武汉科技大学春华餐厅窗口服务改善分析

1、 目录武汉科技大学春华餐厅窗口服务改善分析2摘 要2针对武汉科技大学春华餐厅排队就餐人数较多，导致服务效率偏低的问题，在此运用排队理论方法，为武汉科技大学学校食堂窗口服务工作构建相应的定量模型，节约排队就餐时间，提高食堂服务质量、改善服务效率，以及平衡学生排队时间与食堂收益之间的关系，优化食堂服务资源配置提供一种较为有效的管理决策手段，提供给学生最佳的排队就餐时间段。2关键词：排队论，M/M/s模型，灵敏度，最佳就餐时间段21 排队论原理32 基本原理72.1 多服务台排队系统的数学模型-模型72.2 M/M/s等待制多服务台模型83 实例分析93.1 模型假设93.1.1103.1.2103

2、.1.3133.2 模型建立及求解133.3 模型分析154窗口优化设计175结果分析176结束语18武汉科技大学春华餐厅窗口服务改善分析 袁绛宏（机械自动化学院 工业工程1201 201203166010） 摘 要针对武汉科技大学春华餐厅排队就餐人数较多，导致服务效率偏低的问题，在此运用排队理论方法，为武汉科技大学学校食堂窗口服务工作构建相应的定量模型，节约排队就餐时间，提高食堂服务质量、改善服务效率，以及平衡学生排队时间与食堂收益之间的关系，优化食堂服务资源配置提供一种较为有效的管理决策手段，提供给学生最佳的排队就餐时间段。关键词：排队论，M/M/s模型，灵敏度，最佳就餐时间段绪论 在武汉

3、科技大学青山校区，经常有如下的情景：下课铃声响起后，许多同学争相跑向食堂去买饭，小小的卖饭窗口前没过几分钟便排成了长长的队伍，本来空荡荡的食堂也立即变得拥挤不堪。饥肠辘辘的同学们见到这种长蛇八卦，没有不怨声载道的。增加服务窗口数量，减少排队等待时间，是学生们十分关心的问题。然而就食堂的角度来说，虽说增加服务窗口数量可以减少排队等待时间，提高学生对该食堂的满意度，从而赢得更多的学生到该食堂就餐，但是同时也会增加食堂的运营成本，因此如何在这两者之间进行权衡，找到最佳的窗口数量，对学生和食堂双方来说都是很重要的。具体分析到武汉科技大学春华餐厅容纳量为600人左右，早餐就餐人数偏少，时间段分布分散，因

4、此本文不探讨早餐排队问题。在这里着重分析中午和下午时段的排队就餐人数，通过实地考查具体数据运用排队论来优化该系统。 排队论是通过研究各种服务系统的排队现象，解决服务系统优化设计和优化控制的一门科学。本论文将根据食堂排队状况建立数学模型，运用排队论的观点进行分析，通过比较各方面因素的关系，为其拥挤状况找到一个较合理的解决方案。 日常生活中存在大量有形和无形的排队或拥挤现象，如旅客购票排队，市内电话占线等现象。排队论的基本思想是1910年丹麦电话工程师A.K.埃尔朗在解决自动电话设计问题时开始形成的，当时称为话务理论。他在热力学统计平衡理论的启发下，成功地建立了电话统计平衡模型，并由此得到一组递推

5、状态方程，从而导出著名的埃尔朗电话损失率公式。1 排队论原理自20世纪初以来，电话系统的设计一直在应用这个公式。30年代苏联数学家.欣钦把处于统计平衡的电话呼叫流称为最简单流。瑞典数学家巴尔姆又引入有限后效流等概念和定义。他们用数学方法深入地分析了电话呼叫的本征特性，促进了排队论的研究。50年代初，美国数学家关于生灭过程的研究、英国数学家D.G.肯德尔提出嵌入马尔可夫链理论，以及对排队队型的分类方法，为排队论奠定了理论基础。在这以后，L.塔卡奇等人又将组合方法引进排队论，使它更能适应各种类型的排队问题。70年代以来，人们开始研究排队网络和复杂排队问题的渐近解等，成为研究现代排队论的新趋势。折叠

6、排队模型的表示X/Y/Z/A/B/CX-顾客相继到达的间隔时间的分布;Y-服务时间的分布;M-负指数分布、D-确定型、Ek -k阶爱尔兰分布;Z-服务台个数;A-系统容量限制(默认为);B-顾客源数目(默认为);C-服务规则 (默认为先到先服务FCFS)。折叠排队系统的衡量指标队长Ls-系统中的顾客总数;排队长Lq-队列中的顾客数;逗留时间Ws-顾客在系统中的停留时间;等待时间Wq-顾客在队列中的等待时间;忙期-服务机构两次空闲的时间间隔;服务强度;稳态-系统运行充分长时间后，初始状态的影响基本消失，系统状态不再随时间变化。折叠到达间隔时间与服务时间的分布泊松分布;负指数分布;爱尔兰分布;统计

