B_6_1_6.1-代数系统

1、主讲教师主讲教师 董旭初董旭初七七格与布尔代数六六群、环、域抽象代数Abstract algebraIn algebra, which is a broad division of mathematics, abstract algebra (occasionally called modern algebra) is the study of algebraic structures. Algebraic structures include groups, rings, fields, modules, vector spaces, lattices, and algebra over a

2、 field. The term abstract algebra was coined in the early 20th century to distinguish this area of study from the other parts of algebra. -Quoted from WIKIPEDIAAbstract algebraThe permutations of Rubiks Cube have a group structure; the group is a fundamental concept within abstract algebra. - Quoted

3、 from WIKIPEDIA ”The notion of a group, viewed only 30 years ago as the epitome of sophistication, is today one of the mathematical concepts most widely used in physics, chemistry, biochemistry, and mathematics itself.” - Alexey SosinskyAbstract algebra第六章 群、环、域 第六章 群、环、域6.1 代数系统代数系统6.2 群的定义群的定义6.3

4、子群及其陪集子群及其陪集6.4 群的同态与同构群的同态与同构6.5 环环6.6 域的特征域的特征 素域素域6.7 多项式多项式6.8 有限域有限域一、一、代数运算代数运算二、运算律二、运算律三、代数系统三、代数系统Abstraction & Generalization Abstraction: the process of formulating a concept of a common property by disregarding the differences between a number of particular instances . - Quoted from The

5、Harper Collins Dictionary of MathematicsAbstraction & Generalization Abstraction: the process of formulating a concept of a common property by disregarding the differences between a number of particular instances . - Quoted from The Harper Collins Dictionary of MathematicsAbstraction & Generalizatio

6、nGeneralization is the process to derive broader results from one or more particular cases. We can extend our reasoning beyond the range in which these results originated. 2+1=3+一、代数运算一、代数运算1+2=3、2.3+（- -1.2）=1.1、有理数的有理数的+ +、集合的集合的、命题的命题的 、 、 a,bb,c=a,b,c、a,bb,c=b、a,bb,c=a、P P=1、P P=0 、一、代数运算一、代数运算对

7、对 a a、bQbQ，有，有 a a+b+bQQ、a ab bQQ。有理数的有理数的+ +、集合的集合的、命题的命题的 、 、 对对 A A、BB (S)(S)，有，有 A AB B (S)(S)、A AB B (S)(S)、A AB B (S)(S)。对对 G G、H0,P,H0,P, P,1P,1，有，有 G G H0,P,H0,P, P,1P,1、G G H0,P,H0,P, P,1P,1、 G0,P,G0,P, P,1P,1。一、代数运算一、代数运算定义定义6.1.16.1.1 设设S S是一个是一个非空非空集合，将映射集合，将映射f f ：S SS SS S称称为为S S的一个二元代

8、数运算。即对于的一个二元代数运算。即对于S S中中任意任意两个元素两个元素a a、b b，通过，通过f f可唯一确定可唯一确定S S中中一个元素一个元素c c：f(a,b)=cf(a,b)=c。 若将二元代数运算若将二元代数运算f f记为记为* *，则将，则将f(a,b)=cf(a,b)=c记为记为a a* *b=cb=c。封闭性封闭性一、代数运算一、代数运算( (* *) )例例1 1对于自然数集合对于自然数集合N N：加法加法、乘法乘法是二元是二元代数运算，代数运算，减法减法和和除法除法不是二元代数运算。因为：不是二元代数运算。因为：自然数自然数0 0不可以作除数。两个自然数相减或不可以作

9、除数。两个自然数相减或相除的结果未必是自然数。相除的结果未必是自然数。一、代数运算一、代数运算( (* *) )例例2 2对于整数集合对于整数集合Z Z：加法加法、乘法乘法、减法减法是是二元代数运算，二元代数运算，除法除法不是二元代数运算。因为：不是二元代数运算。因为：整数整数0 0不可以作除数。两个整数相除的结果不可以作除数。两个整数相除的结果未必是整数。未必是整数。一、代数运算一、代数运算( (* *) )例例3 3对于有理数集对于有理数集Q Q、实数集、实数集R R、复数集、复数集C C：加法加法、乘法乘法、减法减法是二元代数运算，是二元代数运算，除法除法不是这不是这些集合上的二元代数运

