【数学】3.3.1《两条直线的交点坐标与平面上两点间的距离公式》)

1、3.3.1 两条直线的交点坐标( (一）新课引入：一）新课引入： 二元一次方程组的解有三种不同情况（唯一二元一次方程组的解有三种不同情况（唯一解，无解解，无解, ,无穷多解），同时在直角坐标系中两条无穷多解），同时在直角坐标系中两条直线的位置关系也有三种情况（相交，平行，重直线的位置关系也有三种情况（相交，平行，重合），下面我们通过二元一次方程组解的情况来合），下面我们通过二元一次方程组解的情况来讨论直角坐标系中两直线的位置关系。讨论直角坐标系中两直线的位置关系。 （二）讲解新课：两条直线的交点： 如果两条直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0相交，由于交点同时在两条直线上，交

2、点坐标一定是它们的方程组成的方程组 的解；反之，如果方程组只有一个解，那么以这个解为坐标的点就是直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交点。A1x+B1y+C1=0A2x+B2y+C2=0A1x+B1y+C1=0A2x+B2y+C2=0例例1 1：求下列两条直线的交点：求下列两条直线的交点：l l1 1：3x+4y3x+4y2=02=0；l l2 2：2x+y+2=0.2x+y+2=0.例例2 2：求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程：求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程: :l l1 1：x x2y+2=02y+2=0，l l2 2：2x2xy y2=0.2

3、=0.解：解方程组3x+4y2 =02x+y+2 = 0l1与l2的交点是M（- 2，2）解：解方程组x2y+2=02xy2=0l1与l2的交点是（2，2）设经过原点的直线方程为 y=k x把（2，2）代入方程，得k=1，所求方程为y= xx= 2y=2得x= 2y=2得例3：求直线3x+2y1=0和2x3y5=0的交点M的坐标，并证明方程3x+2y1+（2x3y5）=0（为任意常数）表示过M点的所有直线（不包括直线2x3y5=0）。证明：联立方程3x+2y1=02x3y5=0oxy(1, - 1)M解得：x=1y= - 1代入：x+2y1+（2x3y5）= 0得 0+0=0M点在直线上A1x

4、+B1y+C1+（ A2x+B2y+C2）=0是过直A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程。M（1，- 1）即例5：求经过两条直线x+2y1=0和2xy7=0的交点，且垂直于直线x+3y5=0的直线方程。解法一：解方程组x+2y1=0，2xy7=0得x=3y= 1这两条直线的交点坐标为（3，-1）又直线x+2y5=0的斜率是1/3所求直线的斜率是3所求直线方程为y+1=3（x3）即 3xy10=0解法二：所求直线在直线系2xy7+（x+2y1）=0中经整理，可得（2+）x+（21）y7=0 =32+21解得 = 1/7因此，所求直线方程为3xy10=0巩固：两条直

5、线x+my+12=0和2x+3y+m=0的交点在y轴上，则m 的值是 （A）0 （B）24 （C）6 （D）以上都不对若直线kxy+1=0和xky = 0相交，且交点在第二象限， 则k的取值范围是 （A）（- 1，0） （B）（0，1 （C）（0，1） （D）（1，）若两直线（3a）x+4y=4+3a与2x+（5a）y=7平行，则a的值是（A）1或7 （B）7 （C）1 （D）以上都错k3+= kxy5+= xy012=+- yx 已知平面上两点已知平面上两点P1(x1,y1)， P2(x2,y2)，如何求如何求P1 P2的距离的距离| P1 P2 |呢呢?两点间的距离两点间的距离|1221x

6、xPP- -= =|1221yyPP- -= =(1) x1x2, y1=y2(2) x1 = x2, y1 y2(3) x1 x2, y1 y2?P1(x1,y1)P2(x2,y2)P2(x2,y2)xyo 已知平面上两已知平面上两点点P1(x1,y1), P2(x2,y2),如何求如何求P1 P2的距离的距离| P1 P2 |呢呢?两点间的距离两点间的距离Q(x2,y1)22| :),(,yxOPyxPO+ += =的的距距离离与与任任一一点点原原点点特特别别地地yxoP1P2(x1,y1) (x2,y2)(3) x1 x2, y1 y221221221)()(|yyxxPP- -+ +-