7、数据的分布判断。排队系统的构成及应用前景排队系统由输入过程与到达规则、排队规则、服务机构的结构、服务时间与服务规划组成。一般还假设到达间隔时间序列与服务时间均为独立同分布随机变量序列，且这两个序列也相互独立。评价一个排队系统的好坏要以顾客与服务机构两方面的利益为标准。就顾客来说总希望等待时间或逗留时间越短越好，从而希望服务台个数尽可能多些但是，就服务机构来说，增加服务台数，就意味着增加投资，增加多了会造成浪费，增加少了要引起顾客的抱怨甚至失去顾客，增加多少比较好呢?顾客与服务机构为了照顾自己的利益对排队系统中的3个指标:队长、等待时间、服务台的忙期(简称忙期)都很关心。因此这3个指标也就成了排

8、队论的主要研究内容。排队论的应用非常广泛。它适用于一切服务系统。尤其在通信系统、交通系统、计算机、存贮系统、生产管理系统等方面应用得最多。排队论的产生与发展来自实际的需要，实际的需要也必将影响它今后的发展方向。排队系统又称服务系统。服务系统由服务机构和服务对象(顾客)构成。服务对象到来的时刻和对他服务的时间(即占用服务系统的时间)都是随机的。图1为一最简单的排队系统模型。排队系统包括三个组成部分:输入过程、排队规则和服务机构。折叠输入过程输入过程考察的是顾客到达服务系统的规律。它可以用一定时间内顾客到达数或前后两个顾客相继到达的间隔时间来描述，一般分为确定型和随机型两种。例如，在生产线上加工的

9、零件按规定的间隔时间依次到达加工地点，定期运行的班车、班机等都属于确定型输入。随机型的输入是指在时间t内顾客到达数 n(t)服从一定的随机分布。如服从泊松分布,则在时间t内到达n个顾客的概率为排队论或相继到达的顾客的间隔时间T 服从负指数分布，即排队论式中为单位时间顾客期望到达数，称为平均到达率;1/为平均间隔时间。在排队论中，讨论的输入过程主要是随机型的。折叠排队规则排队规则分为等待制、损失制和混合制三种。当顾客到达时，所有服务机构都被占用，则顾客排队等候，即为等待制。在等待制中，为顾客进行服务的次序可以是先到先服务，或后到先服务，或是随机服务和有优先权服务(如医院接待急救病人)。如果顾客来

10、到后看到服务机构没有空闲立即离去，则为损失制。有些系统因留给顾客排队等待的空间有限，因此超过所能容纳人数的顾客必须离开系统，这种排队规则就是混合制。折叠服务机构可以是一个或多个服务台。多个服务台可以是平行排列的，也可以是串连排列的。服务时间一般也分成确定型和随机型两种。例如，自动冲洗汽车的装置对每辆汽车冲洗(服务)时间是相同的，因而是确定型的。而随机型服务时间v 则服从一定的随机分布。如果服从负指数分布，则其分布函数是排队论式中为平均服务率，1/为平均服务时间。如果按照排队系统三个组成部分的特征的各种可能情形来分类，则排队系统可分成无穷多种类型。因此只能按主要特征进行分类。一般是以相继顾客到达

11、系统的间隔时间分布、服务时间的分布和服务台数目为分类标志。现代常用的分类方法是英国数学家D.G.肯德尔提出的分类方法，即用肯德尔记号 X/Y/Z进行分类。X处填写相继到达间隔时间的分布;Y处填写服务时间分布;Z处填写并列的服务台数目。各种分布符号有:M-负指数分布;D-确定型; Ek-k阶埃尔朗分布;GI-一般相互独立分布;G-一般随机分布等。这里k阶埃尔朗分布是排队论为相互独立且服从相同指数分布的随机变量时服从自由度为 2k的2分布。例如,M/M/1表示顾客相继到达的间隔时间为负指数分布、服务时间为负指数分布和单个服务台的模型。D/M/C表示顾客按确定的间隔时间到达、服务时间为负指数分布和C

