第五章线性空间与线性变换

1、第五章 线性空间与线性变换第五章第五章 线性空间与线性变换线性空间与线性变换1 1 线性空间的概念线性空间的概念 线性空间也是线性代数的中心内容之一, 本章介绍线性空间的概念及其简单性质, 讨论线性空间的基和维数的概念, 介绍线性变换的概念和线性变换的矩阵表示. 一一. . 数域数域 (1) 0, 1K ; 定义定义5.15.1 设K是一个数集, 如果 (2) a, bK, a+bK, a-bK, abK, 且当b0时, a/bK, K是一个数域. 可见, Q, 实数集R, 复数集C.第五章 线性空间与线性变换 数集也是数域. 可见, 有无穷多个数域. 但任意数域都包含于有理数域. 对几何空间

2、中的向量, 实数域上的n维向量, 实数域上的矩阵等, 它们的元素间都定义了各自的加法和乘数两种运算, 而且满足相同的运算规律, 这就是线性空间. 二二. . 线性空间的定义和例子线性空间的定义和例子( 2)a+b 2|a, bQQ第五章 线性空间与线性变换 定义定义5.25.2 设V是一个非空集合, K是一个数域, 如果在V上定义了加法和与K中数的乘法两种运算, 且满足 (1) + = + (加法交换律); (2) ( + )+ = +( + )(加法结合律); (3) V中有零元素0 0, 使 V有 +0 0= ; (4) V, - V, 使 +(+(- )=0, )=0, 称- 为 的负元

3、素; (5) k( + + )=k + +k , , , , V, kK; (6) (k+l) =k + +l , , V, k, lK; (7) (kl) =k(l ) , , V, k, lK; (8) 1 = , , V, 1K; 则称V为数域K上的一个线性空间. 记为VK , 或V.第五章 线性空间与线性变换 线性空间也称为向量空间, 其元素都称为向量.例如: 数域K上的所有n维向量组成的集合Kn, 对向量的加法和乘数两种运算, 构成数域K上的一个线性空间. 数域K上的所有mn矩阵的集合Kmn, 对矩阵的加法和乘数两种运算, 构成数域K上的一个线性空间. 实系数齐次线性方程组AxAx=

4、0 0的全体解的集合U, 对解向量的加法和乘数两种运算, 构成实数域R上的一个线性空间. 数域K上的所有次数小于n的多项式的集合Kxn, 对多项式的加法和乘数两种运算, 构成K上的一个线性空间. 第五章 线性空间与线性变换 线性空间具有下列简单性质: 1. 令向量是唯一的. 0 01=0 01+0 02=0 02 2. 每个向量的负向量是唯一的. - 1=(- 1)+0 0=(- 1)+( +(- 2) =(- 1)+ )+(- 2)=0 0+(- 2)=- 2 3. 0 =0 0, k0 0=0 0, V, kK 0 + =0 +1 =(0+1) = , 由1.得0 =0 0 . 4. 若k

5、 =0 0, 则, k=0或 =0 0. =1 =(1/kk) =1/k(k )=1/k0 0=0 0第五章 线性空间与线性变换 三三. . 子空间子空间 定义定义5.35.3 设U是线性空间V的一个非空子集. 如果U对V的加法和乘数两种运算也构成线性空间, 则称U是V的子空间. 按定义可见, 集合0是V的子空间, 称之为零子空间, V也是V的子空间. 这两个子空间称为V的平凡子空间, 其它的称为非平凡子空间. , U, kK, 都有 + U, k U 定理定理5.15.1 设U是线性空间V的一个非空子集. 则U是V的子空间的充分必要条件是U对V的加法和乘数两种运算是封闭的. 即第五章 线性空

6、间与线性变换例如 n元实系数齐次线性方程组Ax=0的解空间U是Rn的子空间. 设 1, 2, r 是线性空间VK中的一组向量, 则 Kxn是Kx的子空间. Knn中所有对称矩阵构成Knn的子空间. L( 1, 2, r)=k1 1+k2 2+kr r|k1,k2,krK是VK的子空间. 称为由 1, 2, r生成的子空间.第五章 线性空间与线性变换2 2 基基 维数维数 坐标坐标 齐次线性方程组AxAx=0 0的全体解的集合U构成解空间,我们知道U中所有向量都可以有AxAx=0 0的基础解系表示. 这是线性空间的重要性质. 一一. . 基基 维数维数 坐标坐标 定义定义5.45.4 在线性空间

