DFT近似计算信号频谱专题研讨

1、 DFT近似计算信号频谱专题研讨1 目的(1) 掌握利用DFT近似计算不同类型信号频谱的原理和方法，包括：用DFT对连续时间信号进行谱分析，用DFT对序列进行谱分析以及在利用DFT进行谱分析时，研究增加序列长度（补零）对计算结果的影响。(2) 理解利用DFT进行谱分析的误差产生的原因及减小误差的方法。(3) 培养学生自主学习能力，体现发现问题、分析问题和解决问题的能力。二报告内容1.用DFT对连续时间信号进行谱分析所谓信号的谱分析，就是时频域转换，变成数学知识，就是对信号进行傅立叶变换（FT），连续信号与系统的傅立叶变换不便于用计算机进行计算。而在Matlab中的绘图操作，是通过将一些离散的点

2、连接而成。求连续信号的频谱，应用的是离散傅立叶变换（DFT）。由傅立叶变换理论知道，若信号持续时间有限长，则其频谱无限宽；若信号频谱有限宽，则其持续时间无限长。因此要对其进行谱分析就必须在时域采样无穷多个点，这又显然不满足DFT变换的要求。因此必须截取一个时间段内的连续时间信号来进行谱分析。 例：正弦信号x（n）=sin(2*pi*n1/k)，做它的8点采样，并求连续频谱。 程序如下： k=8; n1=0:1:7; xn1=sin(2*pi*n1/k); %抽样信号 subplot(2,2,1);stem(n1,xn1,.); xlabel(t/T);ylabel(x(n); %坐标名 xk1

3、=fft(xn1);xk1=abs(xk1); subplot(2,2,2);stem(n1,xk1); xlabel(k);ylabel(x(k);由matlab得到的仿真图如下：2. 用DFT对序列进行谱分析设x(n)=(n),计算在0,2上的32点等间隔采样，并绘制幅频和相频特性图。程序如下：R=8;%矩形脉冲序列长度为8N=32;% 32点等间隔采样xn = boxcar(R);k = 0:N-1;w = 2*pi/N.*k;Xk = fft(xn,N);%figure(2)subplot(211)stem(w,abs(Xk)xlabel(w/rad),ylabel(|X(jw)|)s

4、ubplot(212)stem(w,180.*angle(Xk)/pi)xlabel(w/rad),ylabel(X(jw)由matlab得到的仿真图如下：3. 在利用DFT进行谱分析时，研究增加序列长度（补零）对计算结果的影响。n=0:127;f=0.1;y1=sin(2*pi*f*n);%信号，正弦叠加矩形y1(1:16)=y1(1:16)+1;figure;plot(abs(fft(y1);%绘制y1的fft谱幅度y2s=y1(1:32);%对信号进行截短figure;fy2s=abs(fft(y2s);%绘制y1截断后没有补零的fft谱幅度stem(fy2s);y2=y2s zeros

5、(1,128-32);%然后补零使y1和y2一样长figure;%打开一个绘图窗口plot(abs(fft(y1);%绘制y1的fft谱幅度，谱线较多，直接画包络hold on;%在同一个figure中继续绘图plot(abs(fft(y2),r);%绘制y2的fft谱幅度(红色)，谱线较多，直接画包络stem(1:4:128,fy2s,k);%绘制y2s的fft幅度谱hold off;由matlab得到的仿真图如下：图1（原信号的谱，因为点数较多，绘制的是包络）图2（截短信号的谱）图3（比较原信号【蓝】，截短信号【黑】，补零信号【红】三者谱的关系，补零信号的谱由于点数较多，绘制的是包络）首先

6、生成了一个长度为128点的信号，绘制了它的DFT谱，然后将该信号截短，求其DFT谱，然后对截短的信号补零，使其长度为128点再求DFT谱，并将原信号的谱与补零信号的谱进行比较。从图三中可以发现，红色的补零信号的谱，仅仅是对黑色的截短信号的谱的插值，也就是说补零信号的谱，是通过截短信号的谱进行了推测（插值算法）得来的，它并不能反映原信号的谱（因为原信号在截短的过程中部分信息丢失了，而补零并没有将这些丢失的信息找回来），所以虽然补零信号的谱线间隔变小了，但是除了从截短信号的谱中取出来的32根谱线以外，其余的96根谱线都是无效的。去掉这些无效的谱线，采样频率不变，有效的谱线数不变，所以其物理频率分辨

7、率自然没有改变。在时域补零起到了对频谱的插值作用，考虑到傅立叶变换的对称性，考虑到变换与反变换的表达式除了系数和符号的差别外并没有根本的不同，推断出这样一个结果：在频域补零也会造成时域的插值（当然在频域进行操作一定要注意谱的对称性，否则反变换回来得到的将是一个复信号）。程序如下：f=0.1;n=0:31;y1=sin(2*pi*f*n);%产生正弦信号%y1的fft谱f1=fft(y1);f2=f1(1:end/2+1) zeros(1,31) f1(end/2+1:end);%给y1的谱补零stem(abs(f2);y2=ifft(f2);%对补零后的谱作反变换figure;%打开绘图窗口h

