极限存在性的判定与求法PPT学习教案

1、会计学1极限存在性的判定与求法极限存在性的判定与求法2.3 极限存在性的判定和求极限存在性的判定和求法法第1页/共67页一、极限存在性的判定一、极限存在性的判定1 1、夹逼定理、夹逼定理定理定理有有，使，使若若)(U000 xx)()()(xhxfxgAxfAxhxgxxxxxx)(lim)(lim)(lim000，则，则且且应用夹逼定理求极限，关键是找到应用夹逼定理求极限，关键是找到g(x)、h(x)，不但要，不但要满足不等式，而且二者的极限要相等满足不等式，而且二者的极限要相等。第2页/共67页设数列 xn, yn, zn 满足下列关系:(2),limlimazynnnn则axnnlim(

2、1) yn xn zn , n Z+(或从某一项开始) ;夹逼定理夹逼定理：第3页/共67页例例1。求极限求极限nnnnn22212111lim答案答案 1第4页/共67页解解. ,! lim Znnnnn求 ,11 321! 0 nnnnnnnnnnn由于 1. 1,3,2均小于nnnn , 00lim , 01lim nnn而 . 0! lim nnnn故例例2 2第5页/共67页2 2、单调有界性定理、单调有界性定理定义定义 ，则，则，有，有，使，使，若，若对数列对数列MunMunnN0 nu称称有界有界。定义定义 ，有，有，若，若对数列对数列Nnun nnnuuu，则称数列，则称数列1

3、1单调递增单调递增； nnnuuu，则称数列，则称数列12单调递减单调递减。第6页/共67页定理定理 单调有界数列必有极限。单调有界数列必有极限。第7页/共67页 单调减少有下界的数列必有极限 . 单调增加有上界的数列必有极限 .第8页/共67页例例3 ，讨，讨，且，且，满足满足数列数列22N11uuununnn 。求求的敛散性性，若收敛，的敛散性性，若收敛，论论nnnuulim答案答案2limnnu第9页/共67页例例 4. 设, ),2, 1(0iai证证:显然,1nnxx证明下述数列有极限 .)1 ()1)(1 ()1)(1 (12121211nnaaaaaaaaanx),2, 1(n即

4、nx单调增,又nkkknaaax11)1 ()1 (1111a1(1)nkkaa211)1 ()1 (1)1 ()1 (11kaa )1 ()1 (111naa1nnx lim存在“拆项相消拆项相消” 法法第10页/共67页例5. 求.)321 (lim1xxxx解解: 令xxxxf1)321 ()(xxx11)()(33231则)(xf3x133利用夹逼准则可知.3)(limxfx第11页/共67页 1sinlim . 10 xxx重要极限 11lim . 2exxx重要极限第12页/共67页第13页/共67页首先看看在计算机上进行的数值计算结果：sinlim1 xxx0 0第14页/共67

5、页xxxsin010.10.99833416646828154750180.010.99998333341666645335270.0010.99999983333334163670970.00010.99999999833333341747730.000010.99999999998333322093200.0000010.99999999999983335552400.00000011.00000000000000000000000.000000011第15页/共67页一个重要极限：1sinlim0 xxx。 第一个重要极限：第一个重要极限：其中的两个等号只在其中的两个等号只在x=0时成立

6、时成立.|,|sin| | |tan|, 2xxxx设圆心角设圆心角 过点过点A作圆的切线与作圆的切线与OB的的延长线交于点延长线交于点C，又作，又作,OABD , xAOB 则则sin x =BD，tan x=AC，当当 时时首先证明不等式首先证明不等式BODACx第16页/共67页|sin| | |tan|.xxx当当 时有时有即当即当 时时,OABOABOACSSSDDDD扇扇形形sintan .xxx 即即sin()tan(),xxx sintan .xxx 即即sintan ,xxx111111222222BODACxx0 0 2 2p p，而当而当 时有时有 ,从而从而x 0 02

7、 2p px 0 02 2p p即当即当 时有时有|x 0 02 2p p|sin| | |tan|.xxx这就证明了不等式这就证明了不等式 .x 0 0|sin| | |tan|xxx第17页/共67页|sin|x用用除除不不等等式式的的各各端端，得得tan| |,sinsinxxxx 1 1,sincosxxx1 1 1 1即即sincos1. xxx从而有从而有|sin| | |tan|.xxxcossin(),xxxx 2 22222 12121 121212222注注意意sin.xxx2 2 11 112 2于于是是有有lim(),lim,xxx2 20000 11 11 11 11

