计数原理与二项式定理

1、高三理科午练（5）1. 在三个不同的盒子中，分别装有不同标号的红球20个，白球15个，黄球8个若要从盒子中任取2个球，其颜色不同的取法有_种2. 将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有_3. 两人进行乒乓球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有_种4. 用5种不同的颜色给图中所给出的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色若要求相邻(有公共边)的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法有 种13245. 某班有30名男生，20名女生，现要从中选出5人组成一个宣传小组，其中男、女学生均不少于2人的选法为_(只列式，不计算)6. A1，2，

2、3，4，5，6，7，8，9，则含有五个元素，且其中至少有两个偶数的子集个数为_7. 现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张从中任取3张，要求这3张卡片不能都是同一种颜色，且红色卡片至多1张不同取法的种数为_8. 6个人坐在一排10个座位上问：(1) 空位不相邻的坐法有多少种？(2) 4个空位只有3个相邻的坐法有多少种？(3) 4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种？8.4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？1、580 2、64 3、20 4、250

3、5、CCCC 6、105 7、4728、解：6个人排有A种，6人排好后包括两端共有7个“间隔”可以插入空位(1) 空位不相邻相当于将4个空位安插在上述7个“间隔”中，有C35种插法，故空位不相邻的坐法有AC252 00种(2) 将相邻的3个空位当作一个元素，另一空位当作另一个元素，往7个“间隔”里插有A种插法，故4个空位中只有3个相邻的坐法有AA302 40种(3) 4个空位至少有2个相邻的情况有三类： 4个空位各不相邻有C种坐法； 4个空位2个相邻，另有2个不相邻有CC种坐法； 4个空位分两组，每组都有2个相邻，有C种坐法综合上述，应有A(CCCC)115 920种坐法9、解(1)为保证“恰

4、有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”，即把4个球分成2,1,1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步计数原理，共有CCCA144种放法.(2)“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法.(3)确定2个空盒有C种方法.4个球放进2个盒子可分成(3,1)、(2,2)两类，第一类有序不均匀分组有CCA种方法；第二类有序均匀分组有C种方法.故

5、共有C(CCAC)84种放法.高三理科午练（6）1.二项式的展开式中的系数是_.2.在的展开式中，x的有理项共有_项3若在(x1)4(ax1)的展开式中，x4的系数为15，则a的值为_4若将函数f(x)x5表示为f(x)a0a1(1x)a2(1x)2a5(1x)5，其中a0，a1，a2，a5为实数，则a3_.5若(1x)(1x)2(1x)na0a1(1x)a2(1x)2an(1x)n，则a0a1a2(1)nan_.6设m为正整数，(xy)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(xy)2m1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a7b，则m_.7已知(1x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相

6、等，则奇数项的二项式系数和为_8若()n展开式中前三项的系数成等差数列，求：(1)展开式中所有x的有理项；(2)展开式中系数最大的项9已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7.求：(1)a1a2a7；(2)a1a3a5a7；(3)a0a2a4a6；(4)|a0|a1|a2|a7|.1、-84 2、四 3、4 4、10 5、(3n1) 6、6 7、298、解易求得展开式前三项的系数为1，C，C.据题意得2C1Cn8.(1)设展开式中的有理项为Tr1，由r为4的倍数，又0r8，r0,4,8.故有理项为 (2)设展开式中Tr1项的系数最大，则：()rC()r1C且()rC()r1Cr2或r3.故展

7、开式中系数最大的项为 9、解令x1，则a0a1a2a3a4a5a6a71.令x1，则a0a1a2a3a4a5a6a737.(1)a0C1，a1a2a3a72.(2)()2，得a1a3a5a71 094.(3)()2，得a0a2a4a61 093.(4)方法一(12x)7展开式中，a0、a2、a4、a6大于零，而a1、a3、a5、a7小于零，|a0|a1|a2|a7|(a0a2a4a6)(a1a3a5a7)1 093(1 094)2 187.方法二|a0|a1|a2|a7|，即(12x)7展开式中各项的系数和，令x1，|a0|a1|a2|a7|372 187.高三理科午练（7）1随机变量X的概率

