高一数学宝典：解析几何

1、 解析几何要 点 回 扣易 错 警 示查 缺 补 漏要点回扣1.直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率(1)倾斜角的范围为倾斜角的范围为0，).(2)直线的斜率直线的斜率定义：倾斜角不是定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切值叫的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率这条直线的斜率k，即，即ktan (90)；倾斜角为；倾斜角为90的的直线没有斜率；直线没有斜率；斜率公式：经过两点斜率公式：经过两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线的斜率为的直线的斜率为k (x1x2)；直线的方向向量直线的方向向量a(1，k)；应用：证明三点共线：应用：证明三点共线：kABkBC.问题1(1)

2、直线的倾斜角直线的倾斜角越大，斜率越大，斜率k就越大，就越大，这种说法正确吗？这种说法正确吗？答案错错(2)直线直线xcos y20的倾斜角的范围是的倾斜角的范围是_.2.直线的方程直线的方程(1)点斜式：已知直线过点点斜式：已知直线过点(x0，y0)，其斜率为，其斜率为k，则，则直线方程为直线方程为yy0k(xx0)，它不包括垂直于，它不包括垂直于x轴的轴的直线直线.(2)斜截式：已知直线在斜截式：已知直线在y轴上的截距为轴上的截距为b，斜率为，斜率为k，则直线方程为则直线方程为ykxb，它不包括垂直于，它不包括垂直于x轴的直线轴的直线.(5)一般式：任何直线均可写成一般式：任何直线均可写成

3、AxByC0(A，B不同时为不同时为0)的形式的形式.问题2已知直线过点已知直线过点P(1,5)，且在两坐标轴上的，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为截距相等，则此直线的方程为_.5xy0或或xy603.点到直线的距离及两平行直线间的距离点到直线的距离及两平行直线间的距离问题3两平行直线两平行直线3x2y50与与6x4y50间的距离为间的距离为_.4.两直线的平行与垂直两直线的平行与垂直l1：yk1xb1，l2：yk2xb2(两直线斜率存在，两直线斜率存在，且不重合且不重合)，则有，则有l1l2k1k2；l1l2k1k21.l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则，则有有

4、l1l2A1B2A2B10且且B1C2B2C10；l1l2A1A2B1B20.问题4设直线设直线l1：xmy60和和l2：(m2)x3y2m0，当，当m_时，时，l1l2；当；当m_时，时，l1l2；当；当_时时l1与与l2相交；当相交；当m_时，时，l1与与l2重合重合.1m3且且m135.圆的方程圆的方程(1)圆的标准方程：圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2.(2)圆的一般方程：圆的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0)，只有当，只有当D2E24F0时，方程时，方程x2y2DxEyF0才表示圆心为才表示圆心为( )，半径为，半径为 的圆的圆.问题5若方程若方程a2x2(a2)

5、y22axa0表示圆，表示圆，则则a_.16.直线、圆的位置关系直线、圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系直线直线l：AxByC0和圆和圆C：(xa)2(yb)2r2(r0)有相交、相离、相切有相交、相离、相切.可从代数和几何两个方可从代数和几何两个方面来判断：面来判断：代数方法代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况解的情况)：0相交；相交；0相离；相离；0相切；相切；几何方法几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心：设圆心到直线的距离为到直线的距离为d，则，则dr相离；相离；dr相切相切

6、.(2)圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系已知两圆的圆心分别为已知两圆的圆心分别为O1，O2，半径分别为，半径分别为r1，r2，则，则当当|O1O2|r1r2时，两圆外离；时，两圆外离；当当|O1O2|r1r2时，两圆外时，两圆外切；切；当当|r1r2|O1O2|r1r2时，两圆相交；时，两圆相交；当当|O1O2|r1r2|时，两圆内切；时，两圆内切；当当0|O1O2|0)；焦点在焦点在y轴上：轴上：x22py(p0).9.(1)在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意二次项的系数是否为零，利用解的的方程中要注意二次项的系数是否为零，利用解的

7、情况可判断位置关系：有两解时相交；无解时相离；情况可判断位置关系：有两解时相交；无解时相离；有唯一解时，在椭圆中相切有唯一解时，在椭圆中相切.在双曲线中需注意直在双曲线中需注意直线与渐近线的关系，在抛物线中需注意直线与对称线与渐近线的关系，在抛物线中需注意直线与对称轴的关系，而后判断是否相切轴的关系，而后判断是否相切.(2)直线与圆锥曲线相交时的弦长问题直线与圆锥曲线相交时的弦长问题斜率为斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长，则所得弦长问题9已知已知F是抛物线是抛物线y2x的焦点，的焦点，A，B是该是该抛物线上的两点，抛物线

8、上的两点，|AF|BF|3，则线段，则线段AB的中的中点到点到y轴的距离为轴的距离为_. 易错点1直线倾斜角与斜率关系不清致误 易错点2忽视斜率不存在情形致误 易错点3忽视“判别式”致误易错警示易错点1直线倾斜角与斜率关系不清致误例1已知直线已知直线xsin y0，则该直线的倾斜角的，则该直线的倾斜角的变化范围是变化范围是_.错解由题意得，直线由题意得，直线xsin y0的斜率的斜率ksin ，1sin 1，1k1，找准失分点直线斜率直线斜率ktan (为直线的倾斜角为直线的倾斜角)在在0，)上是上是不单调的且不连续不单调的且不连续.正解由题意得，直线由题意得，直线xsin y0的斜率的斜率k