7、 -= =.|,|,),7, 2(),2 , 1( 1的值的值并求并求使得使得轴上求一点轴上求一点在在已知点已知点例例PAPBPAPxBA= =- - 举例举例22)1(4|1)2(7)1(4|)2(7)07()2(|)1(4)02()1(|)0 ,(222222222= =+ + += = =- -+ += =+ + += =- -+ += =- -+ +- -= =+ + += =- -+ +- - -= =aPAaaaPBPAaaPBaaPAaP解得：解得：点的坐标为点的坐标为解：设解：设1、求下列两点间的距离：、求下列两点间的距离：(1)、A(6，0),B(-2，0) (2)、C(0，

8、-4),D(0，-1)(3)、P(6，0),Q(0，-2) (4)、M(2，1),N(5，-1) 练习练习13)11()52(| )4(102)20()06(| )3(3)41()00(| )2(8)00()62(| )1(22222222= =+ + +- -= = =+ + +- -= = =+ +- -+ +- -= = =- -+ +- - -= =MNPQCDAB解：解：2、求在、求在y轴上与点轴上与点A(5,12)的距离为的距离为13的的坐标；坐标； 22(0, )135(12)0(0,0)(0,24)bb=+-=解：设所求点的坐标为由题意可得：解得：b或24所求点的坐标为或 练习

9、练习3、已知点、已知点P的横坐标是的横坐标是7，点，点P与点与点N(-1,5)间的距离等于间的距离等于10，求点，求点P的纵坐标的纵坐标.111111)5()17(10),7(22或或点点的的纵纵坐坐标标为为或或解解得得：由由题题意意可可得得：点点的的坐坐标标为为解解：设设- - -= =- -+ + += =PbbbP 练习练习P(7,-1)或或P(7,11)4、已知点、已知点A(7,-4) ，B(-5,6), 求线段求线段AB的垂的垂直平分线的方程直平分线的方程222( ,)| |(4)(5)(6)Px yAPBPyxy=+=+-2解：设 点的坐标为由题意可得：得：(x-7) 练习练习化简

10、得：化简得：6x-5y-1=0例例2、证明平行四边形四条边的平方和等、证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和于两条对角线的平方和.yxo(b,c)(a+b,c)(a,0)(0,0)ABDC 举例举例解题参考解题参考所所求求得得证证两两条条对对角角线线的的平平方方和和为为平平方方和和为为由由题题意意可可得得：四四条条边边的的各各点点坐坐标标为为角角坐坐标标系系及及平平行行四四边边形形解解：如如右右图图：做做平平面面直直+ + += =- -+ +- -+ +- -+ +- -+ += =+ + + += =- -+ +- -+ + +- -+ +- -= =+ += =+ + + +

11、 +)(2)0()()0()0(|BD|AC|)(2)0()()00()0(2)|AB(|2|AB|),(),(),0 ,(),0 , 0(,2222222222222222222222222cbacabcbacbacabaaBCDACDBCcbDcbaCaBAABCDyxo(b,c)(a+b,c)(a,0)(0,0)ABDC第一步：建立坐标系，用坐标表示有关第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量；的量；第二步：进行有关的代数运算；第二步：进行有关的代数运算；第三步：把代数运算结果第三步：把代数运算结果“翻译翻译”所几所几何关系何关系. .4、证明直角三角形斜边的中点到三个、证明直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等顶点的距离相等.yxoB CAM(0,0)(a,0)(0,b)b,a(22 练习练习解题参考解题参考所所求求得得证证由由上上可可见见：由由题题意意可可得得：各各点点坐坐标标为为角角坐坐标标系系及及三三角角形形证证明明：如如图图：做做平平面面直直= = =+ += =- -+ +- -= =+ += =- -+ +- -= =+ += =- -+ +- -= =|CM|BM|AM|2)0()0(|CM|2)()0(|BM|2)0()(|AM|),(M),b, 0(B),0 ,(A)