数学实验4线性代数

1、数数 学学 实实 验验华中农业大学数学建模基地系列课件华中农业大学数学建模基地系列课件线性代数实验线性代数实验一一 .实验目的实验目的 掌握矩阵的输入和线性代数各种运算的命令形式掌握矩阵的输入和线性代数各种运算的命令形式 二二. 实验内容与方法实验内容与方法 矩阵运算、点运算、行列式、矩阵运算、点运算、行列式、 矩阵的秩、解线性矩阵的秩、解线性方程组、矩阵的特征值和特征向量方程组、矩阵的特征值和特征向量 987654321 625603542(1)(1) 已知A=，B=求2A-3B.MATLAB程序程序:A=1,2,3;4,5,6;7,8,9;B=2,4,5;-3,0,6;-5,2,6; 2*

2、A-3*Bans = -4 -8 -9 17 10 -6 29 10 0 运行结果如下：运行结果如下： 一、矩阵运算一、矩阵运算3.1 矩阵及其运算矩阵及其运算 2121 12 24(2) A=，B=，C=求求AB和和AC. 解解 矩阵的乘法要注意前后矩阵的型号。矩阵的乘法要注意前后矩阵的型号。编写命令如下：编写命令如下：A=1,-2;-1,2;B=-2;-1;C=4;2;A*B,A*C执行结果如下：执行结果如下：ans = ans = 0 0 0 0. AB等效于等效于A的逆左乘的逆左乘B矩阵，也就是矩阵，也就是inv(A)*B，B/A等效于等效于A矩阵的逆右乘矩阵的逆右乘B矩阵，也就是矩阵

3、，也就是B*inv(A). ,2781941321 A 625603542B(3) 已知已知求求AB和和B/A.解解 编写程序如下：编写程序如下：A=1,2,3;1,4,9;1,8,27;B=2,4,5;-3,0,6;-5,2,6; % 定义矩阵定义矩阵AB,B/A % 执行除法执行除法命令得到结果如下：命令得到结果如下：ans = 11.0000 13.0000 3.0000 -6.5000 -7.0000 1.5000 1.3333 1.6667 -0.3333ans = 1.6667 0.5000 -0.1667 -7.0000 4.5000 -0.5000 -16.0000 13.50

4、00 -2.5000 (4) 1011A，求，求A10 . 解解 输入命令：输入命令：A=1,1;0,1;A10 程序运行后得到如下结果：程序运行后得到如下结果：ans = 1 10 0 1 点运算符有点运算符有 .* 、./、.和和 ., 两矩阵进行点运两矩阵进行点运算是指它们的对应元素进行相关运算，算是指它们的对应元素进行相关运算，要求两要求两矩阵的同型矩阵的同型。 编写程序如下：编写程序如下：A=1,2,3;1,4,9;1,8,27;B=2,4,5;-3,0,6;-5,2,6; % 定义矩阵定义矩阵A.B, A.*B % 注意与注意与AB, A*B的区别的区别 2.0000 2.0000

5、 1.6667 -3.0000 0 0.6667 -5.0000 0.2500 0.2222ans =2 8 15 -3 0 54 -5 16 162 ans =(5) 求求A.B和和A.*B。(6) 转置运算符是单撇转置运算符是单撇 输入程序如下：输入程序如下：A=1,2;3,4;5,6; A 执行命令所得结果为：执行命令所得结果为：ans = 1 3 5 2 4 6 (7) 求方阵求方阵A的行列式的行列式A=1,2,3;1,4,9;1,8,27;det(A)执行命令并得到结果：执行命令并得到结果：ans = 12 命令命令:det(A)(8) 随机生成一个随机生成一个5阶矩阵，并求其行列式

6、。阶矩阵，并求其行列式。 解解 编写并输入程序：编写并输入程序：B=rand(5,5)， % 随机生成随机生成55矩阵矩阵g=det(B) % 求行列式求行列式 运行后得到结果（运行后得到结果（B每次运行结果都不一样）每次运行结果都不一样）B = 0.2028 0.0153 0.4186 0.8381 0.5028 0.1987 0.7468 0.8462 0.0196 0.7095 0.6038 0.4451 0.5252 0.6813 0.4289 0.2722 0.9318 0.2026 0.3795 0.3046 0.1988 0.4660 0.6721 0.8318 0.1897g