10、算。些集合上的二元代数运算。一、代数运算一、代数运算 复数复数C C 实数实数R R 有理数有理数Q Q 整数整数Z Z 自然数自然数N N+ 运算运算数系数系一、代数运算一、代数运算( (* *) )例例4 4对于非零实数集对于非零实数集R R* *，乘法乘法、除法除法是是R R* *上的上的二元代数运算；二元代数运算；加法加法和和减法减法不是不是R R* *上的二元代数运上的二元代数运算，因为两个非零实数相加或相减可能得算，因为两个非零实数相加或相减可能得0 0。一、代数运算一、代数运算( (* *) )例例5 5 A=x|x=2A=x|x=2n n,n,n NN乘法乘法是是A A上的二元

11、代数运算；上的二元代数运算；加法加法不是不是A A上的二元代数运算。上的二元代数运算。一、代数运算一、代数运算( (* *) )例例6 6实数矩阵的实数矩阵的加法加法和和乘法乘法是实矩阵集合上的是实矩阵集合上的二元代数运算。二元代数运算。( (* *) )例例7 7设设S S是一个非空集合，是一个非空集合，(S) (S) 是是S S的幂集，的幂集，则集合的则集合的交运算交运算、并运算并运算是是(S)(S)上的二元代数上的二元代数运算。运算。( (* *) )例例8 8逻辑联结词逻辑联结词 、 、都是集合都是集合0,10,1上的二元代数运算。上的二元代数运算。一、代数运算一、代数运算（1）类似地

12、，可定义）类似地，可定义S上的上的n元代数运算元代数运算： Sn到到S的映射。的映射。 例如：逻辑联结词例如：逻辑联结词 是集合是集合0,1上的上的一元代数运算。一元代数运算。 矩阵求逆运算不是实矩阵集合矩阵求逆运算不是实矩阵集合上的代数运算，但它是非奇异实矩阵集合上的代数运算，但它是非奇异实矩阵集合上的一元代数运算。上的一元代数运算。（2）代数运算）代数运算f的定义域为的定义域为Sn、值域在、值域在S内，内，我们说运算我们说运算f对集合对集合S是是封闭封闭的。的。n元代数运算必元代数运算必须具有须具有封闭性封闭性二、运算律二、运算律例例9有理数的加法和乘法有理数的加法和乘法，对，对 a、b、

13、cQ，有：，有： a+(b+c)=(a+b)+c a+b=b+a a+b=a+c b=c b+a=c+a b=c ab=ba a(bc)=(ab)c ab=ac，a0 b=c ba=ca，a0 b=c a(b+c)=(ab)+(ac) (b+c)a=(ba)+(ca)加法结合律加法结合律加法交换律加法交换律加法消去律加法消去律乘法交换律乘法交换律乘法结合律乘法结合律乘法消去律乘法消去律乘法对加法的分配律乘法对加法的分配律二、运算律二、运算律定义定义6.1.2 设设 * * 是集合是集合S S上的二元代数运算，如果对上的二元代数运算，如果对于于S S中任意两个元素中任意两个元素a a、b b，等

14、式，等式 a a* *b=bb=b* *a a 都成立，都成立，则称运算则称运算“* *”满足交换律。满足交换律。二、运算律二、运算律定义定义6.1.3 设设 * * 是集合是集合S S上的二元代数运算，如果对上的二元代数运算，如果对于于S S中任意三个元素中任意三个元素a a、b b、c c，等式，等式 (a(a* *b)b)* *c=ac=a* *(b(b* *c)c)都成立，则称运算都成立，则称运算“* *”满足结合律。满足结合律。二、运算律二、运算律定义定义6.1.4 设设 * * 是集合是集合S上的二元代数运算，上的二元代数运算，a是是S中的中的元素，如果元素，如果a* *a=a，则

