D1.9闭区间上连续函数的性质

1、 第第1章章1.9 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质1.9.2 零点定理与介值定理零点定理与介值定理 1.9.1最大值与最小值定理及有界性定理最大值与最小值定理及有界性定理 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 f (x)在闭区间在闭区间 a , ,b 上连续是指上连续是指:设 f (x)在区间I上有定义,0,xI若有0( )()f xf x在b点左连续.则称f (x0) 为区间I上的最大值(最小值) 在a点右连续,在开区间(a ,b)内连续, 最大值与最小值最大值与最小值:对,xI 0( )()f xf x 零点零点:若 f (x0) = 0, 则 x0 称为f (x)的

2、零点. 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 1.9.1 最大值与最小值定理及有界性定理最大值与最小值定理及有界性定理定理定理1.9.1（最大值与最小值定理）（最大值与最小值定理）即: 设, ,)(baCxf12则, ,21ba使1( )min( )axbff x 2()max( )axbff x 取得它的最大值和最小值.的函数在该区间上一定能(证明略证明略)xyab)(xfy O在闭区间上连续推论推论1.9.1（有界性定理）（有界性定理）在该区间上一定有界.在闭区间上连续的函数 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 如如且既无最大值也无最小值. 22但既无最大值也无最小值 x

3、yO11又如又如内无界， 内虽然有界， 若函数在开区间上连续,结论不一定成立 .或在闭区间内有间断点，注注 tan,2 2yx在在1, 01xx 1,1x 3, 12xx ( )f x 0, 2在在 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 1.9.2 零点定理与介值定理零点定理与介值定理定理定理1.9.2 （零点定理（零点定理) )至少存在一点且使( 证明略证明略 )xyab)(xfy O定理定理1.9.3 ( 介值定理介值定理 )设 , ,)(baCxf,)(Aaf( ),f bB则对 A 与 B 之间的任一数 C ,在一点使至少存证明证明 Cxfx)()(作辅助函数则,)(baCx

4、且( )( )ab)(CBCA0.故由零点定理, 使即至少有一点设 ,AB且( ) ,f xC a b( )( )0f af b( ,),a b( )0.f( ,),a b( ).fC( ).fC( ,) ,a b( )0. 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 xAbya)(xfy BO介值定理的几何意义：推论推论1.9.2C得介于最小值与最大值之间的任何值 .在闭区间上连续的函数,必取例例1在区间(0,1)内至少证明证明 令故据零点定理, 使即证明方程有一个根.至少存在一点显然在区间(0,1)内至少有一个根.方程32410 xx 32( )41,f xxx( )0,1,f xC(0

5、)10,f (1)20f 32410 xx 32410 (0,1),( )0,f 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例2至少存在一点证明证明 使即由介值定理,证明证明: 且 a x1 x2 b ,在x1, x2上有最大值 M, 最小值 m,即至少存在一点使上连续, ( )f x设在( , )a b( , ),a b11221212()()() ( )( ,0)t f xt f xttft t( )( , ),f xC a b12( ) ,f xC x x( )f x1( )mf xM111ttt2()mf xM222ttt12()tt m12()ttM1122()()t f xt

6、 f x112212( )()t f xt f xttmM12 ,x x112212( )()( )t f xt f xttf( , ),a b11221212()()() ( )( ,0)t f xt f xttft t 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 内容小结内容小结取到最大值与最小值;可取最大与最小值之间的任何值;使必存在有界;( ) , ,f xC a b设则( ) , f xa b1.在在上上2( ) , f xa b.在在上上4( )( )0f af b. 当时,3( ) , f xa b.在在上上( , ),a b( )0.f 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 则思考与练习思考与练习1 至少有一个不超过 4 的正根. 证明证明证明 令显然由零点定理 ,至少存在一点原命题得证 .3( )1exf xx3e1xx( )0,4,f x在闭区间上连续3(0)1ef (4)3ef0,(0,4)( )0.f使使得得0 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 2在区间a, b 上连续，证明证明 令故据零点定理, 使得即设且显然在 (a, b) 内至少有一点证明：使得分析分析即要证方程在(a, b)内有根或函数在(a, b)内有零点在a, b 上连续，在 (a, b) 内