8、分布规律为P(Xn)(n1,2,3,4)，其中a是常数，则P(X)的值为_2袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量，则P(6)_.3. 某一批花生种子，若每1粒发芽的概率为，则播下3粒种子恰有2粒发芽的概率为_.4袋中有3红5黑8个大小形状相同的小球，从中依次摸出两个小球，则在第一次摸得红球的条件下，第二次仍是红球的概率为_5.如图，用K，A1，A2三类不同的元件连结成一个系统当K正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作已知K，A1，A2正常工作的概率依次为0.9,0.8，0.8，则系统正常工作的概率为_6甲射击命中目标

9、的概率是，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为_7. 袋中有大小、质地均相同的4个红球与2个白球若从中有放回地依次取出一个球，记6次取球中取出红球的次数为，则的期望E()_.8某人向一目标射击4次，每次击中目标的概率为，该目标分为3个不同的部分，第一、二、三部分面积之比为136，击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比(1)设X表示目标被击中的次数，求X的概率分布；(2)若目标被击中2次，A表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求P(A)9. 一个袋中装有8个大小质地相同的球，其中4个红球、4个白球，现从中任意取出四个球，设

10、为取得红球的个数（1）求的分布列；（2）若摸出4个都是红球记5分，摸出3个红球记4分，否则记2分求得分的期望1、 2、 3、 4、 5、0.864 6、 7、48、解(1)依题意知XB(4，)，P(X0)C()0(1)4，P(X1)C()1(1)3，P(X2)C()2(1)2，P(X3)C()3(1)1，P(X4)C()4(1)0.X的概率分布为X01234P(2)设Ai表示事件“第一次击中目标时，击中第i部分”，i1,2.Bi表示事件“第二次击中目标时，击中第i部分”，i1,2.依题意知P(A1)P(B1)0.1，P(A2)P(B2)0.3，AA111B1A1B1A2B2，所求的概率为P(A

11、)P(A11)P(1B1)P(A1B1)P(A2B2)P(A1)P(1)P(1)P(B1)P(A1)P(B1)P(A2)P(B2)0.10.90.90.10.10.10.30.30.28.高三理科午练（8）1.设点C(2a1，a1,2)在点P(2,0,0)、A(1，3,2)、B(8，1，4)确定的平面上，则a_.2.已知平面内有一点M(1，1,2)，平面的一个法向量为n(6，3,6)，则下列点P中，在平面内的是_.P(2,3,3) P(2,0,1)P(4,4,0) P(3，3,4)3.如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB，AF1，M在EF上，且AM平面BDE，则M点的坐标为

12、_.4.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是_.5.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是_.6.已知向量m，n分别是直线l和平面的方向向量和法向量，若cosm，n，则l与所成的角为_.7.如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为2，则AC1与侧面ABB1A1所成的角为_.8.直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BCCACC1，则BM与AN所成角的余弦值为_.9.如图，在四棱锥PAB

13、CD中，PA底面ABCD，ADAB，ABDC，ADDCAP2，AB1，点E为棱PC的中点.(1)证明：BEDC；(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；(3)若F为棱PC上一点，满足BFAC，求二面角FABP的余弦值.10.如图，在四棱锥PABCD中，已知PA平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，ABCBAD，PAAD2，ABBC1.(1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；(2)点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长.1、16 2、 3、(，1) 4、90 5、90 6、30 7、 8、9、 (1)证明依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系如图

14、，可得B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2).1分由E为棱PC的中点，得E(1,1,1).(0,1,1)，(2,0,0)，故0，所以BEDC.2分(2)解(1,2,0)，(1,0，2).设n(x，y，z)为平面PBD的法向量，则即不妨令y1，4分可得n(2,1,1)为平面PBD的一个法向量.于是有cosn，所以，直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.6分(3)解(1,2,0)，(2，2,2)，(2,2,0)，(1,0,0).由点F在棱PC上，设，01，故(12，22，2).由BFAC，得0，因此，2(12)2(22)0，解得，即(，).9分设n1(x，y，z)为平面FAB的法向量，则即不妨令z1，可得n1(0，3,1)为平面FAB的一个法向量.取平面ABP的法向量n2(0,1,0)，则cosn1，n2.易知，二面角FABP是锐角，所以其余弦值为.14分解分别以，为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则各点的坐标为B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2).(1)因为AD平面PAB，所以是平面PAB的一个法向量，(0,2,0).因为(1,1，2)，(0,2，2).设平面PCD