7、V中, 如果有n个向量 1, 2, n线性无关, 而且V中任意向量都可由它们线性表示, 则称 1, 2, n为V的一组基, n称为V的维数, V称为n维线性空间. 仅含零向量的线性空间维数是零, 如果V中有任意多个线性无关的向量, 称其为无限维线性空间. 如Kx. 在线性代数中, 只讨论有限维线性空间.第五章 线性空间与线性变换 可见, 如果将线性空间V看成一向量组, 所谓基就是V的一个极大线性无关组, 所谓维数就是V的秩. Kxn是n维线性空间, 1, x, x2,xn-1 是它的一组基.例如 齐次线性方程组AxAx=0 0的基础解系就是方程组解空间U的基, 如果n元方程组的系数矩阵的秩为r

8、, 则U是n-r维线性空间. Rmn是mn维线性空间, 如R23的一组基为:100010001000000000,000000000100010001 向量组 1, 2, r的一个极大线性无关组, 就是线性空间L( 1, 2, r)的一组基, 其维数就是向量组的秩.第五章 线性空间与线性变换 定理定理5.25.2 设V是n维线性空间, 如果V中向量组 1, 2, m线性无关, 则在V中必有n-m个向量 m+m+1, m+m+2, n, 使得 1, 2, m, m+m+1, m+m+2, n是V的一组基. 定义定义5.55.5 设 1, 2, n是线性空间VK的一组基, 如果 VK可以表示为:

9、由定理可见, 含有非零向量的线性空间一定存在基. 基的重要性之一就是空间中每个向量都能由基线性表示. =x1 1+x2 2+xn n则称(x1, x2,xn)T为向量 在基 1, 2, n下的坐标. 可见, 坐标是由向量及基的选取唯一确定的.第五章 线性空间与线性变换 例例1 1 试求线性空间R3中向量 =(1, 2, 3)T在基: =x1 1+x2 2+x3 3 解 设所求坐标为(x1, x2, xn)T, 则即解之得, x1=2, x2=-1/2, x3=-1/2.所以, 向量 在基 1, 2, 3下的坐标是(2, -1/2, -1/2)T. 1=(1, 1, 1)T, 2=(1, 1,

10、-1)T, 3=(1, -1, -1)T下的坐标.123123123123xxxxxxxxx第五章 线性空间与线性变换也可以写成:11232122, 一般地, 向量 在基 1, 2, n下的坐标为(x1, x2,xn)T,也可表示为:1212,.,nnxxx 第五章 线性空间与线性变换二二. . 基变换与坐标变换基变换与坐标变换 线性空间如果有基, 显然基不唯一. 那么一个向量在不同基下就有不同的坐标, 下面就来讨论它们之间的关系. 设 1, 2, n和 1, 2, n是线性空间VK的两组基, 则, 这两个向量组等价. 如果则合起来就有:12,1,2,.,kknkcccknk12n , ,.,

11、第五章 线性空间与线性变换简记为 定义定义5.65.6 矩阵C称为由基 1, 2, n到基 1, 2, n的过渡矩阵. 过渡矩阵是可逆的.111212122212nnnnnnccccccccc12n12n , ,.,= , ,.,12n12n , ,.,= , ,.,C 定理定理5.3 5.3 设 1, 2, n和 1, 2, n是线性空间VK的两组基. 如果向量 在这两组基下的坐标分别为x x=(x1, x2, xn)T, y y=(y1, y2, yn)T, 则x x=CyCy. 其中C是过渡矩阵.第五章 线性空间与线性变换 证明证明 由于 由于向量在一组基下的坐标是唯一的, 所以x x=

12、CyCy.12nyyy12n , ,., 如例1中, =(1, 2, 3)T在基 1=(1, 0, 0)T, 2=(0, 1, 0)T, 3=(0,0,1)T下的坐标显然为(1,2,3)T, 12nyyy12n , ,.,C 且由基 1, 2, 3 到基 1, 2, 3的过渡矩阵为( 1, 2, 3), 所以, =(1, 2, 3)T在基 1, 2, 3下的坐标为: ( 1, 2, 3)-1(1, 2, 3)T=(2, -1/2, -1/2)T第五章 线性空间与线性变换3 3 线线 性性 变变 换换 线性变换是线性空间上的重要运算, 本节介绍线性变换的概念, 并讨论线性变换与矩阵之间的关系.

