数学物理方法(第四版)高等教育出版社第一章2VIP

1、1 1、解析函数及其性质、解析函数及其性质 1.4 解析函数解析函数 (本章的重点本章的重点)1) 1) 解析函数解析函数若若f(z)在区域在区域B上每一点都解析，则称上每一点都解析，则称f(z)是区域是区域B上的解析函数上的解析函数若若f(z)在在z0 点及其邻域里的各点均可微（可导），则称点及其邻域里的各点均可微（可导），则称f(z)在在z0点解析。点解析。 函数的解析性函数的解析性具有解析性的函数称为解析函数具有解析性的函数称为解析函数说明：说明： 函数在某点处解析，说明函数在该点处必可导。函数在某点处解析，说明函数在该点处必可导。解析一定可导，可导不一定解析解析一定可导，可导不一定解析

2、 解析函数总是与区域解析函数总是与区域B联系在一起的。函数解析与联系在一起的。函数解析与函数在区域函数在区域B上可导具有等同的上可导具有等同的涵义。涵义。（对区域来说，（对区域来说，可导等于解析）可导等于解析）反过来不成立，因为解析的概念是对反过来不成立，因为解析的概念是对某个点及其邻域某个点及其邻域定定义的。所以，义的。所以，函数函数f(z)在某一点可导不等于在某点邻域在某一点可导不等于在某点邻域中解析。中解析。函数在某点可导是函数在该点解析的必要条件。函数在某点可导是函数在该点解析的必要条件。思考：思考：证明一复函数证明一复函数解析解析有哪几种方法？有哪几种方法？（）导数存在（）导数存在（

3、某区域上某区域上）（）与可导的联系（）与可导的联系 在某点及其邻域内可导、某区域上处处可导在某点及其邻域内可导、某区域上处处可导（）充要条件法（）充要条件法（某区域上）（某区域上） C-R条件；条件；ux、uy、vx、vy存在且连续存在且连续调和函数调和函数：若二元函数：若二元函数H（x，y）在区域在区域B上有二上有二阶连续偏导数，且满足方程阶连续偏导数，且满足方程222220HHHxy则称则称H（x，y）为在区域为在区域B上的调和函数上的调和函数u、v为调和函数为调和函数二 维 拉 普 拉 斯二 维 拉 普 拉 斯（Laplace）方程方程2)、性质：、性质： 若复函数在某区域上解析，则其实

4、部和虚部都若复函数在某区域上解析，则其实部和虚部都是此区域上的是此区域上的调和函数：调和函数：22220uuxy22220vvxy222222 uvuvxx yyx y 可见：若可见：若 在区域在区域B上解析，则上解析，则 满足拉普拉斯方满足拉普拉斯方程。满足拉普拉斯方程的函数称为程。满足拉普拉斯方程的函数称为调和函数调和函数。由于它们又是。由于它们又是同一复变函数的实部和虚部。所以称同一复变函数的实部和虚部。所以称u,v为共轭调和函数。为共轭调和函数。ivufvu, uvuvxyyx 若若 在区域在区域B上上解析解析，则则 满足的关系有：满足的关系有：ivufvu,2222222200uux

5、yvvxy证明：证明： 22220uuxyxvyuyvxu若解析函数区域若解析函数区域B B的实部和虚部分别等于常数的实部和虚部分别等于常数u u( (x,yx,y)=c )=c v v( (x,yx,y)=c)=c，则，则u u，v v各代表复平面上的一族曲线，并且两组曲线各代表复平面上的一族曲线，并且两组曲线相互正交。相互正交。将将Cauchy -Riemann方程方程的两个式子相乘，则有：的两个式子相乘，则有：证明：证明：uvuvxxyy 0u vuvuvxxyy 复势和等温网复势和等温网 uvuvxyyx 梯度梯度 与梯度与梯度 相互正交。而相互正交。而 ， 分别是曲线族分别是曲线族u

6、=常数常数和和v =常数常数的法向矢量。因而两组曲线族必正交。的法向矢量。因而两组曲线族必正交。uvuv 静电场静电场是保守场，是保守场，其电势在无电荷区域满足拉普拉斯方程。其电势在无电荷区域满足拉普拉斯方程。等势线等势线和和电力线电力线是两组正交曲线族，是两组正交曲线族，对应复变函数的实部和对应复变函数的实部和虚部虚部。u=c等势线，等势线，v=c电力线。电力线。解析函数可用来描述静电场解析函数可用来描述静电场，称，称f(z)为复势。为复势。稳定温度场稳定温度场同同样样满足拉普拉斯方程满足拉普拉斯方程，u，v 可分别对应等温线和热流线，可分别对应等温线和热流线，因此复变函数可以用来描述温度场

