信号与系统2008第2章2-3

1、Signal and system1dtetfFtj)()( deFtftj)(21)(复习傅立叶正变换傅立叶反变换Signal and system2第二章第二章 傅立叶变换傅立叶变换2.1 2.1 周期信号的频谱分析（傅立叶级数）周期信号的频谱分析（傅立叶级数）2.2 2.2 典型周期信号的频谱典型周期信号的频谱2.3 2.3 非周期信号的频谱（傅立叶变换）非周期信号的频谱（傅立叶变换）2.4 2.4 典型非周期信号的频谱典型非周期信号的频谱2.5 2.5 傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质2.6 2.6 周期信号的傅立叶变换周期信号的傅立叶变换2.7 2.7 抽样信号的频谱抽样信号的频谱S

2、ignal and system32.4 典型非周期信号的频谱典型非周期信号的频谱（一）、矩形脉冲信号（一）、矩形脉冲信号 0)(Etf2 t2 t)(tft2 2 E )( F)2( SaESignal and system4矩形脉冲的矩形脉冲的幅度频谱幅度频谱和和相位频谱相位频谱为：为：)()()( jeFF （一）、矩形脉冲信号（一）、矩形脉冲信号)( F E 2 2 与与周期矩形脉冲周期矩形脉冲（图（图2.22d)比较比较cn 01 2 4TE 2 Signal and system5不同：不同：1、 cn的值比的值比F( )的值多乘了系数的值多乘了系数T12、 cn式中为不连续的变量

3、式中为不连续的变量n 1 ,F( )为连续变量为连续变量 相同：相同：1、周期周期矩形脉冲信号的矩形脉冲信号的频谱包络线频谱包络线与与非周期非周期 矩形脉冲信号的矩形脉冲信号的频谱函数曲线频谱函数曲线形状相同形状相同2、频谱都具有收敛性频谱都具有收敛性3、占有频带宽度为、占有频带宽度为 2（一）、矩形脉冲信号（一）、矩形脉冲信号Signal and system6（二）、单边指数信号（二）、单边指数信号0)()( tuetft)(tft10由傅立叶变换公式得由傅立叶变换公式得 dtetfFtj )()( 0dteetjt j 1Signal and system7（二）、单边指数信号（二）、单

4、边指数信号其其幅度频谱幅度频谱和和相位频谱相位频谱分别为分别为221)( F arctg )()( F 0 1 )( 2 2 0Signal and system8（三）、钟形脉冲信号（三）、钟形脉冲信号2)()( tEetf E eE)(tft其频谱函数为其频谱函数为2 24()FEe 其其幅度频谱幅度频谱和和相位频谱相位频谱为为)()( FF 0)( 钟形脉冲的钟形脉冲的频谱函数频谱函数也是也是钟形钟形Signal and system9下面介绍下面介绍奇异函数奇异函数的傅立叶变换的傅立叶变换（四）、单位冲激函数（四）、单位冲激函数 (t)其傅立叶变换：其傅立叶变换： dtetFtj )(

5、)(1 相位：相位：0)( (1) (t)t1F( ) 单位冲激函数的单位冲激函数的频谱频谱在整个频率范围内在整个频率范围内均匀分布均匀分布。这种频谱常称作这种频谱常称作“均匀频谱均匀频谱”或或“白色频谱白色频谱”Signal and system10（五）、单位阶跃函数（五）、单位阶跃函数u(t) dtetuFtj )()( 0dtetj 当当T时，时，tje 不存在不存在，不能直接用傅立叶变换式，不能直接用傅立叶变换式改用间接法改用间接法u(t)可以看作可以看作单边指数函数单边指数函数在在0时的情况时的情况)()()(limlim00tuetftute 单边指数函数单边指数函数的频谱：的频

6、谱： jFe 1)()()( eejBA Signal and system11（五）、单位阶跃函数（五）、单位阶跃函数u(t)令令0，分别求上式中的实部和虚部的极限，分别求上式中的实部和虚部的极限A( )和和B( )，即，即)(lim)(0 eAA 220lim 00 并且：并且： dA )(20)(1limd|)(lim0 arctg 这说明这说明A( )是一个冲激函数，冲激点位于是一个冲激函数，冲激点位于 =0处处， 冲激强度为冲激强度为 ，即即)()( ASignal and system12又有：又有：)(lim)(0 eBB 220lim 1 所以，单位阶跃函数的频谱为：所以，单位

7、阶跃函数的频谱为：)()()(jBAF j1)( 1)()(F2)(（五）、单位阶跃函数（五）、单位阶跃函数u(t)Signal and system13（六）、符号函数（六）、符号函数sgn(t) 0101)sgn(ttt或或)()()sgn(tutut 利用阶跃函数的傅立叶变换思想利用阶跃函数的傅立叶变换思想 000lim)(tjttjteeeeF jj11lim0 j2 设设)()(lim)sgn(0tuetuetttSignal and system14（七）、直流信号（七）、直流信号 ttf1)(可以看作双边指数函数可以看作双边指数函数tetf )(1中中0的极限情况的极限情况)(2