15、称，则称a是关于运算是关于运算 * * 的幂等元。的幂等元。如果如果S中每个元素都是关于中每个元素都是关于 * * 的幂等元，则称运算的幂等元，则称运算“* *”满足等幂律。满足等幂律。二、运算律二、运算律定义定义6.1.5 设设* *和和 + 是集合是集合S上的两个二元代数运算，上的两个二元代数运算，如果对于如果对于S中任意三个元素中任意三个元素a、b、c，等式，等式a* *(b+c)=(a* *b)+(a* *c)，（左分配律），（左分配律）(b+c)* *a=(b* *a)+(c* *a)，（右分配律），（右分配律）都成立，则称运算都成立，则称运算 * * 对对 + 满足分配律。满足分配

16、律。 二、运算律二、运算律定义定义6.1.6 设设 * * 和和 + 是集合是集合S上的两个二元代数运算，上的两个二元代数运算，如果对于如果对于S中任意两个元素中任意两个元素a、b，等式，等式 a* *( (a+b)=a， a+(a* *b)=a都成立，则称运算都成立，则称运算 * * 和和 + 满足吸收律。满足吸收律。二、运算律二、运算律( (* *) )例例1010（1 1）对于整数集）对于整数集Z Z以及其上关于整数的加法、乘法、减法运算来说：以及其上关于整数的加法、乘法、减法运算来说： 加法、乘法都满足结合律和交换律；加法、乘法都满足结合律和交换律； 乘法对加法满足分配律，但加法对乘法

17、不满足分配律；乘法对加法满足分配律，但加法对乘法不满足分配律； 减法不满足结合律，也不满足交换律；减法不满足结合律，也不满足交换律； 加法、乘法、减法都不满足等幂律，也不满足吸收律。加法、乘法、减法都不满足等幂律，也不满足吸收律。（2 2）对于）对于n n阶实矩阵集合以及其上关于矩阵的阶实矩阵集合以及其上关于矩阵的加法、乘法运算来说加法、乘法运算来说： 加法满足结合律，也满足交换律；加法满足结合律，也满足交换律； 乘法满足结合律，但不满足交换律；乘法满足结合律，但不满足交换律； 加法、乘法都不满足等幂律，也不满足吸收律。加法、乘法都不满足等幂律，也不满足吸收律。（3 3）设）设S S是一个非空

18、集合，是一个非空集合，(S)(S)是是S S的幂集，则对的幂集，则对(S)(S)以及其上以及其上关于集合的交运算关于集合的交运算、并运算、并运算来说：来说： 、都满足结合律，交换律；都满足结合律，交换律； 对对、对对都满足分配律；都满足分配律； 、都满足等幂律、吸收律。都满足等幂律、吸收律。二、运算律二、运算律定义定义6.1.7 设设 * * 是集合是集合S S上的二元代数运算，如果对上的二元代数运算，如果对于于S S中任意三个元素中任意三个元素a a、b b、c c，（1 1）若）若 a a* *b=ab=a* *c c，则，则b=cb=c，（左消去律），（左消去律）（2 2）若）若 b b

19、* *a=ca=c* *a a，则，则b=cb=c，（右消去律），（右消去律）就称就称 * * 满足消去律。满足消去律。二、运算律二、运算律( (* *) )例例1111（1 1）整数集合）整数集合Z Z上的加法满足消去律，乘上的加法满足消去律，乘法不满足消去律。比如：法不满足消去律。比如：3 30=50=50 3=50 3=5。（2 2）n(nn(n2)2)阶实矩阵集合上的加法满足消去律，阶实矩阵集合上的加法满足消去律，但乘法不满足消去律，比如：但乘法不满足消去律，比如： 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 = = = = 0 0

20、0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 三、代数系统三、代数系统定义定义6.1.8 设设S S是一个非空集合，是一个非空集合，f f1 1、f fm m是是S S 上上的若干代数运算，把的若干代数运算，把S S及其运算及其运算f f1 1、f fm m看成一看成一个 整 体 来 看 ， 叫 做 一 个 代 数 系 统 ， 记 为 （个 整 体 来 看 ， 叫 做 一 个 代 数 系 统 ， 记 为 （S,fS,f1 1,f,fm m）。）。三、代数系统三、代数系统( (* *) )例例1212 设设Z Z为整数集，为整数集，Z Z0 0为偶数集，