7、。两族曲线称为等温网。因此复变函数可以用来描述温度场。两族曲线称为等温网。1.5* 平面变量场平面变量场条件；条件；yvxvyuxu,存在，且连续存在，且连续( )x y(x,y)f zuiv复变函数（ , ）可导证明一复函数解析有哪几种方法？证明一复函数解析有哪几种方法？1、与可导的联系与可导的联系 在某点及其邻域内可导、某在某点及其邻域内可导、某区域上区域上处处可导处处可导 2、充要条件法（充要条件法（某区域上某区域上） C-R条件；条件；ux、uy、vx、vy存在且存在且连续连续 3、导数存在（导数存在（某区域上某区域上）若若 在区域在区域B上解析，则上解析，则 满足的关系有：满足的关系

8、有：ivufvu,222222220;0uuvvxyxy条件条件0uv （1）（2 2）（3 3）回顾：回顾：、求共轭调和函数、求共轭调和函数v(x,y)、求解析函数、求解析函数f(z)。、画出等温网图，并说明这个复势描述什么样的静电场？、画出等温网图，并说明这个复势描述什么样的静电场？已知解析函数的实部已知解析函数的实部22uxy例例1 1解：解：2 2uvuvxyxyyx 由由CauchyRiemann方程方程2 2vvyxxy2 2、求解析函数的方法、求解析函数的方法由于解析函数由于解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的实部和虚部满足的实部和虚部满足CauchyRiemann方

9、程，因此由共轭调和函数中的一个函数可求另一方程，因此由共轭调和函数中的一个函数可求另一个调和函数。个调和函数。1 1）全微分方程：）全微分方程：vvdvdxdyxy( , )(2)v x ydvdxy( (用该方法时尽力凑用该方法时尽力凑出全微分形式出全微分形式) )2 2）不定积分方法：）不定积分方法：yxv2将将 对对x积分，将积分，将y视为视为常数，则常数，则( , )22( )v x yydxxyf y因为因为v( (x,y) )是二元函数，积分常是二元函数，积分常数应为数应为f( (y) ). .将将v对对y求偏导有：求偏导有：22(2)ydxxdydxy2xyC0)( yf( )f

10、 yC( , )2v x yxyC2( )2vxfyxy（此方法（此方法)( yf易求解）易求解）3) 曲线积分法：曲线积分法：由由CauchyRiemann方程知。方程知。22vvdvdxdyydxxdyxy( , )22v x yydxxdyC选定简单积分路径，如图选积分路径选定简单积分路径，如图选积分路径( ,0)( , )(0,0)( ,0)( , )2222xx yxv x yydxxdyydxxdyC002yxdyCxyC2xy(x,0)(x,y)0 0ydy 0 xxdx(0,0)全微分的积分与路径无关全微分的积分与路径无关解析函数为：解析函数为：22( , )( , )( ,

11、)()(2)f x yu x yiv x yxyixy C22222()xi xyyiCxiyiCziC等温网为：等温网为：122),(cyxyxuu是是电场线，电场线，v电势线的话，表示两块无限大均匀带电平面电势线的话，表示两块无限大均匀带电平面所产生的静电场。两板的截口位于所产生的静电场。两板的截口位于Ox轴和轴和Oy轴。轴。22),(cxyyxv已知一调和函数已知一调和函数( , )( cossin )xv x yeyyxyxy f(0)=0，求解析函数求解析函数 f(z)=u+iv。例例2 2( cossinsin ) 1xeyyxyy( , )(cossincos ) 1xu x y

12、eyyyxydx)()sincos(yfxyyyxex解解不定积分方法不定积分方法(cossincos ) 1xuveyyyxyxyuvyx( sinsincos )( )xe xyyyyfy1)( yf( )f yyC 两端对两端对x积分积分两端再对两端再对y求导求导故有故有cyxyyyxeyxux)sincos(),( )( cossin ) ( cossin )xxf ze xy yyx y c i e yy xyx y (cossin )(cossin )(1 )(1 )xxxey iyiyey iyxiiyiC (1)()x iyx iyxeiyei xiyC(1)zzxeiyei

13、zC(1)zzei zC由于由于所以所以f(0)=0,得得C=0( )(1)zf zzei z 例例3 已知解析函数已知解析函数f(z)的虚部的虚部22),(yxxyxv求实部求实部u(x,y)和这个解析函数。和这个解析函数。 ( , )cos(1 cos )2sin2v 解解 改用极坐标改用极坐标cos ,sinxy1sin22vcos22v1uvuv 1cos22sin22 全微分法全微分法2 cos2(cos)( 2cos)222ddd所以所以( )2cos2sin22f ziC222ieCzCuududd1cossin2222dd2cos2uC 例例4验证验证)0(),(xxyarctgyxv)(zf内是调和函数，并求以此为虚部的解析函数内是调和函数，并求以此为虚部的解析函数在右半在右半z平面平面222221 (0)xyyyvxxxxy 解解 222211 (0)yxyvxxxxy22222222 (0)()()xxyyxyxyvvxxyxy 于是故在右于是故在右半半平面内，平面内， 是调和函数。是调和函数