8、)( F)( F)2( )(tf1t可见：在时域是直流（直线），在频域是冲激可见：在时域是直流（直线），在频域是冲激对照对照冲激函数冲激函数的傅立叶变换：的傅立叶变换：在时域是冲激，在时域是冲激，在频域是直线在频域是直线Signal and system152.5 傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质（一）（一） 线性（齐次性和迭加性）线性（齐次性和迭加性）若若)()(11 Ftf)()(,22 Ftf则有则有)()()()(22112211 FaFatfatfa Signal and system16（二）（二） 奇偶虚实性奇偶虚实性一般情况下一般情况下，F( )是复函数是复函数因此可以将因此可

9、以将F( )分成分成模与相位模与相位或或实部与虚部实部与虚部两部分，两部分， dtetfFtj )()()()(jeF)()( jXR 无论无论f(t)f(t)是实数还是复数，根据傅立叶变换可以证明：是实数还是复数，根据傅立叶变换可以证明：)()()()()()(*FtfFtfFtfSignal and system17（二）、奇偶虚实性（二）、奇偶虚实性1、f(t)是实函数是实函数一般情况下，一般情况下，信号信号f(t)是实函数是实函数，F( )是复函数是复函数因此可以将因此可以将F( )分成分成模与相位模与相位或或实部与虚部实部与虚部两部分，两部分， dtetfFtj )()( dttjt

10、tf)sin)(cos( tdttfjtdttf sin)(cos)()()( jXR 其中其中 tdttfR cos)()( tdttfX sin)()(Signal and system18 )()()()()()( FFXXRR同时，可得如下关系式：同时，可得如下关系式： 的偶函数的偶函数 的奇函数的奇函数于是，于是，22)()()( XRF )()()( RXarctg 的偶函数的偶函数 的奇函数的奇函数（二）、奇偶虚实性（二）、奇偶虚实性Signal and system19（二）、奇偶虚实性（二）、奇偶虚实性即：即：f(t)是实函数是实函数)( F)( R和和是是 的偶函数的偶函数

11、)( X是是 的奇函数的奇函数和和)( Signal and system202、f(t)是实偶函数是实偶函数即即)()(tftf 0sin)()( tdttfX 0cos)(2)()(tdttfRF f(t)是是实偶函数实偶函数，F( )必为必为 的的实偶函数实偶函数（二）、奇偶虚实性（二）、奇偶虚实性Signal and system210cos)()( tdttfR 3、f(t)是实奇函数是实奇函数即即)()(tftf 0sin)(2)()(tdttfjjXF （二）、奇偶虚实性（二）、奇偶虚实性f(t)是是实奇函数实奇函数，F( )必为必为 的的虚奇函数虚奇函数Signal and s

12、ystem22（二）、奇偶虚实性（二）、奇偶虚实性4、f(t)是虚函数时，是虚函数时，此时此时)()()()(XXRR设设)()(tjgtf代入傅立叶变换式代入傅立叶变换式)( F是是 的偶函数的偶函数)( 是是 的奇函数的奇函数若若f(t)f(t)是是虚函数虚函数，则，则Signal and system23（三）（三） 时移特性时移特性若若)()( Ftf则则)()(00 Fettftj )()(00 Fettftj 可见：可见：信号在时域中信号在时域中沿时间轴右移沿时间轴右移t0 （延时（延时t0），等效），等效于于在频域中乘以因子在频域中乘以因子0tje 00)()()(tjtjeFF

13、e Signal and system24例例 2.512.51已知矩形脉冲已知矩形脉冲f1(t)的频谱函数的频谱函数)2/()(1 SaEF 试画出试画出)2()(12 tftf的相位频谱的相位频谱解：根据时移特性，解：根据时移特性，212)()( jeFF 2)2( jeSaE （ 三）、时移特性三）、时移特性)(1tft2 2 E)(2tft ESignal and system25结论：结论：1 1、信号的、信号的幅度频谱幅度频谱是是由信号的波形形状决定由信号的波形形状决定的，的， 与信号在时间轴上出现的位置无关；与信号在时间轴上出现的位置无关；2、信号的、信号的相位频谱相位频谱则是则

14、是由信号的波形形状由信号的波形形状和和在时在时 间轴上出现的位置间轴上出现的位置共同决定的共同决定的（ 三）、时移特性三）、时移特性 00)()()(tjtjeFFe 信号延时后，其信号延时后，其幅度频谱不变，相位频谱产生附加幅度频谱不变，相位频谱产生附加相位值相位值(- t0)Signal and system26可见，幅度频谱不变，相位频谱比原来滞后可见，幅度频谱不变，相位频谱比原来滞后2)(1tft2 2 E)(2tft E)(1 2 4 )(2 2 （ 三）、时移特性三）、时移特性2)(2)2()( jeSaEF即即Signal and system27（四）（四） 频移特性频移特性若

