弦平面电磁波对理想导体平面的垂直入射 第七章 平面电磁波 本章主要研究平面电磁波的传播规律和特点。波从波源发出后，于相同时刻到达的各点相联而成的空间曲面称之为波阵面。 所谓平面电磁波，即是电磁波的波阵面都是平行平面，且在波阵面上各点电场及磁场强度都相等的电磁波。在直角坐标中，假定平面电磁波沿x轴传播，电场只有y轴分量，则磁场仅有z轴分量，但它们是有联系的。37-1 理想电介质中的平

2、面电磁波 设空间充满理想电介质( )且无运流电流，此时 平面电磁波是指波阵面均为平行平面且平面上各点的电场及磁场强度均相等的电磁波。由于波的行进方向与波阵面(平行平面)垂直，故波仅沿某一方向传播。tHHrottHErot(7-1) (7-2)理想电介质中的平面电磁波理想电介质中的平面电磁波 设场量仅为空间坐标x及时间t的函数，亦即x为定值的平面上，其各点在同一时刻，具有同一的电场强度与磁场强度0, 0zEyEzHyH04xHexHeHHHxeeeHrotyzyzyxzyx00 (7-3) tEetHetEexHexHezzyyxxyzzy(7-4)0tExtExHyztExHzy0tHx (7

3、-7) 同理， 由式 (7-2) 得 (7-8) tHxEyz (7-9) (7-5)得(7-6)(7-10)tHxEzy5 Ex,Hx为零或为恒定分量，可令其为零。由于电场强度为 xx方向，因而电场强度E必在与yoz平面平行的平面上。0 xHy0tHy 若E仅有y轴分量，则E=Ey，Ez=0。在此情况下式(7-7)、式(7-9)将简化为 及 ， 故可令Hy=0，因而有H=Hz。此时电场强度E与磁场强度H处于同一平面之内且相互垂直。这说明电场强度的y轴分量仅与磁场强度的z轴分量有关。 为了求得Ey和Hz，所需求解的方程仅留下式(7-6)、式(7-10)。图7-1 电场强度只有y轴分量磁场强度只

4、有z轴的分量平面电磁波6tiLxutHxEzytuCxitExHyz无损耗线均匀传输线方程归纳上述两式可得一维波动方程 类比无损耗均匀传输线方程的解，求得方程的解以及其它相应量的关系：理想电介质中平面电磁波传播方程归纳上述两式可得一维波动方程22222xuvtu22222xivti22222xEvtEyy22222xHvtHzz(7-11)(7-12)(7-13)(7-14)7其中 ，因其具有阻抗的量纲，故称为均匀输电线路的波阻抗。 RLZC/cZ其中 亦具有阻抗量纲为媒质的波阻抗。电场强度、磁场强度亦系由其正向行 波分量与反向行波分量所组成，其本身亦为具有波动性质的波。 电压、电流系由其正向

5、行波分量与反向行波分量所组成，而其本身亦为具有波动性质的波。)()(21vtxfvtxfu)()(121vtxfvtxfZic)()(21vtxFvtxFEY)()(121vtxFvtxFZHcz(7-16)(7-15)LCv1LCv1其中 系电压、电流波沿线传播的速度，称为波速。 其中 系电磁波在理想电介质中传播的速度，称为波速。 8电磁行波、波速与波阻抗电磁行波、波速与波阻抗 平面电磁波是具有波动性质的波。现将电场强度与磁场强度表达式记为YyyEEvtxFvtxFE)()(21zzczHHvtxFvtxFZH)()(121(7-17)(7-18)各表示电场与磁场的正向行波分量表示相应的反向

6、行波分量zyHH ,zyHE ,图7-2正向行波波形9 （1）电场强度的正向行波分量1.分析分析)(11vtxFEy(7-19) 于不同时刻观察电场强度分量 在空间的分布波形，则 于每一时刻在空间的分布波形彼此相同，只是波的位置向x方向移动了一个距离。yEyE图7-3 正方向波随时间例如某一定时刻t1，空间某一定点x1的电场强度之值为 ，若在时刻t2该值已运行至x2处，令 故得)(11vtxF)()(2111vtxFvtxF因而有2211vtxvtx1212ttxxv10 同样 是以速度沿与x轴相反方向运动的行波，称之为反向行波或反射波、回波。 以函数 分布在空间的整个波形，将以速度向x方向推

