极大无关组求法PPT学习教案

1、会计学1极大无关组求法极大无关组求法方法方法2 逐个判别法逐个判别法 给定一个非零向量组给定一个非零向量组A： 1, 2, n 1 1 设设 1 0，则则 1线性相关，保留线性相关，保留 1 2 2 加入加入 2，若若 2与与 1线性相关，去掉线性相关，去掉 2；若若 2与与 1线性无关，保留线性无关，保留 1 1 ， 2； 3 3 依次进行下去，最后求出的向量组就是依次进行下去，最后求出的向量组就是所求的极大无关组所求的极大无关组第1页/共10页 123:1,2, 12, 3,14,1, 1,TTTA,例例： 求求A A的极大无关组的极大无关组解：解：因为因为a1非零，故保留非零，故保留a1

2、 取取a2，因为因为a1与与a2线性无关，故保留线性无关，故保留a1，a2 取取a3，易得易得a3=2a1+a2线性无关，故线性相线性无关，故线性相关。关。 所以极大无关组为所以极大无关组为a1，a2第2页/共10页初等行变换初等行变换保持了保持了列向量间列向量间的的线性无关性线性无关性和线性表出性和线性表出性方法方法3 初等变换法初等变换法第3页/共10页 可以证明，若对矩阵可以证明，若对矩阵A A仅施以初等仅施以初等行行变换变换得矩阵得矩阵B B, , 则则B B的列向量组与的列向量组与A A的列向量组间有的列向量组间有相同的线性关系相同的线性关系。（。（行变换对列没有影响行变换对列没有影

3、响）21124240=2361如如，有有 121240124B =2361对对于于，有有221124B=2340618对对于于，有有 32136124B=23614 对对于于，有有第4页/共10页即即初等行变换初等行变换保持了保持了列向量间列向量间的的线性无关性和线性无关性和线性表出性线性表出性。123100010,001 再再如如, ,有有线线性性无无关关 1B001010100 则则, ,2100001020 B B，中中的的三三个个列列向向量量均均线线性性无无关关3301010100 B B第5页/共10页(1)(1)以向量组中各向量为以向量组中各向量为列向量列向量; ;(2)(2)对对

4、A A做做将该矩阵将该矩阵化为行阶梯形矩阵化为行阶梯形矩阵, ,则则可可( (向量组的秩为向量组的秩为r r，说明向量组中线性无，说明向量组中线性无关的向量最多有关的向量最多有r r个，任何个，任何r+1r+1个线性相关个线性相关).).(3)(3)即是即是所求向量组的所求向量组的极大无关组，这一步需将行阶梯型化为行最简形极大无关组，这一步需将行阶梯型化为行最简形。由此提供了由此提供了求向量组的极大无关组的方法：求向量组的极大无关组的方法：第6页/共10页123423141-13-3113305-510,324105-51010210-11-2A 解解 以以 1 1, , 2 2, , 3 3

5、, , 4 4为列为列构造矩阵构造矩阵A A, , 并实施并实施初等初等行行变换变换化为行阶梯形矩阵求其秩：化为行阶梯形矩阵求其秩： 第7页/共10页知知r r( (A A)=2, )=2, 故向量组的极大无关组含故向量组的极大无关组含2 2个向量个向量而而两个非零行的非零首元分别在第两个非零行的非零首元分别在第1, 21, 2列列, , 故故 1 1, , 2 2为向量组的为向量组的一个极大无关组一个极大无关组事实上，事实上，1211010000- -，知知r r( ( 1 1, , 2 2)=2,)=2, 故故 1 1, , 2 2 线性无关线性无关求极大无关组方法求极大无关组方法,找阶梯

6、型找阶梯型矩阵非零行的非零首元所在的矩阵非零行的非零首元所在的列列-1133011200000000第8页/共10页为把为把 3, 4用用 1, 2线性表示线性表示, , 把把A变成行最简形矩变成行最简形矩阵阵 102-101-1200000000 AB 记矩阵记矩阵B=( 1, 2, 3, 4),因为因为初等行变换保持了列向初等行变换保持了列向量间的线性表出性，量间的线性表出性，因此向量因此向量 1, 2, 3, 4与向量与向量 1, 2, 3, 4之间有相同的线性关系之间有相同的线性关系。312412210101212,2000000 而而因此因此 3 3=2=2 1 1- - 2 2, , 4 4=-=- 1 1+2+2