保险精算第三章生命表基础(一)

1、1/17第第3章章 生命表基础生命表基础n人寿保险是以人的生命为保险标的的保险，即人寿保险是以人的生命为保险标的的保险，即以被保险人在一定时期内死亡或生存为给付条以被保险人在一定时期内死亡或生存为给付条件，因此被保险人寿命的长短对于保险人来说件，因此被保险人寿命的长短对于保险人来说是非常重要的。对于生命表的研究是寿险精算是非常重要的。对于生命表的研究是寿险精算的基础研究。的基础研究。2/173.1 生命函数生命函数n3.1.1 分布函数分布函数 用用X表示初生婴儿未来寿命的随机变量，则表示初生婴儿未来寿命的随机变量，则X的分布函数的分布函数 可以表述为：可以表述为：这是这是0岁的人在岁的人在x

2、岁之前死亡的概率。显然，岁之前死亡的概率。显然，F(0)=0X的概率密度函数记为的概率密度函数记为f (x),则：则： f (x)= 表示表示x岁的人在岁的人在50岁以后死亡的概率，即在岁以后死亡的概率，即在50岁之后仍然生存的概率，则有：岁之后仍然生存的概率，则有： Fx F x PrF xXx0 x0 x Pr50X Pr501(50)XF 3/17n 表示活到表示活到x岁的人在岁的人在x岁与岁与x+1岁之间死亡的概率，即：岁之间死亡的概率，即：n 表示表示 X的期望值，即新生婴儿的平均寿命，则：的期望值，即新生婴儿的平均寿命，则：(1)( )Pr1|1( )F xF xxXxXxF xP

3、r1|xXxXx0()( )E Xxf x dx( )E x4/17n3.1.2 生存函数生存函数n生存函数的定义为：生存函数的定义为：n意义：意义：s(x)称为生存函数，表示新生儿称为生存函数，表示新生儿(0岁的人岁的人)能活到能活到 x岁岁的概率，即在的概率，即在x岁以后死亡的概率。岁以后死亡的概率。n与分布函数的关系：与分布函数的关系： s(0)=1n与密度函数的关系：与密度函数的关系：n新生儿将在新生儿将在x岁至岁至x+1岁之间死亡的概率：岁之间死亡的概率：( )Pr()s xXx)(1)(xFxS)()(xSxf0 x(1)( )( )(1)Pr1|1( )( )F xF xs xs

4、 xxXxXxF xs x0 x5/17n3.1.3 T(x)剩余寿命剩余寿命n1:定义：定义： 用用(x)表示一个表示一个x岁的人，岁的人， T(x)=X-x表示表示(x)未来寿未来寿命的随机变量，即剩余寿命，简称为余命。命的随机变量，即剩余寿命，简称为余命。nT的分布就是已知的分布就是已知Xx时时X的条件分布，有关的的条件分布，有关的T概率就是概率就是已知已知Xx时相应的时相应的X的条件概率，用的条件概率，用 表示表示T的分布函数的分布函数( )Pr( ()()()( )( )()1( )( )TF tT XtPr xXxt XxF xtF xs xs xtF xs x( )TF t6/1

5、7n用用 表示表示T的概率密度函数，则：的概率密度函数，则：n用用 表示表示x岁的人在岁的人在x+t岁以前死亡的概率，则：岁以前死亡的概率，则：n用用 表示表示x岁的人在岁的人在x+t岁时仍活着的概率，则：岁时仍活着的概率，则：()( )( )( )TTs xtftF ts x ( )TftPr ( )0txqT xtttxqtxp1Pr ( )0txtxpqT xtt 7/17n 和和 分别表示分别表示T(x)的分布函数和的分布函数和(x)的生存函数的生存函数n当当x=0时，有时，有T(0)=X和和n当当t=1时，习惯上用时，习惯上用 和和 表示表示 和和 n 表示表示x岁的人在未来一年内死

6、亡的概率，岁的人在未来一年内死亡的概率， 表示表示x岁的岁的人在未来一年内仍活着的概率人在未来一年内仍活着的概率n用用 表示表示x岁的人在活过岁的人在活过t年后的年后的u年内死亡的概率，即年内死亡的概率，即(x)在在(x+t)岁与岁与(x+t+u)岁之间死亡的概率，则：岁之间死亡的概率，则：txqtxp0( )xps xxp1xq1xpxqxqxp| t uxq|Pr( )t uxt uxtxtxt uxqtT xtuqqpp 8/17n当当u=1时，时， 表示表示 (x)在在(x+t)岁与岁与(x+t+1)岁之间死亡的概率。岁之间死亡的概率。n用生存函数表示死亡率和生存率：用生存函数表示死亡