9、sin ，1sin 1，1k1，易错点2忽视斜率不存在情形致误例2已知直线已知直线l1：(t2)x(1t)y1与与l2：(t1)x(2t3)y20互相垂直，则互相垂直，则t的值为的值为_.l1l2，k1k21，找准失分点(1)盲目认为两直线的斜率存在，忽视对参数的讨盲目认为两直线的斜率存在，忽视对参数的讨论论.(2)忽视两直线有一条直线斜率为忽视两直线有一条直线斜率为0，另一条直线，另一条直线斜率不存在时，两直线垂直这一情形斜率不存在时，两直线垂直这一情形.正解方法一方法一(1)当当l1，l2的斜率都存在时，的斜率都存在时，由由k1k21得，得，t1.(2)若若l1的斜率不存在，的斜率不存在，

10、显然显然l1l2，符合条件；，符合条件；易知易知l1与与l2不垂直，综上不垂直，综上t1或或t1.方法二方法二l1l2(t2)(t1)(1t)(2t3)0t1或或t1.答案1或或1易错点3忽视“判别式”致误例3已知双曲线已知双曲线x2 1，过点，过点A(1,1)能否作直线能否作直线l，使，使l与双曲线交于与双曲线交于P、Q两点，并且两点，并且A为线段为线段PQ的的中点？若存在，求出直线中点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说的方程；若不存在，说明理由明理由.错解1设被设被A(1,1)所平分的弦所在直线方程为所平分的弦所在直线方程为yk(x1)1.整理得整理得(2k2)x22k(k1)x32

11、kk20，设直线与双曲线交点为设直线与双曲线交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，故所求直线方程为故所求直线方程为2xy10.错解2设符合题意的直线设符合题意的直线l存在，并设存在，并设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，因为因为A(1,1)为线段为线段PQ的中点，的中点，所以符合题设条件的直线的方程为所以符合题设条件的直线的方程为2xy10.找准失分点没有判断直线没有判断直线2xy10与双曲线是否相交与双曲线是否相交.正解1设被设被A(1,1)所平分的弦所在直线方程为所平分的弦所在直线方程为yk(x1)1.(2k2)x22k(k1)x32kk20，由由4k2(k1)24(2k2)(2k3

12、k2)0，设直线与双曲线交点为设直线与双曲线交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，故不存在被点故不存在被点A(1,1)平分的弦平分的弦.正解2设符合题意的直线设符合题意的直线l存在，并设存在，并设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，因为因为A(1,1)为线段为线段PQ的中点，的中点，所以直线所以直线l的方程为的方程为2xy10，根据根据80，所以所求直线不存在，所以所求直线不存在.查缺补漏123456789 101.(2014安徽安徽)过点过点P( ，1)的直线的直线l与圆与圆x2y21有公共点，则直线有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是的倾斜角的取值范围是()3查缺补漏12345678

13、9 10解析方法一如图，过点方法一如图，过点P作圆的切线作圆的切线PA，PB，切点为，切点为A，B.由题意知由题意知|OP|2，OA1，所以所以30，BPA60.查缺补漏123456789 10答案D查缺补漏123456789 10A.焦距相等焦距相等 B.实半轴长相等实半轴长相等C.虚半轴长相等虚半轴长相等 D.离心率相等离心率相等查缺补漏123456789 10解析因为因为0k9，所以两条曲线都表示双曲线，所以两条曲线都表示双曲线.查缺补漏123456789 10故两曲线只有焦距相等故两曲线只有焦距相等.故选故选A.答案A查缺补漏123456789 10查缺补漏123456789 10解析

14、由于由于m、n可互换而不影响，可互换而不影响，查缺补漏123456789 10答案D查缺补漏123456789 10查缺补漏123456789 10查缺补漏123456789 10答案C查缺补漏123456789 10查缺补漏123456789 10如图，过如图，过Q作作QQl，垂足为，垂足为Q，设设l与与x轴的交点为轴的交点为A，则，则|AF|4，|QQ|3，根据抛物线定义可知，根据抛物线定义可知|QQ|QF|3，故选，故选C.答案C查缺补漏123456789 106.(2014陕西陕西)若圆若圆C的半径为的半径为1，其圆心与点，其圆心与点(1,0)关于直关于直线线yx对称，则圆对称，则圆C

15、的标准方程为的标准方程为_.解析圆圆C的圆心为的圆心为(0,1)，半径为，半径为1，标准方程为标准方程为x2(y1)21.x2(y1)21查缺补漏123456789 10解析当斜率当斜率k不存在时，过点不存在时，过点P的直线方程为的直线方程为x3，代入代入x2y225，得，得y14，y24.所以弦长为所以弦长为|y1y2|8，符合题意，符合题意.查缺补漏123456789 10查缺补漏123456789 10即即3x4y150.所以所求直线方程为所以所求直线方程为x30或或3x4y150.答案x30或或3x4y150查缺补漏123456789 108.在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中，圆中，圆C的方程为的方程为x2y28x150，若直线，若直线ykx2上至少存在一点，使上至少存在一点，使得以该点为圆心，得以该点为圆心，1为半径的圆与圆为半径的圆与圆C有公共点，有公共点，则则k的最大值是的最大值是_.解析圆圆C的标准方程为的标准方程为(x4)2y21，圆心为，圆心为(4,0).