13、一一. . 定义和例子定义和例子 定义定义5.75.7 设 是线性空间VK到VK的一个映射, 且满足 , VK, kK都有则称 为VK的一个线性变换. ( + )= ( )+ ( ) (k )=k ( )第五章 线性空间与线性变换例如 A ARnn, 定义 (A A)=A AT, 则 为Rnn的一个线性变换. 取0 0VK, VK, 定义 ( )=0 0, 则 为VK的一个线性变换, 称为零变换.(2) ( )= ( ); 线性变换 具有下列简单性质: (1) (0)=0; 取A ARnn, Rn, 定义 ( )=A , 则 为Rn的一个线性变换. VK, 定义 ( )= , 则 为VK的一个

14、线性变换, 称为恒等变换或单位变换. (3) (x1 1+x2 2+xm m) =x1 ( 1)+x2 ( 2)+xm ( m)第五章 线性空间与线性变换二二. . 线性变换的矩阵线性变换的矩阵 设 为线性空间VK的一个线性变换, 1, 2, n是VK的一组基, VK, 如果 =x1 1+x2 2+xn n, 则即, ( )是由 ( 1), ( 2), ( n)唯一确定的. 由于 ( 1), ( 2), ( n)VK, 故可由 1, 2, n线性表示, 记 ( )=x1 ( 1)+x2 ( 2)+xn ( n) ( 1)=a11 1+a21 2+an1 n ( 2)=a12 1+a22 2+a

15、n2 n ( n)=a1n 1+a2n 2+ann n第五章 线性空间与线性变换例如其中 ( 1, 2, n)=( 1, 2, n)A A矩阵A的第j列为向量 ( j)在基 1, 2, n下的坐标.111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa 矩阵A称为线性变换 在基 1, 2, n下的矩阵.第五章 线性空间与线性变换例如 线性空间Kxn中, 求微商的变换 在基1, x, x2, xn-1下的矩阵为:0000A01000000A010002000000A0100002000010000An 零变换在任何基下的矩阵都是零矩阵. 单位变换在任何基下的矩阵都是单位矩阵.第五章 线性空间与

16、线性变换 线性空间Kxn中, 求微商的变换 在基1, x, x2/2, xn-1/(n-1)下的矩阵为:0000A01000000A010001000000A0100001000020000An第五章 线性空间与线性变换 A AR22, 定义 (A A)=A AT, 则 在基E11, E12, E21, E22下的矩阵为:1000A10000100A100001010000A1000001001000001A1112212210010000,00001001E EE EE EE E第五章 线性空间与线性变换 定理定理5.45.4 设线性变换 在基 1, 2, n下的矩阵是A A, 向量 在基

17、1, 2, n下的坐标为x x=(x1, x2, xn)T,则 ( )在这组基下的坐标是AxAx. 证明证明 因为 =x1 1+x2 2+xn n, 所以 =( 1, 2, n)TAxAx ( )=x1 ( 1)+x2 ( 2)+xn ( n) =( ( 1), ( 2), ( n)x x所以, ( )在基 1, 2, n下的坐标是AxAx.第五章 线性空间与线性变换 定理定理5.55.5 设 是线性空间V的线性变换, 如果 在两组基 1, 2, n和 1, 2, n下的矩阵分别为A A和B B, 且由基 1, 2, n到基 1, 2, n的过渡矩阵为C, 则B B=C C-1ACAC. 证明

18、证明 由于 ( 1, 2, n)=( 1, 2, n)A A ( 1, 2, n)=( 1, 2, n)C C于是 ( 1, 2, n)B=B= ( 1, 2, n)= ( 1, 2, n)CC = ( 1, 2, n)C=C=( 1, 2, n)ACAC =( 1, 2, n)C C-1ACAC由于线性变换在一个基下的矩阵是唯一的, 故B=C C-1AC.AC.第五章 线性空间与线性变换 例例2 2 设线性空间R3的线性变换 在基 1, 2, 3下的矩阵为 解解 基基 1, 2, 3到基 1, 2, 3的过渡矩阵为求 在基 1= 1, 2=-3 1-2 2+2 3, 3= 1+2 2+2 3