12、个服务台的模型。至于其他一些特征,如顾客为无限源或有限源等，可在基本分类的基础上另加说明。研究排队系统问题的主要目的是研究其运行效率,考核服务质量,以便据此提出改进措施。通常评价排队系统优劣有 6项数量指标。系统负荷水平 :它是衡量服务台在承担服务和满足需要方面能力的尺度;系统空闲概率P0:系统处于没有顾客来到要求服务的概率;队长:系统中排队等待服务和正在服务的顾客总数，其平均值记为LS;队列长:系统中排队等待服务的顾客数，其平均值记为Lg;逗留时间:一个顾客在系统中停留时间，包括等待时间和服务时间，其平均值记为WS;等待时间:一个顾客在系统中排队等待时间,其平均值记为Wg。M/M/1排队系统

13、是一种最简单的排队系统。系统的各项指标可由图2中状态转移速度图推算出来(表1)。其他类型的排队系统的各种指标计算公式则复杂得多，可专门列出计算公式图表备查。现已开始应用计算机仿真来求解排队系统问题。2 基本原理 武汉科技大学学生在春华餐厅高峰期这段时间达到的人数是无限的，并且依次以参数为的泊松过程达到，达到的时间间隔是随机的，服从负指数分布。 餐厅每个服务窗口以并联的方式连接，且每个窗口对学生来说都是一样的，服务时间服从参数为的负指数分布。由概率论的知识可知，若分布满足，泊松分布的概率分布函数为： P(X=k)=frace-lambdalambdakk! 泊松分布的参数是单位时间(或单位面积)

14、内随机事件的平均发生率。 泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。如某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数等等。泊松分布的期望和方差均为 泊松分布的参数是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生率。21 多服务台排队系统的数学模型-模型排队论是研究排队系统（又称为随机服务系统）的数学理论和方法，是运筹学的一个重要分支。在日常生活中人们会遇到各种各样的排队问题。排队问题的表现形式往往是拥挤现象。排队系统的符号一般形式为：X/Y/Z/A/B/C。 其中：X表示顾客相继到达时问间隔的分布；Y表示服务时间的分布；

15、Z表示服务台的个数；A表示系统的容量，即可容纳的最多顾客数；B表示顾客源的数目；C表示服务规则。 排队论的基本问题是研究一些数量指标在瞬时或平稳状态下的概率分布及其数字特征，了解系统运行的基本特征；系统数量指标的统计推断和系统的优化问题等。 当系统运行一定时间达到平稳状态后，对任一个状态 n来说，单位时内进入该状态的平均次数和单位时间内离开该状态的平均次数应相等，即系统在统计平衡下“流入=流出”。【2】据此可得任一状态下的平衡方程如下： 0： 1： 2：n:由上述平衡方程，可求得： 平衡状态的分布为： (1)其中： (2)由概率分布的要求： ，有： , （3）注意：（3）式只有当级数 收敛时才

16、有意义，即当时，才能由上述 公式得到平稳状态的概率分布。 2.2 M/M/s等待制多服务台模型设顾客单个到达，相继到达的时间间隔服从参数为 的指数分布，系统中共有 S个服务员，每个服务台的服务时间相互独立，且服从参数为 的指数分布。当顾客到达时，若有空闲的服务台则可以马上接受服务，否则便排成一个队列等待，等到有空间服务台时再接收服务。【1】 下面讨论这个排队系统的平稳分布。记： ()为系统达到平稳状态后队长 N的概率分布， 注意到对个数为 S的多服务台系统，有： n-0,1,2.和 , 记，则当时，由（1）式、（2）式、（3）式，有 (4), 其中： (5) 公式（4）和公式（5）给出了在平衡

17、条件下系统中顾客数为的概率，当 时，即系统中顾客数大于或等于服务台个数，这时再来的顾客必须等待，因此记： (6)式（6）称为Erlang 等待公式，它给出了顾客到达系统时需要等待的概率。对多服务台等待制排队系统，由已得到的平稳分布可得平均排队长 为：记系统中正在接受服务的顾客的平均数为，显然也是正在忙的服务台的平均数，故： （7）式（7）说明，平均在忙的服务台个数不依赖于服务台个数，由（7）式，可得到平均队长L 为：L = 平均排队长+正在接受服务的顾客的平均数= L ，对多服务台系统，Little 公式依然成立，即有平均逗留时间 ；平均等待时间。【4】3 实例分析3.1 模型假设3.1.1

