第三章机械能和功

1、第三章机械能和功第三章第三章 机械能和功机械能和功3-1 功功 动能定理动能定理力的累积效应力的累积效应空间上的累积空间上的累积时间上的累积时间上的累积功功冲量冲量恒力之功：恒力之功：rFrFA cosF r第三章机械能和功变力之功：变力之功：iiiirFAcosriFii),(aaazyxa),(bbbzyxbiiiirFAcosiiirFbabadsFrdFAcos第三章机械能和功注：注：1、功与力、路径有关。、功与力、路径有关。3、合力之功：、合力之功：2、 与参照系无关，位移与参照系有关，与参照系无关，位移与参照系有关， 故故 A与参照系有关。与参照系有关。F iiibaibaiiAr

2、dFrdFA)(dzFdyFdxFrdFdAzyx. bababayyzzzyxxxdzFdyFdxFA单位：单位：Nm or JbatbatbadsFrdFrdFA直角坐标系：直角坐标系：自然坐标系：自然坐标系：0v0 vFf第三章机械能和功4、功率：、功率：tAPvFdtrdFdtdAtAPtlim0单位：单位： J/s or W第三章机械能和功动能定理动能定理:babadsFrdFAcosdtdVmmaFtcosbabadtdsmdVdsdtdVmA222121abVVbamVmVmVdVmVdVbakakbEE质点动能的增量等于作用在质点上的合力质点动能的增量等于作用在质点上的合力对质

3、点所做的功对质点所做的功abaVbVFrd第三章机械能和功注：注：kkEAEA001 .能量衡量物体的作功本领，能量衡量物体的作功本领，功是能量转化的量度。功是能量转化的量度。kEA,. 2与参有关，动能定理在惯系中成立。与参有关，动能定理在惯系中成立。kEA. 34.微分形式微分形式,kdErdFdtdEvFork kakbEE A第三章机械能和功xoLsxLv0传送机滑道传送机滑道水平平台水平平台例例3-1柔软匀质物体以初速柔软匀质物体以初速 送上平台，物体前端在送上平台，物体前端在平台上滑行平台上滑行 s 距离后停止设滑道上无摩擦，距离后停止设滑道上无摩擦，v0物体与台面间的摩擦系数为物

4、体与台面间的摩擦系数为 ，且，且求初速度求初速度 v0gxLmFLxof:解：解：mgFLxf:sLLffmgdxgxdxLmdxFxdFA0)(2Lsmg动能定理动能定理)(221020LsmgmvEAkf)(220Lsgv第三章机械能和功mFlAmg mgtgF sincosmgmgtgFt)cos( sin10mglldmgdsFAtF)cos( sin10mglldmgAmg例例3- 小球在水平变力小球在水平变力F作用下缓慢移动，即在所有位作用下缓慢移动，即在所有位置上均近似处于力平衡状态，直到绳子与竖直方向成置上均近似处于力平衡状态，直到绳子与竖直方向成 角角。 求：求：(1) F的

5、功，的功， (2) 重力的功。重力的功。解：解：第三章机械能和功3-2 保守力保守力 非保守力非保守力 耗散力耗散力一、力场一、力场),(VtrFxyzr)(rFm力矢力矢xy力矢在空间的分布力矢在空间的分布形象反映了力场形象反映了力场第三章机械能和功二、几种力的功二、几种力的功1、重力、重力bardFA).(abzzbamgzmgzmgdzrdkmgbakmgF重力做功与路径无关！重力做功与路径无关！xzabgmo第三章机械能和功2、引力、引力)()(abrrrmGmrmGmrdrmGmba2121221rermmGF221rdrrmmGrdFAbaba321cosrdrrmmGba321a

6、barbrrrdrrd1m引力做功与路径无关！引力做功与路径无关！drrrdrrdcos第三章机械能和功3、弹性力、弹性力 xaxbxabm,ikxxkFbaxxbabakxdxidxikxxdFA)(222121abkxkx弹性力做功与路径无关！弹性力做功与路径无关！第三章机械能和功4、回旋力、回旋力erFFFo e：为横向单位矢量：为横向单位矢量babarderrdFA00022rdrrdrAba圆弧圆弧ab boaA=0)(rdeab0or回旋力做功与路径有关！回旋力做功与路径有关！rde rdds 第三章机械能和功5、摩擦力、摩擦力 temgFabbabatbaSFdsmgrdemgr

7、dFAba abte 摩擦力做功与路径有关！摩擦力做功与路径有关！第三章机械能和功 三、保守力三、保守力 非保守力非保守力 和耗散力和耗散力 )(rF 保守力（场）的数学判据保守力（场）的数学判据 :acbadbrdFrdFAba acbdaacbbdaacbadbrdFrdFrdFrdFrdF0(任意任意)rdrdFFadbbdaabcd第三章机械能和功例例3-3 有两个力场有两个力场: 判断它们是保守力还是非保守力。判断它们是保守力还是非保守力。)(01yjayF)(02xjbxF),(0ba1Fxy2FxyABCDABCDAaydyjdyjayrdF01(任意任意)02121212)()

8、(yybxyybxbxdybxdyrdFCDABCDAABABCD1y2y1x2x第三章机械能和功hlhhll(1)(2)(3)(1)mgdlmgdhdsmgdsmgdA cossin1(2)(dsvgdlmmgdhdA22)(dsvgdlmmgdhdA23(3)dS例例3-4 P 582coscosvmmgmg第三章机械能和功- 质点在保守力场中的势能质点在保守力场中的势能ababA)(papbbaabEErdFA保守力的功等于势能坛量的负值保守力的功等于势能坛量的负值!保守力保守力-势能势能)()(papbbaabEEzzmgA)(papbbaabEEkxkxA222121)()(papb