7、进，这种沿x方向推进的波称之为正向行波 或入射波、直波。 )(11vtxF 与 的正方向(即z轴方向)相同，而 的正方向则与Hz的正方向相反。)(2vtxFEy（2）磁场强度HzzzzHHHzHzHzH11 图7-4 电磁波的行波（a）电磁波的正向行波（b）电磁波的反向行波 电场强度的正向行波分量 与磁场强度的正向行波分量 均是以速度沿x方向推进的波，组成统一的正向电磁波，并遵守右螺旋法则(由 转向 )沿x方向在空间传播。而 则与 组成统一的反向电磁波，同样遵循右螺旋法则(由 转向 )反x方向在空间传播。yEyE2.结论结论yEzHyEzHyEzHzH12ycyzEZEH/1ycyzEZEH/

8、1 在只有正向行波或只有反向行波的情况，空间每点在任一时刻的电场能量密度与磁场能量密度是相等的，即 2222HE (7-22)(7-21)(7-20)3.能量问题能量问题 电磁波在空间的传播过程，即是电磁能量在空间的传播过程。13zycHEZ377120/00cZ 媒质的波阻抗(7-24) 它等于电场强度正向分量(或电场强度反向分量)与磁场强度正向分量(或磁场强度反向分量)之比。它与均匀传输线中的波阻抗相似。（1）电磁波在空间传播的速度称为波速。波速仅与媒质的性能有关，在真空中smv/1031041085. 811871200(7-23)3.常用概念常用概念（2）真空中14例例7-1 空间有一

9、平面电磁波，设在某一时刻，某点的电场强度E=10000V/m。试求当 时该点的磁场强度。00,解解mAHEZEHc/5 .2637710000/00157-2 理想电介质中的正弦平面电磁波 正弦平面电磁波在任一时刻，电场强度与磁场强度在空间某一个方向上随距离作正弦分布，而空间任一点的电场强度与磁场强度，随时间作正弦变化。)sin(0tEEom (7-25)cZEH/00 )sin()sin(0tEtZEHomcom(7-26)理想电介质中的正弦平面电磁波理想电介质中的正弦平面电磁波取坐标原点处电场强度为离原点x处，电场强度与磁场强度为)sin()(sinxvtEvxtEEomom（7-27）)

10、sin()sin(xvtExvtZEHomcom (7-28)16/cZ=/波的相位系数，即为x方向上，相距单位长度的两点间的相位差。 22vfv(7-29)决定于波的频率以及空间电介质的电容率与磁导率。 图7-6 理想电介质中的正弦平面电磁波媒质的波阻抗若设波长为，由 f ，则17以 代替 ， 代替 ，以 代替 则有yE yEzHzHtHtEzy,zyHjdxEd (7-30)(7-31)zyjjH,EyzHjdxHddxHdjdxEdzy(7-32) 02222yyEvdxEd(7-33) 正弦平面电磁波的复数表示正弦平面电磁波的复数表示/1v 0)(222yyEvjdxEdxvjxvjy

11、eBeAE (7-35) (7-34)可解得写为瞬时方程(7-36)sin()sin(BAyxttBxvtAE18 不考虑反向行波分量，若设原点(x=0处)的电场强度为)sin(0tEEom则得AomEA,故对空间任一点有 )sin()sin(xtExvtEEomomy 将上式与式(7-27)比较，结果是完全相同的。利用式(7-37)电场强度Ey的表达式，或借助于式(7-30)，可以解得磁场强度Hzo，运用正弦量的复数表示法求解正弦电磁波问题，在较为复杂的情况下，比较方便简洁。(7-37)19解解 由2000,10006sinmmHH可解得例例7-2 正弦平面电磁波在真空中沿着x轴方向传播，在