18、假定武汉科技大学学生在春华餐厅高峰期这段时间达到的人数是无限的，并且依次以参数为的泊松过程达到，达到的时间间隔是随机的，服从负指数分布。3.1.2 餐厅每个服务窗口以并联的方式连接，且每个窗口对学生来说都是一样的，服务时间服从参数为的负指数分布。 调查数据 1. 本作者实地统计了12.21-12.25期间的春华餐厅排队就餐学生人数，时间是上午11.40-12.00，12.00-12.20和12.20-12.40之间的具体情况，以及下午5.20-5.40和5.40-6.00.，6.00-6.20之间的具体情况。 春华餐厅就餐人数分布12.21当天上午时间11.40-12.0012.00-12.2

19、012.20-12.40人数284450180其中具体到每十分钟的人数如下:时间11.5012.0012.1012.2012.3012.40人数12615832013010080 春华餐厅就餐人数分布12.21当天下午时间5.20-5.405.40-6.006.00-6.20人数263502156其中具体到每十分钟的人数如下:时间5.305.405.506.006.106.20人数1001633201829858 春华餐厅就餐人数分布12.22当天上午时间11.40-12.0012.00-12.2012.20-12.40人数296489206其中具体到每十分钟的人数如下:时间11.5012.0

20、012.1012.2012.3012.40人数134162258231104102 春华餐厅就餐人数分布12.22当天下午时间5.20-5.405.40-6.006.00-6.20人数253522178其中具体到每十分钟的人数如下:时间5.305.405.506.006.106.20人数12013330521710672 春华餐厅就餐人数分布12.23当天上午时间11.40-12.0012.00-12.2012.20-12.40人数300508289其中具体到每十分钟的人数如下:时间11.5012.0012.1012.2012.3012.40人数145155258250152187 春华餐厅就

21、餐人数分布12.23当天下午时间5.20-5.405.40-6.006.00-6.20人数258552186其中具体到每十分钟的人数如下:时间5.305.405.506.006.106.20人数12513331024210680 春华餐厅就餐人数分布12.24当天上午时间11.40-12.0012.00-12.2012.20-12.40人数285489302其中具体到每十分钟的人数如下:时间11.5012.0012.1012.2012.3012.40人数144141280209140162 春华餐厅就餐人数分布12.24当天下午时间5.20-5.405.40-6.006.00-6.20人数24

22、5526183其中具体到每十分钟的人数如下:时间5.305.405.506.006.106.20人数12512032020610677 春华餐厅就餐人数分布12.25当天上午时间11.40-12.0012.00-12.2012.20-12.40人数265456297其中具体到每十分钟的人数如下:时间11.5012.0012.1012.2012.3012.40人数150115302154152145 春华餐厅就餐人数分布12.25当天下午时间5.20-5.405.40-6.006.00-6.20人数156354105其中具体到每十分钟的人数如下:时间5.305.405.506.006.106.2

23、0人数8967 2051496540 仔细分析数据可以得出，周一到周五之间学生排队就餐人数具有一定的稳定性和易测性。因此可以把以上数据当做真实可靠的数据来统计和计算。在这里说明周五特殊情况，由于周五下午放学后就是休息期，因此当天下午在餐厅就餐排队人数锐减。以下是这五天具体数据的分析图: 3.1.3 武汉科技大学青山校区春华餐厅实行先来先服务原则，且学生可自由在队列间进行转移，并总向较短的队进行转移，没有学生会因为队列过长而离去，故可认为排队方式是单一队列等待制。由于周六周日学校大多数学生没课，故学生 去食堂的时间较为分散，很少发生排长队的现象，因此在此就不做分析了。本文仅就周一至周五的食堂拥挤

24、情况进行分析。经考察发现，一般打到饭的同学都能找到座位吃饭，故本文可认为，食堂的容纳学生数是足够的，因此解决食堂拥挤状况，主要是解决排长队与服务窗口的问题。本文统计了第17周周一到周五11:40至12：40 高峰期食堂的学生流分布情况：共统计了1129人次的数据（以10 秒为一个时间单位），见下表：（部分数据）表一每10秒到达人数123456频数9218929728617689由概率论的知识可知，若分布满足，【3】则该分布为泊松分布（其中为泊松分布的密度，为泊松分布的参数）。由上表可得 =3.43。经检验，该分布近似于泊松分布。虽然本文仅仅调查了一周的数据，但考虑到学生到食堂就餐具有较大的稳定

25、性，所以认为调查的数据还是较为可靠的。另外在非高峰时段很少发生排队现象，故在此我们也不做分析。3.2 模型建立及求解基于以上的假设，我们的模型符合排队论中的多服务台等待模型（M/M/s）。该模型的特点是：服务系统中有s 个窗口（即s个服务员），学生按泊松流来到服务系统，到达强度为 ；服务员的能力都是，服务时间服从指数分 布，每个顾客的平均服务时间t 。当顾客到达时，如果所有服务员都忙着，顾客便参加排队，等待服务，一直等到有服务员为他服务为止。由我们调查的数据可知 = 3.43, =1.5, = 6 （食堂现有窗口6 个）代入以上各式可得：服务员能力：67关优化中具有实际用途，的计算过程，证明排