8、2 2因因由夹逼准则，即得由夹逼准则，即得1sinlim0 xxx第18页/共67页一个重要极限：1sinlim0 xxx。 第一个重要极限：第一个重要极限： 注意：在极限)()(sinlimxx中，只要(x)是无穷小量， 就有1)()(sinlimxx。 这是因为，令u(x)， )()(sinlimxx1sinlim0uuu)()(sinlimxx1sinlim0uuu。 则u 0，于是( )0 x只要第19页/共67页 0limxxxtan 解：解： 1cos1limsinlim00 xxxxx。 解：kxkxkxkxxxsinlimsinlim00 kttktsinlim0。 0limx

9、xxtanxxxxcos1sinlim0 kxkxkxkxxxsinlimsinlim00 例 1 求0limxxxtan。 例例3例 2 求xkxxsinlim0(k0)。 例例4 解：解：1sinlim0 xxx，1)()(sinlimxx (x) 0 )。 重要极限重要极限(I)：第20页/共67页解：0limx2cos1xx0limx2cos1xx22022022sinlim212sin2limxxxxxx22022022sinlim212sin2limxxxxxx 例 3 求0limx2cos1xx。 例例5 解：解：重要极限重要极限(I)：1sinlim0 xxx，1)()(sin

10、limxx (x) 0 )。 2112122sinlim21220 xxx2112122sinlim21220 xxx。 第21页/共67页 , xt令xxxsinlimxxxsinlim求故1sinlim0ttt , 时则x 0tttt)sin(lim0解例6第22页/共67页xxxxx1sinsin1lim0(2)xxxxx1sinsin1lim求 (1)请自己动手做一下例7第23页/共67页(1)xxxsin1lim 001sinlim0 xxx) 11sin (是有界量xxxxxx1sinsin1lim 01sinlim0 xxx11sinlimsin1lim00 xxxxxx解第24

11、页/共67页xxx1sinlim 0sin1limxxx) 1 |sin| (是有界量xxxxxx1sinsin1 lim (2)111sinlimxxx11sinlimsin1limxxxxxx解第25页/共67页由三角函数公式33232sin2cos2cos2cos2xxxxnnxxx2cos2cos2coslim2求2222sin2cos2cos2xxx2cos2sin2xxxsinnnnxxxx2sin2cos2cos2cos22例8解故 原式xxxxnnnsin2sin2limnnnxx2sin2sinlimxxsin )()(sinlim 0)(axxax第26页/共67页.4ta

12、n3sinlim0 xxx 解解 利用重要极限，有 xxx4tan3sinlim043xxxxxxxx4coslim4sin4lim33sinlim43000)434cos4sin433sin(lim0 xxxxxx例9第27页/共67页.sintanlim30 xxxx30)cos1 (tanlimxxxx21例例10. 求解解: 原式 第28页/共67页2. 重要极限第29页/共67页变量代换xy1下面证明exxx11lim第30页/共67页其中e是一个常数，其近似值为：e2.7182818284590。第二个重要极限：第二个重要极限：exxx)11 (lim。 1 1 nn先求数列的极限

13、第31页/共67页 可以证明，对于连续自变量 x，也有xxx)11 (lime。 为了求极限nnn)11 (lim，我们观察当 n时，数列 ynnn)11 ( 的变化趋势： 可以证明，数列nn)11 ( 单调增加有界，所以极限 nnn)11 (lim是存在的，其极限用字母 e 表示。 单调增加有界，所以极限 ，其极限用字母 e 表示。 下页n12345101001000 10000yn22.250 2.370 2.441 2.488 2.597 2.705 2.717 2.718第32页/共67页1 1 . nn第一步：先证数列调减增加 *证证由中学的牛顿二项式展开公式321! 3)2)(1(

14、1! 2) 1(1! 1111nnnnnnnnnnxnnnnnnnnn1! )1() 1(nnn2111! 3111 2111！ , 112111! 1nnnnn第33页/共67页类似地, 有11111nnnx 111121111! 1nnnnn 11121111! ) 1(1nnnnn121111! 31111 2111nnn！第34页/共67页除前面的展开式可以看出与比较 , 1nnxx并且的对应项的每一项都小于两项外 , ,1nnxx因此一项还多了最后的大于零的 , 1nx1nnxx. 是单调增加的即nx . 有界第二步：再证nx第35页/共67页nnnxn2111! 3111 2111

15、！ 112111! 1nnnnn! 1! 31! 2111n1221212111n , 321321121111nn 等比数列求和 放大不等式 . 有界从而nx每个括号小于 1 . *证证第36页/共67页 综上所述, 数列xn是单调增加且有上界的, 由极限存在准则可知, 该数列的极限存在, 通常将它纪为 e, 即. 11limennne 称为欧拉常数. 590457182818284. 2e .ln : , , xye记为称为自然对数为底的对数以第37页/共67页xx1 (1+) xlim再求函数极限第38页/共67页由它能得到exxx11 lim吗？如果可行, 则可以利用极限运算性质axf