9、ababEErrGMmA11弹性力弹性力重力重力引力引力一、势能的引入一、势能的引入第三章机械能和功注：注： 1、势能属于系统。、势能属于系统。 2、势能零点。、势能零点。00pbbEz 弹性势能弹性势能重力势能重力势能引力势能引力势能0pbbEr 00pbbEx mgzEprGMmEp221kxEp)()(papbbaabEEzzmgA)(papbbaabEEkxkxA222121)()(papbababEErrGMmA11第三章机械能和功pdErdrFdA)(ikxxF)(CkxkxdxidxikxEp221000)(,xExxp2021kxC2022121kxkxEp二、己知保守力场确定

10、势能函数二、己知保守力场确定势能函数例：例：CrVrdrFEp)()(第三章机械能和功 三、已知势能函数确定保守力场三、已知势能函数确定保守力场 rdFzyxdErdEpp),()(dzFdyFdxFzyx而而dzzEdyyEdxxEdEpppp故：zEFyEFxEFpzpypx;pppppzyxEEzkyjxizEkyEjxEikFjFiFF)(式中式中 称为矢量微分算子称为矢量微分算子 ()ixjykz称为势能函数的梯度称为势能函数的梯度 Ep力沿某方向分力等于势能函数沿该方向空间变化率负值！力沿某方向分力等于势能函数沿该方向空间变化率负值！第三章机械能和功mgzEp 则重力则重力 kmg

11、mgzzkyjxiEFp)(例：例：例：例：crGMmEp2rGMmcrGMmdrdFr)(0F第三章机械能和功四、势能曲线四、势能曲线Ep重力势能曲线重力势能曲线 引力势能曲线引力势能曲线 弹性势能曲线弹性势能曲线EpxEp 双原子分子的势能曲线双原子分子的势能曲线EpE1E2r1r2r0r3 011rrdrdErF)( 01EEp1rr 0kE00orrdrdErF)(033rrdrdErF)(第三章机械能和功例例3-5 已知地球半径已知地球半径 R，物体质量，物体质量 m，处在地面，处在地面 2R 处。处。求势能求势能:（1）地面为零势能点；（）地面为零势能点；（2）无限远处为零势能）无

12、限远处为零势能点。点。解：解：babaEErFAppdp32d ) 1 (ErrGMmARRGMmRRRGMmE32)311(pRrrGMmE32pd )2(mgR32mgRRGMm3131第三章机械能和功 内力的功内力的功一、质点系一、质点系内力内力外力外力第三章机械能和功)()(jiijjiijjjiiijrrdFrdrdFrdFrdFdA二、内力的功二、内力的功jiijrrrijijrdFdA：相对元位移：相对元位移 ijrdFijFjiri jirdridrjjribjaiajbbrar第三章机械能和功1、一对内力做功之和一般不为零、一对内力做功之和一般不为零2、一对内力做功之和与所选

13、的参照系无关、一对内力做功之和与所选的参照系无关,ijrd rij与参照系无关与参照系无关注：注：0ijffrdFdA0ijNNrdFdAijfrdN ijjrijrijrijrrijij FfFfFNNF v第三章机械能和功例例3-6 光滑水平面上放有质量为光滑水平面上放有质量为m1的沙箱，的沙箱， 由左方飞来由左方飞来质量为质量为m2的弹丸从箱左侧击入，的弹丸从箱左侧击入， 在沙箱中前进在沙箱中前进 l 距离后停距离后停止。止。 在这段时间中沙箱向右运动了距离在这段时间中沙箱向右运动了距离 s ， 此后沙箱带着此后沙箱带着弹丸以匀速弹丸以匀速 v 运动。求运动。求(1) 沙箱对弹丸的平均阻

14、力沙箱对弹丸的平均阻力F；(2) 弹弹丸初速丸初速v0 ；(3) 沙箱沙箱-弹丸系统损失的机械能。弹丸系统损失的机械能。 (2) 对弹丸，应用动能定理：对弹丸，应用动能定理： 2121vmFs 202222121)( vmvmlsF(1) 对沙箱对沙箱, 应用动能定理：应用动能定理：解：解：1m2m 0vvs+l Fs F212vsmF 第三章机械能和功 (3) 机械能变化：机械能变化：20222121)(21vmvmmE 一对非保守内力一对非保守内力(耗散力耗散力)做做负功，使系统动能减少。负功，使系统动能减少。1m2m 0vvs+l Fs F1)( 210smlsmvvFF)( lsFFs

15、212lvsmFl第三章机械能和功 3 - 5 功能原理功能原理 能量守恒定律能量守恒定律 一、质点系动能定理一、质点系动能定理222121ioiiiiIieivmvmAAA222121ioiiiiiiiIiievmvmAA,eiieAA ,IiiIAA kiiiEvm221,koioiiEvm221kkokIeEEEAA第三章机械能和功二、功能原理二、功能原理 ACI保守内力的总功保守内力的总功 ANI非保守内力的总功非保守内力的总功IA内力做的总功内力做的总功kkkCINIeEEEAAA0ppopCIEEEA)()()(pokopkNIeEEEEAAEEE0第三章机械能和功注：注： 1、取好系统及初、末状态。、取好系统及初、末状态。2、惯性系。、惯性系。pokopkEEEEE00, 0NIeAA3、If机械能守恒定律机械能守恒定律NIA与参无关与参无关eA与参有关与参有关 00NIeAAS, E不守恒不守恒00NIeAAS, E守恒守恒V SSv第三章机械