21、为偶数集，N N为自然数集，为自然数集，+ +、是数的加法和乘法，则是数的加法和乘法，则 (Z,+)(Z,+)、(Z,(Z,) )、(Z,+,(Z,+,) )都是代数系统；都是代数系统； (Z(Z0 0,+),+)、(Z(Z0 0, ,) )、(Z(Z0 0,+,+,) )都是代数系统；都是代数系统； (N,+)(N,+)、(N,(N,) )、(N,+,(N,+,) )都是代数系统。都是代数系统。如果用如果用 、分别表示求最大公约数和最小公倍数的、分别表示求最大公约数和最小公倍数的运算，那么运算，那么 ( (Z Z0 0, , , ,) )、(Z,(Z, , ,) )也是代数系统。也是代数系统

22、。三、代数系统三、代数系统( (* *) )例例1313设设S S是一个非空集合，是一个非空集合，(S)(S)是是S S的幂集，的幂集，、是是(S)(S)上的集合交运算和并运算，则上的集合交运算和并运算，则 (S),)(S),)是代数系统。是代数系统。( (* *) )例例1414设设 、 是真值集合是真值集合0,10,1上的合取、析上的合取、析取运算取运算，则，则 (0,1,(0,1, , , ) )是代数系统。是代数系统。三、代数系统三、代数系统 例例15有理数的加法和乘法有理数的加法和乘法，对，对 aQ，有：，有： a+0=a a1=a三、代数系统三、代数系统定义定义 设设* *是集合是

23、集合S S上的二元代数运算，若存在上的二元代数运算，若存在e el S S（或或e er S)S)使得对使得对S S中任意元素中任意元素a a都有都有e el* *a=a(a=a(或或a a* *e er=a)=a)，则称则称e el( (或或e er) )是是S S中关于中关于* *运算的左（或右）单位元。运算的左（或右）单位元。若若e e S S关于关于* *运算既为左单位元又为右单位元，则称运算既为左单位元又为右单位元，则称e e为为S S中关于中关于* *运算的单位元。运算的单位元。 单位元也叫壹元，常记为符号单位元也叫壹元，常记为符号1 1；左单位元、右；左单位元、右单位元也叫左壹、

24、右壹。单位元也叫左壹、右壹。三、代数系统三、代数系统 例例16有理数的加法和乘法有理数的加法和乘法，对，对 aQ，有：，有： a0=0三、代数系统三、代数系统定义定义 设设* *是集合是集合S上的二元代数运算，若存在上的二元代数运算，若存在 l S（或或 r S)使得对使得对S中任意元素中任意元素a都有都有 l* *a= l(或或a* * r= r)，则称则称 l（或（或 r)是是S中关于中关于*运算的左（或右）零元。若运算的左（或右）零元。若S关于关于* *运算既为左零元又为右零元，则称运算既为左零元又为右零元，则称 为为S中中关于关于* *运算的零元。运算的零元。二、运算律二、运算律 例例

25、17有理数的加法和乘法有理数的加法和乘法，对，对 aQ，有：，有： a+(-a)=0 当当a0时，时，aa-1=1三、代数系统三、代数系统定义定义 设设* *是集合是集合S上的二元代数运算，上的二元代数运算，e S是是S中关于中关于* *运算的单位元。运算的单位元。 对于对于a S，若存在，若存在al S （或（或ar S)使使得得al* *a=e（或（或a* *ar=e），则称），则称al（或（或ar)是是a关于关于* *运算运算的左（或右）逆元。若的左（或右）逆元。若a-1 S既是既是a关于关于* *运算的左逆运算的左逆元又为右逆元，则称元又为右逆元，则称a-1是是a关于关于* *运算的逆

26、元。运算的逆元。三、代数系统三、代数系统( (* *) )例例1818（1 1）对于整数集合）对于整数集合Z Z以及其上关于整数的加法、乘法来说：以及其上关于整数的加法、乘法来说：加法单位元是加法单位元是0 0，没有加法零元，任何整数，没有加法零元，任何整数a a的加法逆元为的加法逆元为-a-a；乘法单位元是乘法单位元是1 1，乘法零元是，乘法零元是0 0，1 1的乘法逆元为的乘法逆元为1 1，-1-1的乘法的乘法逆元为逆元为-1-1，其余整数无乘法逆元。，其余整数无乘法逆元。（2 2）对于）对于n n阶（阶（n n2)2)实数矩阵集合实数矩阵集合M Mn n(R)(R)以及其上关于矩阵加以及