19、下的矩阵.先求C C-1, 由于112012021A131022022C第五章 线性空间与线性变换13 1 1 0 0()02 2 0 1 0022 0 0 1C E32212321/21231 02 100 11 000 04 011rrrrr所以, 在基 1, 2, 3下的矩阵为:32313121/41144112441 0 0 110 1 0 00 0 1 0rrrrr1211144114411,00C故12114411441111 213100120220021022B10001 0003第五章 线性空间与线性变换4 4 欧几里得空间欧几里得空间 欧几里得空间就是在实线性空间上定义了数

20、量积. 一一. . 定义和例子定义和例子 定义定义5.85.8 设V是实数域R上的一个线性空间, 在V上定义一个二元实函数 , , 满足: , , V, kR, 有则称二元实函数 , 是V上的内积, 此时的线性空间V称为Euclid(欧几里得)空间. (1) 对称性: , = , (2) 线性性: + , = , + , , k , =k , (3) 正定性: , 0, 且仅当 =0=0时, , =0.第五章 线性空间与线性变换例如: 在Rn中, =(a1, a2,an)T, =(b1, b2,bn)TRn, 定义 : , =a1b1+2a2b2+nanbn, 则Rn也成为Euclid空间,但

21、它是与上面不同的Euclid空间. 在Rxn中, f(x) , g g(x) Rxn, 定义内积为: 在Rn中, =(a1, a2,an)T, =(b1, b2,bn)TRn, 定义 : , =a1b1+a2b2+anbn, 则Rn成为Euclid空间.则Rxn也成为Euclid空间.1-1f(x),g(x)=f(x)g(x)dx 利用内积的概念, 可以定义Euclid空间中向量的长度, 向量的夹角等概念.第五章 线性空间与线性变换 向量的长度具体下列性质: 定义定义5.95.9 设V是Euclid空间, V, 非负实数 , 1/2称为向量 的长度(或范数, 或模), 记为| |(或 ).还有

22、下面的Cauchy-Schwarz不等式: (1) 非负性: | |0, 且仅当 =0=0时, | |=0 ; (2) 齐次性: |k |=|k| |; (3) 三角不等式: | + | |+| |. | , | | |.若| |=1, 称 为单位向量. 若 0 0, 则(1/| |) 是单位向量.第五章 线性空间与线性变换 定义定义5.105.10 在Euclid空间中, 两个非零向量 , 的夹角记为, 规定为: 定义定义5.12 5.12 在Euclid空间中, 一组两两正交的非零向量称为正交向量组, 由单位向量构成的正交向量组称为规范正交向量组.可见, =/2当且仅当 , =0. 定义定

23、义5.115.11 如果 , =0, 则称 与 正交. 可见, 1, 2, n为规范正交组 i, j=ij . , ,=arccos,0,| | | 定理定理5.65.6 正交向量组必线性无关 .第五章 线性空间与线性变换 在线性空间R3中, 取标准内积 , =x1y1+x2y2+x3y3, 使R3成为一个 Euclid空间.解之得一个解为, =(-2, 1, 1)T, 将 单位化得: 解解 先求与 1, 2都正交的向量 , 记 =(x1, x2, x3)T, 则 1, = x1+x2+x3=0, 2, =x2-x3=011211( 2,1,1)(,) .|6666TT 例例3 3 在Eucl

24、id空间R3中, 求一个单位向量 , 使其与两个向量 1=(1, 1, 1)T, 2=(0, 1, -1)T 都正交.第五章 线性空间与线性变换111,01222111 , = - , 二二. . 规范正交基规范正交基 定理定理5.7 5.7 在Euclid空间中, 如果向量组 1, 2, m线性无关, 则有规范正交向量组 1, 2, m与之等价 . 证明证明 先正交化, 取 1 = 1, ,1222111 , = - , 32333222,1111 , , = - - , , 21212211.mmmmmmmmm1111 , , , = , , ,第五章 线性空间与线性变换 再将 1, 2, m单位化, 取1222111,|mmm11 = = = 则 1, 2, m就是所求规范正交向量组. 上述由线性无关向量组 1, 2, m,得到正交向量组 1, 2, m的方法称为Schimidt(斯密特)正交化过程. 定义定义5.135.13 在n维Euclid空间V中, 含有n个向量的正交向量组称为V的正交基. 由单位向量构成的正交基称为规范正交