7、= 0.1292 (9) 求方阵求方阵A的逆矩阵的逆矩阵(inv(A). 输入如下命令：输入如下命令： a=2,-3,1;8,3,2;45,1,-9; c=inv(a) % 求求a的逆阵的逆阵运行结果如下：运行结果如下：c = 0.0432 0.0387 0.0134 -0.2414 0.0939 -0.0060 0.1893 0.2042 -0.0447在在MATLAB中行最简形的命令是中行最简形的命令是rref(A). (Reduced row echelon form)在在MATLAB中，求矩阵秩的函数是中，求矩阵秩的函数是rank(A)。 在在 MATLAB 中，求矩阵的迹的函数是中，

8、求矩阵的迹的函数是trace(A)。 3.2 初等变换与线性方程组初等变换与线性方程组(10) 线性方程组的解线性方程组的解123123123x2x3x02xxx0 x2x2x0解解 先求系数矩阵先求系数矩阵A的秩，输入命令：的秩，输入命令：A=1,2,3;2,-1,-1;1,-2,-2;rank(A)执行命令后得执行命令后得ans=3 方程组只有零解，即方程组只有零解，即x1=0，x2=0，x3=0. (11) 求齐次线性方程组求齐次线性方程组 02022043214314321xxxxxxxxxxx解解 先求系数矩阵的秩，输入命令：先求系数矩阵的秩，输入命令： A=1,1,-1,-1;2,

9、2,0,1;1,1,1,2; rank(A) 执行命令后得到：执行命令后得到： ans= 2方程组有无穷解，继续输入命令：方程组有无穷解，继续输入命令： z=null(A,r) %解出基础解系解出基础解系,r:rationalz=执行后得到：执行后得到： -1.0000 -0.5000 1.0000 0 0 -1.5000 0 1.0000 15 . 105 . 0001121kkx齐次线性方程组的解为：齐次线性方程组的解为： (12) 解线性方程组解线性方程组 12212232321321321xxxxxxxxx解解 先求系数矩阵与增广矩阵的秩，先求系数矩阵与增广矩阵的秩， 输入以下命令：输

10、入以下命令：A=1,2,3;2,-1,-1;1,-2,-2;b=2;1;-1;c=A b;rank(A),rank(c)执行命令后得到：执行命令后得到：ans= 3因此此方程组有唯一解，因此此方程组有唯一解， 继续输入命令：继续输入命令：x=inv(A)*b执行命令后得到：执行命令后得到：x = 1.0000 2.0000 -1.0000 (13) 解线性方程组解线性方程组 12341241234xxxx12x2xx2xxx2x1解解 与上例类似，如命令：与上例类似，如命令： A=1,1,-1,-1;2,2,0,1;1,1,1,2;b=1;2;1;c=A,b; rank(A),rank(c)执

11、行命令结果为执行命令结果为ans= 2 2继续输入命令：继续输入命令：Z=null(A,r) %求对应齐次方程组得基础解系求对应齐次方程组得基础解系x=pinv(A)*b %得出特解得出特解(Moore-Penrose pseudoinverse of a matrix 广义逆广义逆)执行后得到结果为：执行后得到结果为：Z = x = -1.0000 -0.5000 0.4815 1.0000 0 0.4815 0 -1.5000 -0.1111 0 1.0000 0.07411) E=eig(A)： 求矩阵求矩阵 A 的全部特征值，构成向量的全部特征值，构成向量E；2) V,D=eig(A)

12、 求矩阵求矩阵A的全部特征值，构成对角阵的全部特征值，构成对角阵 D，并，并求求 A的特征向量构成的特征向量构成V的列向量；的列向量； (14) 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量 3.3 矩阵的对角化矩阵的对角化解解 可以调用可以调用eig()函数直接获得矩阵函数直接获得矩阵A的特征值，的特征值， 输入命令：输入命令： A=0,0,1;0,1,0;1,0,0;eig(A)执行命令后得到：执行命令后得到： ans= -1 1 1001010100A求矩阵求矩阵A的特征值与特征向量的特征值与特征向量.执行命令后得到执行命令后得到; v= 0.7071 0.7071 0 0 0 -1.0000 -0.7071 0.7071 0 d= -1 0 0 0 1 0 0 0 1输入命令：输入命令： v,d=eig(A)(15) 实对称阵的对角化实对称阵的对角化MATLAB中提供了求解正交矩阵的函数中提供了求解正交矩阵的函数orth()，该函数的调用格式为：该函数的调用格式为：Q=orth(A)。例例 设设 011101110A，求一个正交矩阵，求一个正交矩阵P，使使P-1AP为对角阵为对角阵.执行命令后得到：执行命令后得到：p = -0.5774 0.8165 0.0000 -0.5774 -0.4082 -0.7071 -0.5774 -0.4082 0.7071解解 这