27、其上关于矩阵加法、乘法来说：法、乘法来说：加法单位元是加法单位元是n n阶全阶全0 0矩阵，没有加法零元，任何矩阵矩阵，没有加法零元，任何矩阵M M的加法的加法逆元是逆元是-M -M ；乘法单位元是乘法单位元是n n阶单位矩阵，乘法零元是阶单位矩阵，乘法零元是n n阶全阶全0 0矩阵，只有可矩阵，只有可逆矩阵逆矩阵M M有乘法逆元有乘法逆元M M-1-1。三、代数系统三、代数系统对于任一集合对于任一集合S S上的任意二元运算上的任意二元运算* *，可以证明：，可以证明：（1 1）若）若S S中存在关于中存在关于* *运算的左单位元运算的左单位元e el和右单位元和右单位元e er，则，则e e

28、l=e=er=e=e，且，且e e为为S S中唯一的中唯一的* *运算运算单位元单位元。（2 2）若若S中存在关于中存在关于* *运算的左零元运算的左零元 l和右零元和右零元 r，则，则 l= r= ，且且 为为S中唯一的中唯一的* *运算运算零元。零元。（3 3）设）设S中存在关于中存在关于* *运算的单位元运算的单位元e e，* *运算满足结合律：运算满足结合律： 若若S S中某元素中某元素a a有左逆元有左逆元a al-1和右逆元和右逆元ar-1，则，则al-1=ar-1=a-1，且且a-1为为a在在S中唯一的中唯一的* *运算逆元运算逆元。 若若S中每个元素都有左逆元，则每个元素都有右

29、逆元，因中每个元素都有左逆元，则每个元素都有右逆元，因此每个元素在此每个元素在S中都有唯一的逆元。中都有唯一的逆元。 若若S中某元素中某元素a的逆元为的逆元为a-1，则，则a-1的逆元为的逆元为a。三、代数系统三、代数系统( (* *) )例例1919设设(A, )(A, )为代数系统，其中为代数系统，其中A=a,b,c,dA=a,b,c,d，运算定义如下表所示：运算定义如下表所示：问：（问：（1 1）运算）运算满足交换律和结合律吗？满足交换律和结合律吗？ （2 2）A A中关于运算中关于运算的单位元、零元分别是什么？的单位元、零元分别是什么？A A中每个元素关于运算中每个元素关于运算 的逆元

30、分别是什么？的逆元分别是什么？ a b c d a b c da b a d ca b a d cb a b c db a b c dc d c a bc d c a bd c d b ad c d b a二、运算律二、运算律 例例20有理数的加法和乘法有理数的加法和乘法，对，对 a、b、cQ，有：，有： 两个有理数的和仍是有理数两个有理数的和仍是有理数 a+(b+c)=(a+b)+c a+0=a a+(-a)=0 a+b=b+a 两个有理数的积仍是有理数两个有理数的积仍是有理数 a(bc)=(ab)c a(b+c)=(ab)+(ac) (b+c)a=(ba)+(ca) a1=a 当当a0时，

31、时，aa-1=1 ab=ba加法加法半群半群乘法乘法半群半群加加法法群群加加法法交交换换群群环环域域有理数域、实数域、复数域有理数域、实数域、复数域加法封闭性加法封闭性加法结合律加法结合律加法有单位元加法有单位元0 0a a有加法逆元有加法逆元(-a)(-a)加法交换律加法交换律乘法封闭性乘法封闭性乘法结合律乘法结合律乘法对加法的分配律乘法对加法的分配律乘法有单位元乘法有单位元1 1非非0 0的的a a有乘法逆元有乘法逆元a a-1-1乘法交换律乘法交换律a+b=a+c b=c b+a=c+a b=cab=ac，a0 b=c ba=ca，a0 b=c整数环整数环加法消去律加法消去律乘法消去律乘法消去律 作业1一、名词解释一、名词解释(1)运算、代数系统、半群、群、单位元、逆元、交换群；运算、代