12、某一时刻，空间某点A磁场强度为已知波长为4000m。经过10-5 s以后，这一点的电场强度和磁场强度的值各为多少？mAHxtHHmm/10006sin)2sin( 上述点A的磁场强度表达式系正向行波表达式，真空中的波速为=3 108 m /s 。若要求得经过10-5 s以后，点A处电场与磁场强度之值，只要求得此时反x轴方向，距点A的距离为x1处(相当于波传播10-5 s的距离)的点B的电场强度与磁场强度之值即可，因为此值经10-5 s后到达点A。205 . 1103400022311xxAB又A、B两点处的相位差为因而此时B点处的磁场强度之值为mAHHm/1732)623sin(1其电场强度m

13、VZHEc/1053. 63771732511mvtx35811031010321例例7-3 真空中有一正弦平面电磁行波，设1000m，H=1000A/m，求空间某定点的能量密度表达式。解解 在时刻t位置x处的磁场能量密度为JxtxtHvmm)1028. 6108 .18(sin628. 0)2(sin21,10610310002235222058由于 ，故电场能量密度mmmCxtHxtE)2(sin21)2(sin21220220Jxtem)1028. 6108 .18sin(26. 135故总的电磁能量密度cZHE22例例7-4 正向正弦平面电磁行波在理想介质中传播，试求空间坡印廷矢量瞬时

14、值。)sin()sin(xtHHxtEEmm解解)(sin2xtHHEHSm 的方向由电场强度 、磁场强度 按右手螺旋法则确定。且其相互垂直，故SHE237-3 导电及半导电媒质中的平面电磁波、导电及半导电媒质中的平面电磁波、波的衰减与透入深度波的衰减与透入深度 导电及半导电媒质，除具有电介质的性质外，还具有不同程度的导电性能及导磁性能。设此种媒质的电导率为，电容率为，磁导率为。若此空间仅沿x方向传播着平面电磁波，此时，Ex=Ez=0，Hx=Hy=0，E=Ey，H=Hz。xHeHrotzy (7-38)导电及半导电媒质中的平面电磁波导电及半导电媒质中的平面电磁波xEeErotyz(7-39)此

15、时麦克斯韦第一、第二方程有如下之形式tEExHyyz(7-40) tHxEzz (7-41)直角坐标系下1.推导推导24若空间的平面电磁波为正弦电磁波，采用复数表示法，则上两式可写为yyEjdxHd)( (7-42) ZyHjdxEd(7-43) 2222)(yyyEEjjdxEd(7-44) 同理zzyHHjjdxHd222)( (7-45)jjj)(传播系数式(7-44)、式(7-45) 的解具有如下形式xyxyxxyeEeEeAeAE21 (7-46)xzxzxcyxcyzeHeHeZEeZEH(7-47)25xjxyxyyeeEeEE (7-48)xjxzxcyzeeHeZEH(7-4

16、9)还原为瞬时值表达，则)sin(ExymyxteEE(7-50)sin()sin(ExcymHxzmyxteZExteHH (7-51) 无限大均匀媒质空间不存在反向行波，则有jcceZjjZ媒质的复数波阻抗，为媒质波阻抗辐角ymEEzmHH电场强度正向行波分量的振幅与初相磁场强度正向行波分量的振幅与初相媒质的损耗角26 可以看出，在导电与半导电媒质中的正弦平面电磁波，其电场强度矢量与磁场强度矢量在空间仍是彼此正交的，沿着波的传播方向(x方向)波的振幅逐渐衰减而且空间任一点上彼此相位不同。 图7-7 导电及半导电媒质中的正弦平面电磁波2.结论结论27波的传播系数与透入深度波的传播系数与透入深

17、度 波的传播系数，描述波的衰减与相位系数。jjj)(jjjjj22222)(2)(7-52)(7-53)(7-54)2222因而将 之值代入式(7-53)并整理则得下述方程2044222224(7-55) 解得212222(7-56)212222(7-57)衰减系数相位系数28 图7-8 透入深度示意 工程中规定，当波从电介质中进入导电媒质后，其波幅衰减到(交界面处)原波幅的(36.8%)时，波所行经的距离称之为透入深度。 透入深度透入深度通常以d表示eeeedxxdxx1)()(0(7-58)(7-59) 当媒质为导体，只要电磁波的交变频率不甚高时，则位移电流较之传导电流小得多，可忽略。/