15、若)()( Ftf则则)()(00 Fetftj)()(00 Fetftj把时域信号把时域信号f(t)乘以因子乘以因子tje0 等效于频谱等效于频谱F( )沿沿频率轴右移频率轴右移 0这种技术称这种技术称频谱搬移频谱搬移课堂练习：求课堂练习：求tjce的傅立叶变换的傅立叶变换)(21)(21ctjceSignal and system28将信号将信号f(t)乘以乘以t0cos 或或t0sin 就可以就可以引起信号的频谱搬移。这个过程如下：引起信号的频谱搬移。这个过程如下：频谱搬移频谱搬移也称为也称为信号的调制，广泛应用于通信技术中信号的调制，广泛应用于通信技术中（ 四）、频移特性四）、频移特性

16、时域：时域：f(t)改变正弦（或余弦）信号的幅度改变正弦（或余弦）信号的幅度频域：频域：f(t)的频谱产生平移的频谱产生平移调制调制)()(21cos)(000tjtjetfetfttf根据欧拉公式，有根据欧拉公式，有)()(21sin)(000tjtjetfetfjttfSignal and system29设设f(t)的频谱为的频谱为F( )，利用频移特性可知，利用频移特性可知)()(21cos)(000 FFttf)()(21sin)(000 FFjttf可见，将信号可见，将信号f(t)乘以乘以t0cos 或或t0sin 等效于等效于将将f(t)的频谱为的频谱为F( )一分为二，即幅度减

17、小一半，沿一分为二，即幅度减小一半，沿频率轴频率轴向左向左和和向右向右各各平移平移 0。（ 四）、频移特性四）、频移特性Signal and system30（ 四）、频移特性四）、频移特性例例2.5-3求矩形调幅信号求矩形调幅信号ttGtf0cos)()( 的频谱函数的频谱函数解：已知门函数解：已知门函数)(tG 的频谱函数为的频谱函数为)(tG t2 2 E)2()( SaEG 又有又有21)()(00tjtjeetGtf 根据频移特性根据频移特性)(21)(21)(00 GGF)(221)(22100 SaESaESignal and system31)(tG t2 2 E)( G E

18、2 2 0)(tft2 2 E)( F 2 E00 0 （ 四）、频移特性四）、频移特性Signal and system32（五）（五） 尺度变换特性尺度变换特性若若)()( Ftf则则0)(1)( aaFaatf 特例：当特例：当a=-1时时)()( Ftf结论：结论：、信号在时域中压缩（、信号在时域中压缩（a1)，等效于在频域中扩展，等效于在频域中扩展、信号在时域中扩展（、信号在时域中扩展（0a1)，等效于在频域中压缩，等效于在频域中压缩3、当当a=-1时，时，f(-t)F(- )信号在时域中沿纵轴反褶，等效于在频域中也沿信号在时域中沿纵轴反褶，等效于在频域中也沿 纵轴反褶纵轴反褶Sig

19、nal and system33（六）（六） 对称特性对称特性若若)()( Ftf则则)(2)( ftF若若 f(t)为偶函数，且为偶函数，且 )()( Ftf则则)(2)(ftFSignal and system34证明：证明： deFtftj)(21)(于是可知于是可知 deFtftj)(21)( deFtftj)()(2（ 六）、对称特性六）、对称特性将式中的变量将式中的变量t和和变量变量 互换，可以得到互换，可以得到 )(2 f dtetFtj )(Signal and system35即即F(t)的傅立叶变换为的傅立叶变换为2 f(- )(2)( ftF若若f(t)为偶函数，且为偶函

20、数，且)()( Ftf)(2)( ftF则则或或)()()21( ftF对称特性表明：当对称特性表明：当f(t)为偶函数为偶函数，时域时域与与频域频域完全完全对称对称（ 六）、对称特性六）、对称特性Signal and system36例：求抽样函数例：求抽样函数Sa(t)的频谱的频谱)(tft2 2 1)( F 2 2 0)2()( SaF )(tFt 2 2 0)2()(tSatF )(2 f 2 2 2Signal and system37)(tFt 2 2 0)2()(tSatF )(2 f 2 2 2当当 =2，)(2)2()(tSatSatF)(tFt20)(2 f 11 2所以，

21、所以，Sa(t)的频谱为的频谱为Signal and system38（七）（七） 微分特性微分特性、时域微分特性、时域微分特性若若)()( Ftf则则)()( Fjdttdf)()()( Fjdttfdnnn说明：在说明：在时域时域中中f(t)对对t取取n阶导数，等效于在阶导数，等效于在频频域域中频谱中频谱F( )乘以因子乘以因子(j )n Signal and system39、频域微分特性、频域微分特性若若)()( Ftf则则)()()(tfjtddF )()()(tfjtdFdnnn Signal and system40例例.求如图所示梯求如图所示梯形脉冲的傅立叶变换形脉冲的傅立叶变换)(tftba Eab （ 七）、微分特性七）、微分特性解：解：f(t)的一次导数的一次导数f(t) 是幅值为是幅值为abE 的两个脉冲的两个脉冲其二阶导数是四个正负其二阶导数是四个正负冲激函数冲激函数)(tf tba abE ab )(tf tba )(abE ab Signal and system41)(tf tba )(abE ab )()()()()(btatatbtabEtf )()()(2bjajajbjeeeeabEFj（ 七）、微分特性七）、微分特性22)cos(cos2)cos(cos)(2)(baabEabjabEFSignal and s