7、率和生存率： (3.1.8) (3.1.9) (3.1.10)| txq( )()( )txs xs xtqs x()( )txs xtps x|()()( )t uxtxt uxs xts xtuqpps x 9/17n上式可解释为上式可解释为x岁的人在岁的人在(x+t)岁与岁与(x+t+u)岁之间死亡的概岁之间死亡的概率等于这个人活过率等于这个人活过t年的概率与其在年的概率与其在(x+t)岁时在年内死亡的岁时在年内死亡的概率之积概率之积 |()()( )() ()()( )()t uxtxux ts xts xtuqs xs xt s xts xtupqs xs xt 10/17n3.1.

8、4 K(x)整值剩余寿命整值剩余寿命n只考虑只考虑(x)未来能够存活的整年数时，未来能够存活的整年数时， 用用K(x) 表示表示(x)的取整的取整余命余命(简记为简记为K)，n这表示这表示K(x)是不超过是不超过T(x)的最大整数的最大整数n例：某个年龄为例：某个年龄为50岁的人岁的人(开始观察时开始观察时)，在，在55岁零岁零6个月时死个月时死亡，则他的余命亡，则他的余命T(50)=5.5,而而K(50)=5nK(x)是一个离散型随机变量，其所有可能的取值为是一个离散型随机变量，其所有可能的取值为0,1,2, ( ) ( )K xT xPr( )Pr( )1)K xkkT xk0,1,2,k

9、 11/17n概率函数概率函数n可以用生存函数可以用生存函数s(x)表示表示K(x)的分布，即：的分布，即：11( )( )1)kxkxkxkxxkxx kkPr K xkPr kT xkqqppqpq()(1)( ),0,1,2,( )xks xks xkPr K xkqks x12/17n3.1.5 死力死力n用用 表示死力，用生存函数的相对变化率表示死力，用生存函数的相对变化率 来定义来定义nT(x)的密度函数可表示为的密度函数可表示为x( )ln ( )( )xs xs xs x 0( )expxss xds( )( )s xs xexpx ttxsxpds()( )( )Ttxx t

10、s xtftps x 0( )exp(d )tTx tx sfts13/17n死亡效力与密度函数的关系n死亡效力表示剩余寿命的密度函数0( )( )expxxxsf xs xds( )()( ) 1( )()( )()( )( )( )( )txx ttxx ts xs x tG tps xs x tdd s xs x tg tG tpdtdts xs x 14/17n3.1.6 s(x)的解析表达式的解析表达式 nDe Moivre模型假设模型假设(1729) n式中，式中，w为人的极限年龄，即假定所有人都在为人的极限年龄，即假定所有人都在w岁之前死亡。岁之前死亡。nGompertze模型假

11、设模型假设(1825)( )exp(1) , B0,c1,0lnxxxBcBs xcxc( )1 , 0 xs xx 15/17nMakeham模型模型(1860)nWeibull模型模型(1939)( )exp(1) , B0,A-B,c1,0lnxxxABcBs xAxcxc1( )exp , 0,0,0(1)nxnkxkxs xknxn16/17n在这些假设中，在这些假设中，w,B,c,A,k和和n都是参数，需要通过统计方法都是参数，需要通过统计方法确定。确定。 nDe Moivre假设的生存函数是最简单的，设人的极限年龄为假设的生存函数是最简单的，设人的极限年龄为100岁，则：岁，则：n n由此可得：由此可得：n qx 是是x的增函数，随着年龄的增大，的增函数，随着年龄的增大，x岁的人在岁的人在1年内死亡的年内死亡的概率也增大。这对于一定年龄以上的人适用，但不适合年龄概率也增大。这对于一定年龄以上的人适用，但不适合年龄很小的人。很小的人。( )1 , 0100100 xs xx 1, 100 xqx17/17n n即即x岁的人在未来任何一年内死亡的概率是相同的。这与实岁的人在未来任何一年内