8、old on;%绘制多幅图形stem(y2);%绘制y2stem(1:2:64,y1/2,r);%绘制原信号（除以2以比较插值效果）hold off;4.理解利用DFT进行谱分析的误差产生的原因及减小误差的方法（1） 频谱混叠在对模拟信号xa（t）进行采样时，必须满足采样定理，即采样频率fs2fc，而时域有限的信号不可能是锐截止的，并且信号中不可避免地有一些高频杂散信号，因此在采样之前，要对模拟信号进行滤波，滤除高频杂散信号。随着采样频率的减小，混叠现象加大。因此，要减小混叠，必须满足乃奎斯特采样定理，并且在采样前进行预滤波，滤除高于折叠频率fs2的频率成分，一般取采样频率6fs（35）fc。

9、（2） 截断效应对无限长的模拟信号，用DFT进行谱分析时，必须先进行截断，通过采样才能得到有限点的序列，这样必然产生误差。截断可以理解为加窗，即： y(n)=x(n)w(n) 式中：x（n）为模拟信号经采样得到的时域离散信号；w（n）为窗函数序列。根据频域卷积定理，加窗后的信号频谱为,显然与原序列的频谱是不同的。下面以矩形窗和hamming窗为例来从加窗对信 号频谱的影响方面来进行分析。图2所示为矩形窗和hamming窗的时域和频域波形。由时域波形可见，矩形窗是对原信号的原样截取，hamming窗是在 截取的同时对信号做了加权。由频域波形可见，矩形窗的主瓣窄，其宽度为4N，但旁瓣幅度也高；ha

10、mming窗是以主瓣展宽为代价换取了旁瓣 幅度的减小，其主瓣宽度为8N，而主瓣宽度影响的就是频率分辨率。可见，通过加窗对信号截断使得对模拟信号的谱分析产生误差，表现为原本离散 的谱线展宽（高频泄漏）和谱间干扰等现象，即所谓截断效应。从而降低了谱的分辨率，使频率相近的两个信号不易分清。因此，为了减小截断效应的影响，一种方法是增大截取长度，通过改变N，使窗函数的主瓣变窄，提高频率分辨率。另一种方法是改变截断窗函数的形状。下面通过一个例子，来更清楚地展示泄漏和谱间干扰的影响，以及通过截取长度和加不同的窗函数对频谱的改善作用，设：其中f1=25 Hz，f2=50 Hz，f3=100 Hz，可见其最高频

11、率为f3，频率分辨率至少为25 Hz，则根据式（6），截取长度Tp1F=0.04 s，取采样频率fs=400 Hz，则最小采样点N=Tp?fs=16点，图3所示为其加矩形窗和hamming窗以N，4N，8N点分别截断的频谱效果。由 图可以清晰地看到，当截取长度太短的时候，泄漏和谱间干扰都非常严重，25 Hz和50 Hz的两条谱线已无法分辨，只有增加截取长度N，才使得主瓣变窄，提高了频率分辨率；而采用hamming窗又降低了旁瓣的影响，减小了谱间干扰。而 且可以看出，当N一定时，旁瓣越小的窗函数，其主瓣就越宽。增加N使主瓣变窄，但旁瓣的相对幅度并不减小。矩形窗的主瓣较窄，但是旁瓣幅度也较 高。可

12、见，当截取长度一定时，频率分辨率和谱间干扰是相互抵消的，只能以一种优势来换取另一种性能的降低。 （3） 栅栏效应栅栏效应是指用DFT对连续信号进行谱分析时，由于DFT的离散特性，使离散点之间的频谱无法得到，相当于透过栅栏观察频谱，只看到等间隔的离散点的频线，其他的频谱都被栅栏挡住了，故称之为栅栏效应。因此用DFT得到的离散谱线的包络只能是近似谱。为了减小栅栏效应，可以多增加些栅栏的缝隙，即增大DFT变换点数，这一方面可以通过在原序列尾部补零来实现10。例如对下式信号进行分析： 但是，如果对原序列采样128点，即使补零加长到512点，如图5所示，其频谱X2（k）也无法分辨出这两条谱线。这是因为截断效应已经 使得频谱变模糊，即使再增加栅栏的缝隙，看到的也是模糊的频谱，补零并没有真正提高频率分辨率。这种情况下，只能通过增加截取长度，首先提高频谱分辨率。 如对信号直接采样512点，观察图5的X3（k）幅频特性曲线，此时，这两条谱线可以清晰地分辨出来。3 总结通过这次专题研讨，我掌握了利用DFT近似计算不同类型信号频谱的原理和方法，知道了利用