18、1, 1dd29此时 ，由)1 (2/jjj故有 2/ (7-60)/2/ 1d(7-61)导体的复数波阻抗4jejjj 波的透入深度与媒质的电导率、磁导率以及波的交变频率三者乘积的平方根成反比。 在实际上，当波在导体内传播，经过几个透入深度的距离后，其振幅已趋近于零，这时可以认为电磁波已经衰竭。利用这一理论，可以达到电磁屏蔽的目的。30例例7-5 正弦平面电磁波由空气进入铁磁性物质内。若铁磁物质的磁导率500 (常数)，=107 S/m，波在空气内波长为104 m，试求铁磁物质内的波长为多少？ 0解解 波长2忽略位移电流( )24481061010322v774704101045001032

19、10500106m3310258. 010602231解解 海水中电场强度的一般表达式为 )sin(),(ExmxteEtxE取海水表面为坐标原点，该处的电场强度为 )sin(), 0 (EmtEtE因而求得该式中的Em及E(初相)，即可求得海水的电场强度。在忽略位移电流情况下(即 )，空间任一点的电场强度与磁场强度在相位上相差 ，在幅值上则相差 倍。因而可由海水表面的电场强度求得海水表面的磁场强度。例例7-6 正弦平面电磁波垂直进入海水表面并沿与海面垂直的方向在海水内传播。海水的电导率1S/m，磁导率0 。空气中电磁波长=600m，若设距海面1m深处的电场强度E=10-6 costV/m，求

20、表面处的磁场强度。4/cZ32 )2sin(10cos10)sin(), 1 (66ttteEtEEm2,106tteEEm2,106EameE681010360022v且 ，故405. 12/1104102/76在距海水表面1m处(x=1)，其电场强度radmVEEm2405. 1,/1008. 4633从而得海水表面处的电场强度mVttE/)405. 12sin(1008. 4), 0(6又由于4476499. 110410/jjjceeeZ 故求得海水表面处的磁场强度为mAtttH/)5 .35cos(1005. 2)4405. 12sin(99. 11008. 4), 0(066 34

21、 当导线半径远大于电磁波的透入深度时，电磁波在进入导体表面极薄层区域后，就已衰竭。这种情况下电场强度与磁场强度在表面处有最大值，沿半径进入导线内部后，则其振幅逐渐衰减而趋于零，因而电流密度( )、磁感应强度( )均在表面处有最大值。深入导体内部后，二者亦逐渐衰减为零。这种现象称之为趋肤效应。7-4 电流与磁通的趋肤效应、涡流1.趋肤效应趋肤效应 频率较高时趋肤效应更显著，导线电阻增加甚快，同时由于导线内磁链的相应减少，导线的内电感随之下降。因而在高频传输情况下，通常采用多股绝缘导线，以增大导线的有效截面而使电阻值降低。EHB35 从电磁感应的观点来看，当铁磁媒质中存在交变磁通时，将感生一涡旋形

22、电动势，此电动势所产生的涡电流将带来焦尔热耗，而且此涡电流具有去磁作用，使得磁通拥挤于媒质的表层，媒质的导磁性能变坏。2.涡流涡流 为了减少媒质热损耗，及改善媒质的导磁性能，导磁设备(如变压器铁心)系由涂有绝缘漆层的薄硅片叠压而成，以加长涡流路经而使涡流电阻增大，从而减小涡流，使涡流损耗下降。这种作法同时增大了导磁媒质的有效截面，使其导磁性能改善。 趋肤效应也可以用于工件表面淬火的感应加热器等。36 邻近效应，即是若干个载流导体间的相互电磁干扰，此时各载流导体截面的电流分布，较之于孤立载流导体截面上的电流分布是不同的。通有方向相反的电流的两根邻近汇流板，在相互靠近的两内侧面电流密度最大；而当两