16、xfaxfxxx)(lim)(lim )(lim得到所需的结论吗？进一步可得exxx11 lim吗？第39页/共67页* * * 证明证明 因为 x +, 故不妨设 x 0.exxx11 lim 1111111 nxn1111111111111 nxxxnnnxnn由实数知识, 总可取 n N, 使 n x n+1,故第40页/共67页111limnnnnnn111lim , 111111lim1ennnn , 1111limennnn .11limexxx , , , nx 而时故由夹逼定理得第41页/共67页exxx11 lim 我们作变量代换, 将它归为 x + 的情形即可.想想, 作一

17、个什么样的代换？. , , txtx时则令* * *再证明再证明第42页/共67页, tx令xx11tt111 , 1 tu再令xxx11lim, , tx时则且时则 , , utttt1ttt1111111111ttteuuuu1111limtt11第43页/共67页exxx11 lim由exxxxxx11lim11lim exxx11 lim 最后证明最后证明第44页/共67页现在证明exxx101 lim . 的情形转化为x第45页/共67页exxx10)1 (lim令,1tx t ,则 x 0时, 11lim)(1 lim10etxttxx故exxx10)1 ( lim于是有证第46页

18、/共67页综上所述综上所述, 得到以下公式得到以下公式ennn11 limexxx11 limexxx10)1 ( lim第47页/共67页exxx11 limexxx11 lim第48页/共67页exxx10)1 ( limexxx10)1 ( lim第49页/共67页 .)( 0)(的极限为零表示在某极限过程中xx .)( )(的极限为表示在某极限过程中xx第50页/共67页两个重要极限1sinlim) 1 (0e)11(lim)2(或e1)1(lim0注注: 代表相同的表达式第51页/共67页第52页/共67页思考与练习思考与练习填空题填空题 ( 14 );_sinlim. 1xxx;_

19、1sinlim. 2xxx;_1sinlim. 30 xxx;_)11 (lim. 4nnn0101e第53页/共67页重要极限重要极限(II)：exxx)11 (lim，exx)(1)(1lim(x) 0 )。 例例1.求下列极限521(1).lim(1);xxx 10(2).lim(12 ) ;xxx 525511.lim(1)lim(1) xxxxexx 1122200lim(1 2 )lim(1 2 )xxxxxxe 第54页/共67页1(3).lim(1) ;2xxx (2) 211lim(1)lim(1)22xxxxexx 3101tan(4).lim();1sinxxxx 331

20、1001tantansin lim()lim(1)1sin1sinxxxxxxxxx 3020tansin1 lim1sinsin1cos11 limcos (1sin )2xxxxxxxxxxxx 1201tan lim()1 sin xxex 第55页/共67页 e1e1。xxxx)1(lim22xxxxxx)11(limxxxxxxxx)1(lim)1(lim 1)1(1)1()111 (lim)111 (limxxxxxx1)1(1)1()111 (lim)111 (limxxxxxx 例 2 求xxxx)1(lim22。 例例2 解：xxxx)1(lim22xxxxxx)11(lim

21、xxxxxxxx)1(lim)1(limxxxx)1(lim22xxxxxx)11(limxxxxxxxx)1(lim)1(lim 解：解：重要极限重要极限(II)：exxx)11 (lim，exx)(1)(1lim(x) 0 )。 第56页/共67页例例3思考题：思考题： 求极限求极限 xxx1201lim 解解 原式原式 11lim1lim11lim11lim1101011010 eexxxxxxxxxxxxxxx第57页/共67页xxx2cot20)tan31(lim3tan33202)tan31(limexxx例4xxx2cot20)tan31 (lim求解重要极限重要极限(II)：e

22、xxx)11 (lim，exx)(1)(1lim(x) 0 )。 第58页/共67页xxxx11 lim)1(121ln1explimxxxxx2)1(121lnlim1limexpexxxxxx1)1(121 limxxxxx( 1 )xxxx11 lim求xxx121 lim例5解第59页/共67页xxxx11 limxxxxx1111limxxxxxx11lim11 lim 21eee解第60页/共67页.)2sin1 (lim10 xxx求例例6 6 解解xxx10)2sin1 (lim)2(22sin2sin10)2sin(1 limxxxxx2 e 注意：注意：2)2(22sinlim0 xxx第61页/共67页1cos 0 xx，时2211 )1(cos1 )(cos xxxx21cos1cos1 )1(cos1 xxxx210 )(coslimxxx求) 1 ( 例7解 , 211coslim , )1(cos1 lim201cos10 xxexxxx又2110 )(cos lim2 exxx故常用的方法第62页/共67页例例8 8 设有本金设有本金10001000元，若用连续复利计算，年利元，若用连续复利计算，