26、队论在超市用于超市.01=-tm系统服务强度： ，因为平均每一个窗口的服务强度 ，所以极限存在。空闲概率： ，其中为一窗口的总顾客数，为正在接受服务的顾客数，则系统中排队顾客的平均数： ，顾客平均排队时间： ，顾客平均逗留时间： ，系统中顾客的平均数： ，由此可见，当学生中午在11:40至12：40这个时间段去食堂吃饭时，一进门就会发现里面已经人满为患，几乎不可能找到空闲的窗口。而且，已经有37个同学正在排队买饭，32 个人正在排队等待，平均一个窗口6人。当就餐学生开始排队时，要过93秒钟才轮到，要过108秒钟才能吃上可口的饭菜，来填饱饥饿的肚子。为了检验本文计算的数据与事实相符，特地亲身体验

27、了一番，下表是本次的统计数据（仅对一个窗口而言）：表二 时间周一11：50周二12:05周三11：50周四12：05 排队等待人数4546排队等待时间808510295忽略那些随机因素，这次得到的那些结论和实际数据还是较为符合的，可见基于本次的排队模型较为可靠。3.3 模型分析对于学生来说，中午的时间是很有限的，能尽快吃上饭对同学们来说是很重要的。同时，学生在食堂排队的平均逗留时间很大程度上可以决定学生对食堂的选择，所以食堂工作人员也希望能尽可能的满足学生的需求。研究学生平均逗留时间，将是解决本模型的关键所在。平均逗留时间 是由平均排队时间和平均服务时间 组成。本文认为15 秒的平均服务时间t

28、对于服务员来说已经是极限了，如果再加快速度反而可能手忙脚乱，增大出错的可能性，到时反而会降低效率，故认为平均服务时间t 不可改变，是个常数。至于平均排队时间W，我们由公式可知它是由顾客到达强度，每个顾客的平均服务时间 和窗口数来决定的，由于学生对于食堂的选择都有一定的偏好，即一般都会去同一个食堂吃饭，所以我们可以认为学生流是稳定的，即为常数，由上面的分析又可知t 也是常数，因此能对平均排队时间构成影响的就只有窗口数了，下面我们就的取值对的影响进行分析：由matlab 可以得到它们两者之间的散点图： 散点图拟合图注：在上图中把W 的单位改成了秒。从图中可看出各点之间的变化规律较为平稳，所以本文有

29、可能用多次多项式将其拟合，所以又用matlab 对其进行了三次多项式的拟合，从而得到了它们的拟合图。它们之间的二次多项式关系式是： ，4窗口优化设计由于对于学生方面来说，当然是排队等待时间越短越好；而对于食堂方面来说，窗口数的增加一方面会导致成本的增加，带来大的成本压力；另一方面会缩短排队时间，即意味着它能为更多学生服务，所以它是否会增加窗口数就取决于成本和收益的大小关系。因此，需要对系统进行优化，在成本和利益之间寻求可能有的平衡点。我们可以把该系统优化表述为：寻求最佳的服务窗口数量，使系统总费用最小。那么：，其中：为并联的窗口台数量，是关于窗口台数量的费用，是单位时间里平均每个窗口的费用，为

30、平均每个学生在系统中等待（或逗留）单位时间的等待损失，L是平均队长。在理论上，上述目标函数存在着优化解。一般来说，每增加一个窗口，需要多配备一名服务人员以及一些配套的设施。所以增加窗口数所带来的成本等于新增服务人员的工资加上配套设施的维修与清洗费。新增窗口得到的收益是很难估量的。在此我们引入等待损失的概念，即由于排队等待食堂所减少的收益，得到等待损失等于食堂单位时间收益乘以平均等待时间乘以顾客数。粗略调查得知服务人员的每月平均工资为1200元，即每周平均280元。至于配套设施的维修与清洗，我们可大致认为其每周不超过300元。由此可知每增加一个窗口，食堂的成本每周就得增加280元。至于食堂从每个学生身上可获得多少利润，因为学生要的菜不同，而且菜的利润也不同，所以是很难确定的，故我们由一般规律假定其每十秒钟可得0.5元利润。所以，学生因等待而使食堂发生的损失C=0.51129W，当窗口数从6 变为7 时，食堂可少损失C=0.5