23、汇流板中电流方向相同时，则两外侧面的电流密度最大。 在一般情况下，邻近效应也使得等效电阻加大，内电感减小。3.邻近效应邻近效应37例例7-7 半无限大导电媒质的电导率为，磁导率为当有正弦平面电磁波( )沿x方向垂直进入此导电媒质后，求媒质中电流密度有效值的分布，并求y方向单位长度、z方向单位宽度的半无限长方形柱体之内阻抗。0zyHE,解解 由于电磁波在半无限大导电媒质中传播时无反射波，因而电场强度只有正向行波 xyyeEE其中)1 (2jj故导电媒质中的电流密度xyceE图7-9 例7-9图其有效值分布如图所示。38 欲求其单位长度、单位宽度的半无限长方形柱体的内阻抗，需先求出y轴方向上导体表

24、面单位长度上的电压以及x-z平面上z轴方向单位宽度所流过的电流。因而00yxycScEdxeEdxdSI又yyEEU1因而所求之内阻抗为djdjEEIUZyyi11)1 (2式中： d为透入深度。当沿z轴所取的宽度为h时，则所求单位长度的内阻抗为 dhjdhZi1139例例7-8 求半径为2mm的铜导线在频率f=106 Hz时的单位长度电阻值，铜的电导率=5.8 107 S/m，磁导率0。 解解 在电磁波进入良导体并经过几个透入深度的距离后，其振幅已趋近于零。因而在圆形导体下，当其半径R0远大于电磁波的透入深度(即R0 d)时，可将平面电磁波垂直进入表面为平面的导电媒质的阻抗计算公式，用来近似

25、计算波进入圆柱形导体所引起的阻抗。因为波进入圆柱导体表面极薄层后即行衰竭，此情况类似于波进入平面导电媒质的情况。波的透入深度md377610066. 0108 . 510410222因而dR040在直流情况下，此圆形铜导线的电阻237200)102(108 . 511RR由以上计算可以看出，当频率增高时，电阻增大。这是因为波的透入深度愈小，导体有效导电(流)面积亦愈小之故。 图7-10 例7-8图 mRddhR/0208. 0102210066. 0108 . 512113370可求得此圆形铜导线的单位长度电阻为417-5 正弦平面电磁波对理想导体平面的垂直入射 电磁波由电介质进入导电及半导电

26、媒质时，将在导电及半导电媒质的界面上产生折射(透射)与反射现象：电磁波的一部分将要透过界面进入导电及半导电媒质继续向前传播，称之为折射波，电磁波的其它部分则将由界面反射回来。此时电介质中的电磁波，将由电介质中的入射波与反射波合成。42平面波对理想导体平面的垂直入射平面波对理想导体平面的垂直入射 设有正弦平面电磁波从理想电介质垂直射向理想导体平面，由于空间每一点的电场强度均与界面平行，因而界面处电场强度只可能具有与界面相切的分量。根据边界条件(Et=0)，并注意到在边界处 ，故有 。图7-11 电磁波的垂直入射0tttEEEttEE 可以看出，在边界处，电场强度入射波与反射波之值相等，但恒差一负

27、号。因而欲满足这一条件，当电场强度入射平面波为正弦行波时，其反射波亦为正弦行波，而且两者必有相同的频率。 现设电场强度入射波与反射波的表达式分别为 (7-62)sin(),(xtEtxEmy43其相应的复数表达式为xjmyeEE (7-65)因而电介质空间，每一点电场强度为 (7-66) 在理想导体表面，由于电场强度只可能有切线分量，而且边界处故有(7-67) (7-68)电场强度为xEjeeEEmxjxjmysin2)(.(7-69) )sin(),(xtEtxEmy (7-63)(7-64)xjmyeEExjmxjmyyyeEeEEEE mmyyyEEEEE即, 0000 000tEE)2sin(sin2),(txEtxEm (7-70) 44 可以看出，式(7-70)为一驻波表达式。 有关驻波问题，无损耗传输线一节中已作过十分详尽的讨论。 可以看出，在x-k或x-k/处(k=0，1，2，n)，电场强度始终为零，形成波节，而在x-(2k+1)/2处(k=0，1，2，